2023年4月17日发(作者：假日小队)函数解析式的七种求法
一、待定系数法
：610k
在已知函数解析式的构
造时,可用待定系数法.
例1 设是一次函数,且,求
f(x)
f[f(x)]4x3
f(x)
解：设,则
f(x)axb(a0敬廉崇洁
)
二、配凑法
：已知复合函数的表达式,
f[g(x)]
求的解析式,的表达式容易配成
f(x)
f[g(x)]
g(x)
的运算形式时,常用配凑法.但要注意所求函数
f(x)
的定义域不是原复合函数的定义域,而是
g(x)
的值域.
例2已知 ,求的解析
式.
11
2
f(x)x
2
(x0)
x
x
f(x)
111
解：,
f(x)(x)2x2
2
xxx
三、换元法：
已知复合函数的表达式
f[g(x)]
时,还可以用换元法求的解析式.与配凑法
f(x)
一样,要注意所换元的定义域的变化.
1 / 4
例3已知就日
,求
f(x1)x2x
解：令,则,
tx1
f(x1)
t1
x(t1)
2
四、代入法
：求已知函数关于某点或者某条直
线的对称函数时,一般用代入法.
2
yxx与yg(x)
的图象关于例4已知：函数
点对称,求的解析式.
(2,3)
g(x)
解：设为上任一点,且为关于点的对称点
M(x,y)yg(x)M(x,y)M(x,y)(2,3)
xx
2
2
xx4
则,解得：,
yy
y6y
3
2
点在上
M(x,y)yg(x)
xx4
把代入得：
y6y
整理得
yx7x6
2
五、构造方程组法
：若已知的函数关系较为
抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方
程组,通过解方程组求得函数解析式.
例5求设
1
f(x)满足f(x)2f()x,
x
f(x)
1
解①
f(x)2f()x
x
1
显然将换成,得：
x0,
x
x
2 / 4
11
f()2f(x)
②
xx
解①②联立的方程组,得：
例6设为偶函数,为奇函数,又
f(x)g(x),
f(x)
g(x)
1
x1
试求的解析式
f(x)和g(x)
解为偶函数,为奇函数,
f(x)g(x)
计算器功能
又① ,
f(x)g(x)
1
x1
1
用替换得：
x1
xx
f(x)g(x)
即②
f(x)g(x)
1
x1
解①②联立的方程组,得
f(x)g(x)
11
,
22
x1xx
六、赋值50万买什么车
法
：当题中所给变量较多,且含有"
任意"等条件时,往往可以对具有"任意性"的变
量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得
解析式.
例7已知：,对于任意实数x、y,等式
f(0)1
f(xy)f(x)y(2xy1)
恒成立,求
f(x)
解对于任意实数x、y,等式恒成立,
f(xy)f(x)y(2xy1)
不妨令,则梅花怎么形容
有
x0
f(y)f(0)y(y1打扫卫生简笔画
)1y(y1)yy1
2
3 / 4
再令 得函数解析式为：
yx
f(x)xx1
2
七、递推法
：若题中所给条件含有某种递进
关系,则可以递推得出系列关系式,然后通
过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解
析式.
例8设是定义在上的函数,满足,对任意
f(x)
N
f(1)1
的自然数都有,求
a,b
f(a)f(b)f(ab)ab
f(x)
解,
f(a)f(b)f(ab)ab，a,bN
不妨令,得：,
ax,b1f(x)f(1)f(x1)x
又①
f(1)1,故f(x1)f(x)x1
分别令①式中的 得：
x1,2n1
将上述各式相加得：,
f(n)f(1)23n
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