数列练习及答案
一．选择题（共11小题）
（a＞0，a≠1），数列{a
n
}满足a
n
=f（n）（n∈N
*
），且{a
n
}是单调递增
1．已知函数f（x）=
数列，则实数a的取值范围（）
A．[7，8）B．（1，8）
C．（4，8）D．（4，7）
2．设{a
n
}的首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n
为其前n项和，若S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，则a
1
=（）
A．2B．﹣2C．
D．
﹣
3．设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若，则
=（）
A．1
B．﹣1
C．2
D．
4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）
A．5B．6
C．7
D．8
5．设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和，8a
2
+a
5
=0，则等于（）
A．11
B．5
C．﹣8
D．﹣11
6．数列{a
n
}满足a
1
=2，a
n
=，其前n项积为T
n
，则T
2014
=（）
A．
B．
﹣
C．6
D．﹣6
7．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足a
n+2
=2a
n+1
﹣a
n
，a
6
=4﹣a
4
，则S
9
=（）
A．9B．12C．14D．18
8．已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，S
7
=28，S
11
=66，则S
9
的值为（）
A．47B．45C．38
9．在等比数列{a
n
}中，
，则a
3
=（）
D．3
D．54
3
A．
9
B．9C．
10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）
A．8
B．18
C．26
D．80
11．在等差数列{a
n
}中，4（a
3
+a
4
+a
5
）+3（a
6
+a
8
+a
14
+a
16
）=36，那么该数列的前14项和为（）
A．20B．21C．42D．84
二．填空题（共7小题）
12．设{a
n
}是首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n
为其前n项和，若S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，则a
1
的值为_________．
13．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a
n
（n∈N
*
），
等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数
15777
212896
32112192
43216320
545321152
660482496
则等级为50级需要的天数a
50
=_________．
14．数列{a
n
}为等比数列，a
2
+a
3
=1，a
3
+a
4
=﹣2，则a
5
+a
6
+a
7
=_________．
15．已知数列{a
n
}中，a
n+1
=2a
n
，a
3
=8，则数列{log
2
a
n
}的前n项和等于_________．
16．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，并满足a
n+2
=2a
n+1
﹣a
n
，a
6
=4﹣a
4
，则S
9
=_________．
17．记等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
2
+a
4
=6，S
4
=10．则a
10
=_________．
18．设S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和，S
3
，S
9
，S
6
成等差数列，且a
2
+a
5
=2a
m
，则m=_________．
三．解答题（共12小题）
19．设{a
n
}是等差数列，{b
n
}是各项都为正数的等比数列，且a
1
=b
1
=1，a
3
+b
5
=21，a
5
+b
3
=13
（Ⅰ）求{a
n
}、{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求数列
20．已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=﹣a
n﹣
+2（n∈N
*
），数列{b
n
}满足b
n
=2
n
a
n
．
的前n项和S
n
．
（1）求证数列{b
n
}是等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设数列{
a
n
}的前n项和为T
n
，证明：n∈N
*
且n≥3时，T
n＞
﹣
；
（3）设数列{c
n
}满足a
n
（c
n
﹣3
n
）=（﹣1）
n1
n（为非零常数，n∈N
*
），问是否存在整数，使得对任意n∈N
*，
都有c
n+1
＞c
n
．
21．在等差数列{a
n
}中，a
1
=3，其前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的各项均为正数，b
1
=1，公比为q，且b
2
+S
2
=12，
（Ⅰ）求a
n
与b
n
；
（Ⅱ）设c
n
=a
n
•b
n
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
22．已知等差数列{a
n
}满足a
3
+a
4
=9，a
2
+a
6
=10；又数列{b
n
}满足nb
1
+（n﹣1）b
2
+…+2b
n
﹣
1
+b
n
=S
n
，其中S
n
是首项
为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求a
n
的表达式；
（2）若c
n
=﹣a
n
b
n
，试问数列{c
n
}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c
n
≤c
k
成立？并证明你的结论．
．
23．已知等比数列{a
n
}中，a
1
=，公比q=．
（Ⅰ）S
n
为{a
n
}的前n项和，证明：S
n
=
（Ⅱ）设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
，求数列{b
n
}的通项公式．
24．已知等差数列{a
n
}的前n项和为s
n
=pm
2
﹣2n+q（p，q∈R），n∈N
*
（I）求q的值；
（Ⅱ）若a
3
=8，数列{b
n
}}满足a
n
=4log
2
b
n
，求数列{b
n
}的前n项和．
25．已知数列{a
n
}（n∈N
*
）是等比数列，且a
n
＞0，a
1
=3，a
3
=27．
（1）求数列{a
n
}的通项公式a
n
和前项和S
n
；
（2）设b
n
=2log
3
a
n
+1，求数列{b
n
}的前项和T
n
．
26．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
2
=9，S
5
=65．
（I）求{a
n
}的通项公式：
（II）令
27．已知等比数列{a
n
}满足a
2
=2，且2a
3
+a
4
=a
5
，a
n
＞0．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设b
n
=（﹣1）
n
3a
n
+2n+1，数列{b
n
}的前项和为T
n
，求T
n
．
28．已知等比数列{a
n
}的公比为q，前n项的和为S
n
，且S
3
，S
9
，S
6
成等差数列．
（1）求q
3
的值；
（2）求证：a
2
，a
8
，a
5
成等差数列．
29．已知S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和，
（I）求a
n
；
（II）若
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
，．
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
30．已知{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
，已知a
2
=8，S
10
=185．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设a
n
=log
2
b
n
（n=1，2，3…），证明{b
n
}是等比数列，并求数列辽东战役 {b
n
}的前n项和T
n
．
高一数列专项典型练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
（a＞0，a≠1），数列{a
n
}满足a
n
=f（n）（n∈N
*
），
1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=
且{a
n
}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）
A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）
考点：数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用一次函数和指数函数的单调性即可得出．
解答：
解：∵{a
n
}是单调递增数列，
D．（4，7）
∴，
解得7≤a＜8．
故选：A．
点评：本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．
2．（2014•天津）设{a
n
}的首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n
为其前n项和，若S
1
，S
2
，S
4依附
成等比数列，则a
1
=
（）
A．2B．﹣2C．D．
﹣
考点：等比数列的性质；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由等差数列的前n项和求出S
1
，S
2
，S
4
，然后再由S
1
，S
2
，S
4
成等比数列列式求解a
1
．
解答：
解：∵{a
n
}是首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n
为其前n项和，
∴S
1
=a
1
，S
2
=2a
1
﹣1，S
4
=4a
1
﹣6，
由S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，得：即
，解得：
，
．
故选：D．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
3．（2014•河南一模）设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，若
A．1
B．﹣1
C．2
，则
=（）
D．
考点：等差数列的前n项和．
分析：
由等差数列的求和公式和性质可得
=，代入已知可得．
解答：
解：由题意可得
=
===1
故选A
点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．
4．（2014•河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）
A．5B．6C．7D．8
考点：等比数列的前n项和；循环结构．
专题：计算题．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s，
k的值，最后输出k的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．
解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下
第一圈：S=2＜100，k=1；是
第二圈：S=2+2
1
＜100，k=2；是
第三圈：S=2+2
1
+2
2
＜100，k=3；是
第四圈：S=2+2
1
+2
2
+2
3
＜100，k=4；是
第五圈：S=2+2
1
+2
2
+2
3
+2
4
＜100，k=5；是
第六圈：S=2+2
1
+2
2
+2
3
+2
4
+2
5
＜100，k=6：是
第七圈：S=2+2
1
+2
2
+2
3
+2
4
+2
5
+2
6
＞100，k=6：否
满足S＞100，退出循环，此时k值为7
故选C
点评：本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这
一模块最重要的题型，
5．（2014•河西区三模）设S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和，8a
2
+a
5
=0，则
A．11B．5C．﹣8
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．
解答：
解：设等比数列{a
n
}的公比为q，（q≠0）
由题意可得8a
2
+a
5
=8a
1
q+a
1
q
4
=0，解得q=﹣2，
等于（）
D．﹣11
故====﹣11
故选D
点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．
6．（2014•河西区二模）数列{a
n
}满足a
1
=2，a
n
=
A．
B．
﹣
，其前n项积为T
n
，则T
2014
=（）
C．6
D．﹣6
考点：数列递推式．
专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
根据数列{a
n
}满足a
1
=2，a
n
=，可得数列{a
n
}是周期为4的周期数列，且a
1
a
2
a
3
a
4
=1，即可得出结
论．
解答：
解：∵a
n=
，
∴a
n+1=
，
∵a
1
=2，∴a
2
=﹣3，a
3
=﹣，a
4
=，a
5
=2，…，
∴数列{a
n
}是周期为4的周期数列，且a
1
a
2
a
3
a
4
=1，
∵2014=4503+2，
∴T
2014
=﹣6．
故选：D．
点评：
本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a
n
}是周期为4的周期数列，且a
1
a
2
a
3
a
4=1
是关键．
7．（2014•河西区一模）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足a
n+2
=2a
n+1
﹣a
n
，a
6
=4﹣a
4
，则S
9
=（）
A．9B．12C．14D．18
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
直接由数列递推式得到数列为等差数列，再由等差数列的性质结合a
6
=4﹣a
4
得到a
5的值，然后直接代入前
n项和得答案．
解答：
解：∵a
n+2
=2a
n+1
﹣a
n
，
∴2a
n+1
=a
n
+a
n+2
∴数列{a
n
}是等差数列．
又a
6
=4﹣a
4
，
∴a
4
+a
6
=4，
由等差数列的性质知：2a
5
=a
4
+a
6
=4，
得a
5
=2．
∴S
9
=9a
5
=92=18．
故选：D．
点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系得确定，考查了等差数列的性质及前n项和，是中档题．
8．（2013•南开区一模）已知S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，S
7
=28，S
11
=66，则S
9
的值为（）
A．47B．45C．38D．54
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
设公差为d，利用等差数列前n项和列关于a
1
、d的方程组，解出a
1
，d，再用前n项和公式可得S
9
的值．
解答：解：设公差为d，
由S
7
=28，S
11
=66得，，即，解得，
所以S
9
=91=45．
故选B．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查方程思想，考查学生的运算能力，属基础题．
9．（2013•天津一模）在等比数列{a
n
}中，
A．
9
B．9
考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
设出公比，利用条件，可得
，则a
3
=（）
3
C．
D．3
=27，=3，两式相除，可得
结论．
解答：
解：设等比数列{a
n
}的公比为q，则
∵∴
=27，
，
=3
两式相除，可得
∴a
3
=3
故选C．
点评：本题考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
10．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）
A．8B．18C．26D．80
考点：数列的求和；循环结构．
专题：计算题．
分析：
根据框图可求得S
1
=2，S
2
=8，S
3
=26，执行完后n已为4，故可得答案．
解答：
解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S
1
=0+3
1
﹣3
0
=2；
同理可求n=2，S
1
=2时，S
2
=8；
n=3，S
2
=8时，S水瓶女喜欢一个人的表现
3
=26；执行完后n已为4，
故输出的结果为26．
故选C．
点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．
11．（2012•天津模拟）在等差数列{a
n
}中，4（a
3
+a
4
+a
5
）+3（a
6
+a
8
+a
14
+a
16
）=36，那么该数列的前14项和为（）
A．20B．21C．42D．84
考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：
由数列为等差数列，利用等差数列的性质得到a
3
+a
5
=2a
4
，a
8
+a
14
=a
6
+a
16
=2a
11
，化简已知的等式，可得出a
4
+a11
的值，再根据等差数列的性质得到a
1
+a
14
=a
4
+a
11
，由a
4
+a
11
的值得到a
1
+a
14
的值，然后利用等差数列的前n
项和公式表示出该数列的前14项之和，将a
1
+a
14
的值代入即可求出值．
解答：
解：∵数列{a
n
}为等差数列，
∴a
3
+a
5
=2a
4
，a
8
+a
14
=a
6
+a
16
=2a
11
，
又4（a
3
+a
4
+a
5
）+3（a
6
+a
8
+a
14
+a
16
）=36，
∴12a
4
+12a
11
=36，即a
4
+a
11
=3，
∵a
1
+a
14
=a
4
+a
11
=3，
则该数列的前14项和S
14
==21．
故选B
点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
二．填空题（共7小题）
12．（2014•天津）设{a
n
}是首项为a
1
，公差为﹣1的等差数列，S
n
为其前n项和，若S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，则a
1
的值为﹣．
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由条件求得，S
n=
解答：
，再根据S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，可得=S
1
•S
4
，由此求得a
1
的值．
解：由题意可得，a
n
=a
1
+（n﹣1）（﹣1）=a
1
+1﹣n，S
n
=
再根据若S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，可得
解得a
1
=﹣，
故答案为：﹣．
=S
1
•S
4
，即
=，
=a
1
•（4a
1
﹣6），
点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．
13．（2014•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a
n
（n∈N
*
），
等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数
15777
212896
32112192
43216320
545321152
660482496
则等级为50级需要的天数a
50
=2700．
考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由表格可知：a
n
=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．
解答：
解：由表格可知：a
n
=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），
∴a
50
=5054=2700．
故答案为：2700．
点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
14．（2014•郑州模拟）数列{a
n
}为等比数列，a
2
+a
3
=1，a
3
+a
4
=﹣2，则a
5
+a
6
+a
7
=24．
考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由题意，联立两方程a
2
+a
3
=1，a
3
+a
4
=﹣2解出等比数列的首项与公比，即可求出a
5
+a
6
+a
7
的值．
解答：
解：由a
2
+a
3
=1，a
3
+a
4
=﹣2，两式作商得q=﹣2．
代入a
2
+a
3
=1，得a
1
（q+q
2
）=1．
解得a
1
=．
所以a
5
+a
6
+a
7
=（2
4
﹣2
5
+2
6
）=24．
故答案为：24．
点评：本题考查对数计算与等比数列性质的运用，属于基本计算题
15．（2014•厦门一模）已知数列{a
n
}中，a
n+1
=2a
n
，a
3
=8，则数列{log
2
a
n
}的前n项和等于
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由已知条件推导出{a}是首项和公比都是2的等比数列，从而得到
．
n
，log
2
a
n
=n，由此能求出数列
{log
2
a
n
}的前n项和．
解答：
解：∵数列{a
n
}中，a
n+1
=2a
n
，
∴
=2，∴{a
n
}是公比为2的等比数列，
，解得a
1
=2，
∵a
3
=8，∴∴
，∴log
2
a
n
=n，
∴数列{log
2
a
n
}的前n项和：
S
n
=1+2+3+…+n=故答案为：
．
．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．
16．（2014•河西区一模）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，并满足a
n+2
=2a
n+1
﹣a
n
，a
6
=4﹣a
4
，则S
9
=18．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由已知条件推导出数列{a
n
}是等差数列，由此利用等差数列性质能求出结果．
解答：
解：∵数列{a
n
}的前n项和为S
n
，并满足a
n+2
=2a
n+1
﹣a
n
，
∴数列{a
n
}是等差数列，
∵a
6
=4﹣a
4
，∴a
6
+a
4
=4，
∴=．
故答案为：18．
点评：本题考查数列的前9项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
17．（2014•天津模拟）记等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
2
+a
4
=6，S
4
=10．则a
10
=10．
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
解答：
解：等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，
∵a
2
+a
4
=6，S
4
=10，设公差为d，∴
，
解得a
1
=1，d=1，
∴a
10
=1+9=10．
故答案为：10．
点评：本题考查等差数列中第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列的性质．
18．（2014•北京模拟）设S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和，S
3
，S
9
，S
6
成等差数列，且a
2
+a
5
=2a
m
，则m=8．
考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：
由S
3
，S
9
，S
6
成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关
于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a
2
+a
5
=2a
m
的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，
即可得出m的值．
解答：
解：∵S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和，且S
3
，S
9
，S
6
成等差数列，
∴2S
9
=S
3
+S
6，即出尔反尔造句
=+，
整理得：2（1﹣q
9
）=1﹣q
3
+1﹣q
6
，即1+q
3
=2q
6
，
﹣
又a
2
+a
5
=a
1
q+a
1
q
4
=a
1
q（1+q
3
）=2a
1
q
7
，2a
m
=2a
1
q
m1
，且a
2
+a
5
=2a
m
，
﹣
∴2a
1
q
7
=2a
1
q
m1
，即m﹣1=7，
则m=8．
故答案为：8
点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．
三．解答题（共12小题）
19．（2014•濮阳二模）设{a
n
}是等差数列，{b
n
}是各项都为正数的等比数列，且a
1
=b
1
=1，a
3
+b
5
=21，a
5
+b
3
=13
（Ⅰ）求{a
n
}、{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n项和S
n
．
考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．
专题：计算题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）设{a
n
}的公差为d，{b
n
}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，
进而可得{a
n
}、{b
n
}的通项公式．
（Ⅱ）数列
解答：
的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S
n
．
解：（Ⅰ）设{a
n
}的公差为d，{b
n
}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以a
n
=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b
n
=q
n1
=2
n1
．
﹣
﹣
（Ⅱ）
．
，①
，②
②﹣①得，
===．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．
20．（2014•天津三模）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=﹣a
n
﹣
（1）求证数列{b
n
}是等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设数列{
a
n
}的前n项和为T
n
，证明：n∈N
*
且n≥3时，T
n＞
﹣
+2（n∈N
*
），数列{b
n
}满足b
n
=2
n
a
n
．
；
（3）设数列{c
n
}满足a
n
（c
n
﹣3
n
）=（﹣1）
n1
n（为非零常数，n∈N
*
），问是否存在整数，使得对任意n∈N
*
，
都有c
n+1
＞c
n
．
考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．
专题：等差数列与等比数列．
﹣
分析：
（1）由已知条件推导出2
n
a
n
=2
n1
a
n
﹣
1
+1．由此能证明{数列b
n
}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出
a
n
=．
=（n+1）•（）
n
，利用错位相减法能求出T
n
=3﹣
．
﹣
（2）由（1）知
且n≥3时，T
n＞
．再用数学归纳法能证明n∈N*
（3）由a
n
（c
n
﹣3
n
）=（﹣1）
n1
n可求得c
n
，对任意n∈N
+
，都有c
n+1
＞c
n
即c
n+1
﹣c
n
＞0恒成立，整理
可得（﹣1）
n1
•＜（）
n1
，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数后转化为函数最值即可解决．
﹣
﹣
解答：
（1）证明：在S
n
=﹣a
n﹣
+2（n∈N
*
）中，
令n=1，得S
1
=﹣a
1
﹣1+2=a
1
，解得a
1
=，
当n≥2时，S
n
﹣
1
=﹣a
n
﹣
1
﹣（）
n2
+2，
﹣
∴a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=﹣a
n
+a
n
﹣
1
+（）
n1
，
﹣
∴2a
n
=a
n
﹣
1
+（）
n1
，即2
n
a
n
=2
n1
a
n
﹣
1
+1．
﹣
﹣
∵b
n
=2
n
a
n
，∴b
n
=b
n
﹣
1
+1，即当n≥2时，b
n
﹣b
n
﹣
1
=1，
又b
1
=2a
1
=1，∴{数列b
n
}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b
n
=1+（n﹣1）•1=n=2
n
a
n
，
∴a
n=
．
，∴
=（n+1）•（）
n
，
（2）证明：∵
∴T
n
=2+3（）
2
+…+（n+1）（）
n
，①
=2（）
2
+3（）
3
+…+（n+1）（）
n+1
，②
①﹣②，得：
=1+
=1+
﹣（n+1）•（）
n+1
=
∴T
n
=3﹣
，
．
∴T
n﹣
=3﹣=，
∴确定T
n
与的大小关系等价于比较2
n
与2n+1的大小．
．
下面用数学归纳法证明n∈N
*
且n≥3时，T
n
＞
①当n=3时，2
3
＞23+1，成立
②假设当n=k（k≥3）时，2
k
＞2k+1成立，
则当n=k+1时，2
k+1
=2•2
k
＞2（2k+1）
=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，
∴当n=k+1时，也成立．
于是，当n≥3，n∈N
*
时，2
n
＞2n+1成立
∴n∈N
*
且n≥3时，T
n
＞
（3）由
．
，
得
﹣
=3
n
+（﹣1）
n1
••2
n
，
﹣
∴c
n+1
﹣c
n
=[爱情格言 3
n+1
+（﹣1）
n
••2
n小学生消防知识 +1
]﹣[3
n
+（﹣1）
n1
••2
n
]
﹣
=2•3
n
﹣3（﹣1）
n1
•2
n
＞0，∴
，①
，
②
当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为＜
依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴＜1，
当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为
依题意，③式对k=1，2，3…都成立，∴
，∴
，又≠0，
③，
∴存在整数=﹣1，使得对任意n∈N
*
有c
n+1
＞c
n
．
点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相
减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．
21．（2014•天津模拟）在等差数列{a
n
}中，a
1
=3，其前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的各项均为正数，b
1
=1，公比为
q，且b
2
+S
2
=12，
．
（Ⅰ）求a
n
与b
n
；
（Ⅱ）设c
n
=a
n
•b
n
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．
考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：
（1）根据b
2
+S
2
=12，{b
n
}的公比，建立方程组，即可求出a
n
与b
n
；
（2）由a
n
=3n，bn=3n﹣1，知c
n
=a
n
•b
n
=n•3
n
，由此利用错位相减法能求出数列{c
n
}的前n项和T
n
．
解答：
解：（1）∵在等差数列{a
n
}中，a
1
=3，其前n项和为S
n
，
等比数列{b
n
}的各项均为正数，b
1
=1，公比为q，且b
2
+S
2
=12，
．
∴b
2
=b
1
q=q，
，（3分）
解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a
2
=6（5分）
∴a
n
=3+3（n﹣1）=3n，b
n
=3n﹣1．（7分）
（2）∵a
n
=3n，b
n
=3n﹣1，
∴c
n
=a
n
•b
n
=n•3
n
，
∴数列{c
n
}的前n项和
T
n
=13+23
2
+33
3
+…+n3
n
，
∴3T
n
=13
2
+23
3
+33
4
+…+n3
n+1
，
∴﹣2T
n
=3+3
2
+3
3
+…+3
n
﹣n3
n+1
==
∴T
n
=3
n+1﹣
﹣n3
n+1
﹣n3
n+1
，
．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和
错位相减法的合理运用．
22．（2009•河西区二模）已知等差数列{a
n
}满足a
3
+a
4
=9，a
2
+a
6
=10；又数列{b
n
}满足nb
1
+（n﹣1）b
2
+…+2b
n
﹣
1
+b
n
=S
n
，
其中S
n
是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．
（1）求a
n
的表达式；
（2）若c
n
=﹣a
n
b
n
，试问数列{c
n
}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c
n
≤c
k
成立？并证明你的结论．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式、
解答：
解：（1）设等差数列{a
n
}的公差为d，∵a
3
+a
4
=9，a
2
+a
6
=10，
∴
，解得
，
、分类讨论的思想方法即可得出．
∴a
n
=2+1（n﹣1）=n+1．
（2）∵S
n
是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，
∴nb
1
+（n﹣1）b
2
+…+2b
n
﹣
1
+b
n
=
（n﹣1）b
1
+（n﹣2）b
2
+…+2b
n
﹣
2
+b
n
﹣
1
=
①﹣②得b
1
+b
2
+…+b
n
=
当n=1时，b
1
=T
n
=1，
当n≥2时，b
n
=T
n
﹣T
n
﹣
1=
=
．
，即
，①
…+
，②
．
∴．．
于是c
n
=﹣a
n
bn
设存在正整数k，使得对∀n∈N
*
，都有c
n
≤c
k
恒成立．
当n=1时，
当n≥2时，=
=
，即c
2
＞c
1
．
．
．
∴当n＜7时，c
n+1
＞c
n
；
当n=7时，c
8
=c
7
；
当n＞7时，c
n+1
＜c
n
．
∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N
*
，都有c
n
≤c
k
恒成立．
点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、
、分类讨论的思想方法是解题的关键．
23．已知等比数列{a
n
}中，a
1
=，公比q=．
（Ⅰ）S
n
为{a
n
}的前n项和，证明：S
n
=
（Ⅱ）设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
，求数列{b
n
}的通项公式．
考点：等比数列的前n项和．
专题：综合题．
分析：
（I）根据数列{a
n
}是等比数列，a
1
=，公比q=，求出通项公式a
n
和前n项和S
n
，然后经过运算即可证明．
（II）根据数列{a
n
}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b
n
}的通项公式．
解答：
证明：（I）∵数列{a
n
}为等比数列，a
1
=，q=
∴a
n
=
=，
S
n
=
又∵=
=S
n
∴S
n
=
（II）∵a
n=
∴b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
=﹣log
3
3+（﹣2log
3
3）+…﹣nlog
3
3
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b
n
}的通项公式为：b
n
=﹣
点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．
24．已知等差数列{a
n
}的前n项和为s
n
=pm
2
﹣2n+q（p，q∈R），n∈N
*
（I）求q的值；
（Ⅱ）若a
3
=8，数列{b
n
}}满足a
n
=4log
2
b
n
，求数列{b
n
}的前n项和．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：
（I）根据前n项和与通项间的关系，得到a
n
=2pn﹣p﹣2，再根据{an}是等差数
列，a
1
满足
a
n
，列出方程p﹣2+q=2p﹣p﹣2，即可求解
﹣
（Ⅱ）由（I）知a
n
=4n﹣4，再根据a
n
=4log
2
b
n
，得b
n
=2
n1
，故{b
n
}是以1为首项，2为公比的等比数列，
即可求解
解答：
解：（I）当n=1时，a
1
=s
1
=p﹣2+q
当n≥2时，a
n
=s
n
﹣s
n
﹣
1
=pn
2
﹣2n+q﹣p（n﹣1）
2
+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2
由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．
（Ⅱ）由a
3
=8，a
3
=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2
所以a
n
=4n﹣4
﹣
又a
n
=4log
2
b
n
，得b
n
=2
n1
，故{b
n
}是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以数列{b
n
}的前n项和Tn=
．
点评：本题考查了数列的前n项和与通项间的关系及等比数列的求和问题，在解题中需注意前n项和与通项间的
关系是个分段函数的关系，但最后要验证n=1是否满足n≥2时的情况，属于基础题．
25．已知数列{a
n
}（n∈N
*
）是等比数列，且a
n
＞0，a
1
=3，a
3
=27．
（1）求数列{a
n
}的通项公式a
n
和前项和S
n
；
（2）设b
n
=2log
3
a
n
+1，求数列{b
n
}的前项和T
n
．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：
（1）先根据a
3
=a
1
•q
2
=27求出q
2
，然后根据a
n
＞0，求出q的值，再由等比数列的公式求出数列{a
n
}的通项
公式a
n
和前项和S
n
；
（2）由（1）得出数列{b
n
}是等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式得出结果．
解答：
解：（1）设公比为q，则a
3
=a
1
•q
2
，∴27=3q
2
，即q
2
=9∵a
n
＞0，
∴
（2）由（1）可知b
n
=2log
3
3
n
+1=2n+1，∴b
1
=3，
又b
n+1
﹣b
n
=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，
故数列{b
n
}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴
．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的前n项和，此题比较容易，只要认真作答就可以保障正确，属于基础题．
26．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
2
=9，S
5
=65．
（I）求{a
n
}的通项公式：
（II）令
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：
（I）利用等差数列的首项a
1
及公差d表示已知条件，解出a
1
，d代入等差数列的通项公式可求
（II）由（I）可求
比数列的前n项和公式可求
解答：
解：（I）
，从而可得数列{b
n
}是首项为b
1
=32，公比q=16的等比数列，代入等
（2分）
解得：（4分），
所以a
n
=4n+1（6分）
（II）由（I）知
（7分）
因为，（8分）
所以{b
n
}是首项为b
1
=32，公比q=16的等比数列（9分），所以
．（12分）
点评：在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式，具备一定的计算能力，本题属于基础试题．
27．已知等比数列{a
n
}满足a
2
=2，且2a
3
+a
4
=a
5
，a
n
＞0．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设b
n
=（﹣1）
n
3a
n
+2n+1，数列{b
n
}的前项和为T
n
，求T
n
．
考点：等比数列的前n项和；数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：
（Ⅰ）设等比数列{a
n
}的首项为a
1
，公比为q，则，解方程可求a
1
，q结合等比数
列的通项公式即可求解
（Ⅱ）由b
n
=（﹣1）
n
3a
n
+2n+1=﹣3•（﹣2）
n1
+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即
可求解
解答：（本小题满分12分）
﹣
解：（Ⅰ）设等比数列{a
n
}的首项为a
1
，公比为q，则
整理得q
2
﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2，
∵a
n
＞0，
∴q=2．代入可得a
1
=1∴
．…（6分）
﹣
…（2分）
（Ⅱ）∵b
n
=（﹣1）
n
3a
n
+2n+1=﹣3•（﹣2）
n1
+2n+1，…（9分）
﹣
∴T
n
=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）
n1
]+（3+5+…+2n+1）
=﹣3
=（﹣2）
n
+n
2
++2n﹣1．…（12分）
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合
28．已知等比bionz 数列{a
n
}的公比为q，前n项的和为S
n
，且S
3
，S
9
，S
6
成等差数列．
（1）求q
3
的值；
（2）求证：a
2
，a
8
，a
5
成等差数列．
考点：等比数列的前n项和．
专题：综合题；分类讨论．
分析：
（1）由S
3
，S
9
，S
6
成等差数列，得S
3
+S
6
=2S
9
，然后考虑当q=1时关系式不成立，所以当q不等于1时，
利用等比数列的前n项和的公式化简此等式，根据q不等于1，利用换元法即可求出q
3
的值；
（2）由q
3
的值分别表示出a
8
和a
5
，然后分别求出a
8
﹣a
2
和a
5
﹣a
8
的值，得到两者的值相等即可得证．
解答：
解：（1）由S
3
，S
9
，S
6
成等差数列，得S
3
+S
6
=2S
9
，
若q=1，则S
3
+S
6
=9a
1
，2S
9
=18a
1
，
由a
1
≠0得S
3
+S
6
≠2S
9
，与题意不符，所以q≠1．
由S
3
+S
6
=2S
9，得
整理，得q
3
+q
6
=2q
9
，由q≠0，1，
．
设t=q
3
，则2t
2
﹣t﹣1=0，解得t=1（舍去）或t=﹣，所以
；
，
（2）由（1）知：
则a
8
﹣a
2
=a
5
﹣a
8
，
所以a
2
，a
8
，a
5
成等差数列．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道
中档题．
29．已知S
n
是等比数列{a
n
}的前n项和，
（I）求a
n
；
（II）若
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
，
．
考点：等比数列的前n项和；数列的求和．
专题：综合题．
分析：
（I）由题意可得，公比q≠1，则①②，相除可得公比q，
求得首项和公比，即可求出通项公式．
（II）首先根据（1）求出数列{b
n
}的通项公式，然后利用分组法求出前n项和．
解答：
解：（I）若q=1，则S
6
=2S
3
，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分）
则
②式除以①式，得
代入①得a
1
=2，
所以
（II）因为
，（9分）
．（7分）
①，所以
，
②（3分）
所以T
n
=（2
1
+2
0
+2
1
++2
n2
）+（1+2+3++n）=
﹣
﹣
（12分）
==．（14分）
点评：
本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式，（2）问中数列{b
n
}是等差数列和等比数列和的形式，采取分
组法求解．属于中档题．
3古人名言 0．已知{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
，已知a
2
=8，S
10
=185．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设a
n
=log
2
b
n
（n=1，2，3…），证明{b
n
}是等比数列，并求数列{b
n
}的前n项和T
n
．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比关系的确定．
专题：计算题．
分析：
（1）由题意等差数列{a
n
}中a
2
=8，S
10
=185，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可
得到数列{a
n
}的通项公式a
n
；
（2）把（1）中求出的a
n
的通项公式代入a
n
=log
2
b
n
中，确定出b
n
的通项公式，利用
等于常数得到数
列{b
n
}是等比数列，求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比写出等比数列的前n项和即可．
解答：
解：（1）
解得：d=3，a
1
=5，∴a
n
=3n+2
（2）b
n
=∴
=
=
=2
3
=8（n=1，2，3，…）
∴{bn}是公比为8的等比数列
∵b
1
=
∴T
n=
=32
（8
n
﹣1）．
=
点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档
题．
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