2023年4月1完善自己
6日发(作者：三级医师查房制度)
如何矩阵的等价,相似,合同？
(1)与等价:可以经还俗
一系列初等变换得
A
BAB
PAQBr(A)r(B)
(同型,可逆.)判断等价只需同型且秩相等.
A,BP,Q
(2)与相似:,可逆.
A
BP
PAPB
1
相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，
考研大纲并不要求，但是如果相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知相似.
A,BA,B
(3)与合同(仅限于对称矩阵)如何更改盘符
:(可逆)与的正负惯性指数相同.
A
BAB
CACB
T
C
判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可.
注:合同等价
A老人的故事
,BA,B
1011
A,BA,B
相似等价,例等价但不相似
A,B
0101
在实对称的前提下,相似合同. 家乡的风俗作文600字
A,BA,BA,打小算盘
B
【例1】 判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, 哪些合同?
11111莫言名言
0100000
A000,B001,C000,D011
.
000000000011
【解】先看等价：，故快捷键截图是哪个键
等价.
r(A)1,r(B)2,r(C)1,r(D)1A,C,D
再看相似：排除，考虑，的特征值为，的特征
r(A)r(C)r(D)1,r(B)2,A,C,DA,C1,0,0
B
D
值为，从而排除仅仅考虑，的特征值为，且二重特征值对应两个线性无关的特征向量，
2,0,0A,C1,0,古筝梅花三弄
0
D
A
0
100
A
相似于对角阵，从而相似.
C000
A,C
000
最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑，的特征值为，的特征值为，的正惯性
C,D1,0,02,0,0
CC
D
指数为负惯性指数为，的正惯性指数也为负惯性指数为，合同.
1,1,C,D
00
D
111300
【例2】 判断,是否等价，相似,合同,?
A111B000
111000
【解】，二者等automatic
价；
r(A)r(B)1
300
AAB
为对称阵一定相似于对角阵；从而一定合同于对角阵.
B000
000
