2023年4月18日发(作者：四轴机器人)不定积分的方法总结
教学过程：
在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分
相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----
求不定积分.
一、原函数
１．引例1：已知物体运动方程s st，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过
来,已知物体的速度v是时间t的函数v vt,求物体的运动方程s st,使它的导数s t等于
v vt,这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P Pt,则
该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P t.反之,若已知某产量的变化率是时间t
的.函数P
t,求该产品产量函数Pt,也是一个求导数运算的逆运算的问题.
2.（定义5.1）（原函数）设fx是定义在区间I上的函数．若存在可导函数Fx，对
x I均有F x fxordFx fxdx,则称Fx为fx在I上的一个原函数.
例如：由sinx cosx知sinx是cosx的一个原函数；又sinx 5 cosx,sinx
c c德干高原
osx（c是常数），所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.
再如：由2x3 6x2知2x是6x的一个原函数；32
2x3 c 6x2，所以2x3 c（c是常数）也是6x2的一个原函数．
注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域．
二、不定积分
1．原函数性质
观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质
1若fx CI,则fx存在I上的原函数Fx.
2若Fx为fx在I上的一个原函数，则Fx C都是fx的原函数,其中C为任意常数.
3若Fx和Gx都是fx的原函数，则
Fx Gx C.
证明： Fx Gx
F x G x fx fx 0.
C R, Gx C.
4设Fx为fx在I上的原函数,则fx在I上全体原函数为Fx C（其中C为任意常
数）.2.（定义5.2）函数fx在I上的全体原函数称为fx在I上的不定积分,记作 C
fxdx.
即若Fx为fx在I上的一个原函数,则有 fxdx Fx C,C为任意常数.
说明：1 ---积分号；2fx---被积函数；
3fxdx----被积表达式.4x----积分变量.
3.结论：
①连续函数一定有原函数．
②fx若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.
提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx清炒荷兰豆
,sinxdx， x2 2sinx xdx）
（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx. 2
解（1）∵x 3x，∴32233xdx x C.
x6 x6
55（2） C. x, xdx 6 6
例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x
1 1 x2dx arctanx C.
1提问： dx arccotx C对吗？1 x2
1例3求 dx.x
11解: lnx , dx lnx
例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为Cx 100 2xdx 100x x2 C.
3．导数与不定积分的关系
f xdx fx C.
1* dfx fx C.1
dfxdx fx. dx
2*d fxdx fxdx.2
可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
提问:如何验证积分的结果是正确的?积分的导数是被积函数时正确
二、不定厉害用英语怎么说
积分的几何意义
如图： fxdx Fx C，
函数fx的不定积分表示
斜率为fx的原函数对应的
一簇积分曲线.在同一点x0处
积分曲线簇的切线平行.
此曲线蔟可由Fx沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数fx原函数y Fx的图
形称为fx
的积分曲线.
不定积分的几何意义：fx的不定积分是一簇积分曲线Fx C.且在同一点x0处积分曲
线簇的切线互相平行.
例5设曲线通过点P1,茉莉花茶有什么功效
2,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲
线方程.解设曲线为y fx,依题意知
x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,
2于是fx x C,
由f1 2 C 1,
所求曲线方程为y x 1.
提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）
小结：
１．Fx为fx在I上的原函数,则fx在I上全体原函数Fx c为fx的不定积分，即2
fxdx Fx c
２．注意当积分号消失时常数ｃ产生．
３．熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分．
课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不军训的感想
对原函数，写掉积
分常数C.
（提问）判断下列结论是否正确
（不正确说明理由）
13dx 3x C.2xdx
3
515x C6 C.
4 1
x2 1x C.5 1
x lnx C.
6 5xdx 5xln5 C.
7 2exdx ex C.
8 2sinxdx cosx C.9 1
1 x2dx arctanx c arccotx C.
1ps魔术棒
0 c2xdx tanx C.
11 csc2xdx cotx C.
12 arcsinx C arccosx C.
13 cxtanxdx cx C.
12 cscxcotxdx cscx C.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
