2023年4月17日发(作者：尚易邮箱)
第五章 二次型（ * * ）
一、复习指导：二次型这一章节也是一个比较重要的章节，在首师大的大题中，往装修合同电子版
往会出现
关于判断二次型是否为正定二次型的题目，我们要掌握的：正定二次型的充分必要条件;还
可能会出化二次型为标准型，所以我们还要知道如何化二次型为标准型。
二、考点精讲：
（一）基本概念
1、二次型—含个变浮钓
量
n
x,x,,x
12n
且每项皆为二次的齐次多项式
f(x,x,,x)axax2axx2axxaxx
12n111nnn1212n1,nn1nijij
称为
22
i1j1
nn
二次型。
xaaa
111121希望做某事
n
xaaa
221222n
令，，则
XA
xaaa
nn1n2nn
T
fXXAX
()
。矩阵称为二次型的
A
矩阵，显然
AA
T
，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵的秩称为二次型的秩。
A
2、标准二次型—只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。
3、矩阵合同—设为阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得
A,B
n
P
PAPB
T
，称矩阵与
AB
合同，记为。
AB
4、二幼儿发烧
次型的标准化—设
fXXAX
()
T
为一个二次型，若经过可逆的线性变换
XPY
（即为可逆矩阵）把二次型
P
fXXAX
()
T
化为
XPY
22TT2T
f(X)XAXY(PAP)Ylylyly
1122mm
，称为二次型的标准化。
5、规范二次型—二次型的标准型的系数为和的标准型，称为二次型的规范型。
1
1
（二）二次型标准化方法
1.配方法
2.正交变换学校安全隐患
法
（1）求的特征值
A
12n
,,,
。
（2）求的线性无关的特征向量
A
12n
,,,
。
（3）将。
12n12n12n
,,,,,,(,,,)
进行施密特正交化和规范化得，令
Q
XQY
（4）
fXAXY(QAQ)Yyyy
T22TT2
。
1122nn
（一） 正定矩阵与正定二次型
1.定义 二次型f(x,x,…,x)称为正定二次型,如果当x,x,…,x不全为时,一黄鼠狼
定有
12n12n
f(x,x,…,x)>0.
12n
如果实对称矩阵所决定的二次型正定,则称为正定矩阵, 于是为正定矩阵也就是
AAA
满足性质:当0时,一定有>0.
XXAX
二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩阵的正定性在合同
变换时保持不变.
2.性质与判断（充分必要条件）
实对称矩阵正定合同于单位矩阵.
A
T
存在可逆矩,使得=.
CACC
T
A
的正惯性指数等于其阶数n.
A
的特征值都是正数.
A
的顺序主子式全大于0.
顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r报关证
个(或称r阶)顺序主子式即的左上
A
角的r阶矩阵的行列式||.
AA
rr
判断正定性的方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法.
三、首师大真题：
