2023年4月19日发(作者：上大学的机会成本)龙源期刊网
二面角平面角的几种求法
作者：吕秀娟
来源：《中国校外教育基教(中旬)》2014年第03期
介绍了二面角，二面角的平面角的定义和二者的关系，三垂线定理及其逆定理，并重点给
出了求二面角平面角的六种方法。
立体几何二面角平面角求法空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，在面面关系中，
二面角是其中的主要概念之一，它的计算归结为平面角的计算.一般来说，对其平面角的定位
是问题解决的先决一步，由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角
的定位可化归为“定点”“定线”或“定面”的问题，在做题时只需分别找“点”“垂线”或“垂面”.事实
上，只要找到其中一个，另外怎样养牛
两个就会接踵而来，掌握这一点对提高解题技能和培养空间想象
力非常重要。
一、预备知识
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的
两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫扁桃体发炎症状
做二面角的棱，每个半平面叫做二面角
的面）。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所
组成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小就是用它的平面角来度量，二面角的平面角的数值大小就等于二面角的大
小。
定理1（三垂线定理）：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂
直，那么它也和这条斜线垂直。
定理2（三垂线定理的逆定理）：在平面内的一条直麻辣烫底料配方
线，如果它间接抒情
和这个平面的一条斜线垂
直，那么它也和这条直线在平面内的射影垂直。
二、二面角平面角的大小的求法
1.定义法
在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的垂线，如图1所示。用定
义法求二面角的平面角时，首先需要根据二面角的定义把它转化为平面角，然后把这个平面角
置于一个三角形中，通过解三角形求二面角，其基本的解题步骤为“一作，二证，三求”。
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2.垂射线法即垂面法过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面的交线组
成的角即为二面角的平面角，如图2所示，∠AOB为二面角的平面角。
二面角一般都是在两个半平面的相交线上，取恰当的点(通常是端点或中点），过这个点
分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两垂线
的平行线，使它们在一个更理想的三角形中。
3.小结
（1）用垂射线法求二面角即在棱上取一点，然后分别在二面角的两个面内作（找）棱的
垂线；
（2）若等腰三角形的底边在棱上，则取底边中点，因底边上的中线垂直于底边，从而获
得与棱垂直的直线；
（3）其基本的解题步骤为一作（或找），二证，三求，四答。
4.射影面积公式法
设是两个平面所组成的二面角的平面角，S射影是二面角的一个平面所在的平面图形在
另一平面内的射影图形的面积，S斜是这个平面图形的面积，则cos=S射影S斜，如图3所
示，S斜=SPAB，S射影=SAOB，PO⊥平面，O为垂足。
射影面积公式法适用于斜面和射影面的面积易求的立体几何题中，可省去作、证二面角的
平面角的过程。
5.三垂线定理及其逆定理法由一个半平面内异于棱上的一点A向另一个半平面作垂线，垂
足为B。再由B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB即为二面角的平面角，
如图4所示。小结：利用三垂线定理求二面角的平面角的大小是利用传统的纯几何综合推理方
法解决，但有些题目是比较难以找出所求的二面角的平面角的。
6.向量法
利用平面的法向量可求二面角。如图5所示，表示欲求的二面角－l－的平面现场直播英文
角，又
设n1，n2分别是平面，的法向量，这两个法向量的方向应该是这样配备的：当或半平
面绕着棱l转动到与另一半平面重合时，这两个向量的方向应当一致。在满足这些条件之下，
有cos=n1•n2n1n2，这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向平面内，所求两平
面的夹角就是－。若在几何体中容易建立空间直角坐标系，可考虑运用向量法坐标运算计
算二面角的平面角，本题方法二是求出二面角平面角的两边的方向向量，然后用向量夹角公式
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求解，方法一是先求二面角的两个面的法向量，两个法向量的夹角与二面角的平面角的大小相
等或互补，因此要结合具体图形及法向量的方向而定。
7.公式法
如图6所示，在空间四边形ABCD 浓厚的拼音
中，∠BAC=90，∠BAD=90，记∠ABC=1，
∠DBC=2，∠ABD=3，二面角C－AB－D的平面角为∠CAD，记作，则cos=cos2－
cos1•cos3sin1sin3。（上接第37页）小结：在求二面角的平面角的大小，遇到多角度或角
度易求的题时，此方法比较简单，可避免找、证二面角的平面角及判断二面角的大小问题。
三、结束语
空间的二面角是平面几何中角的概念在空间中的拓广，其计算与度量体现了转化的思想：
空间角转化为平面角或转化为两向量的夹角。归纳总结并通过一些例子列举了二面角平面角的
大小的六种方法，但它的求法也绝不限于此，其他更简捷的方法有待进一步深入研究。
参考文献：
[1]人民教育出版社中学数学室.数学第二册（下B）[M].北京：人民教育出版社，2006.
[2]李书恒，李建章.高考调研丛书[M].石家庄：河北教育出版社，2007.
[3]周良树，杨素.高中数学学考必备用书[M].长沙：湖南大学出版社，2007.
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[5]朱金水.二面角的平面角的求法[J].数理化解题研究（高中版)，2003，(04)：14-16.
