圆的内接四边形

圆内接四边形性质及判定定理

二圆内接四边形的性质及判断定理

[对应学生用书P21]

1．圆内接四边形的性质

(1)圆的内接四边形对角互补．

如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180，∠B＋∠

D＝180.

(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．

如图：∠CBE是圆内接四边形

D.

ABCD的一外角，则有：∠

CBE＝∠

2．圆内接四边形的判断

(1)判断定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．

(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共

圆．

[对应学生用书P21]

圆内接四边形的性质

[例1]

如图，AB是⊙

O的直径，弦

BD，CA的延伸线订交于点E，

EF

垂直

BA的延伸线于点

F.

求证：∠

DEA＝∠DFA.

[思路点拨

]

此题主要考察圆内接四边形判断及性质的应用．

解题时，

只要证

A，D，E，

F

四点共圆后可得结论．

[证明]

连结

AD.由于

AB为圆的直径，所以∠

ADB＝90又.EF⊥AB，

∠EFA＝90，所以

A，D，E，F

四点共圆．

所以∠DEA＝∠DFA.

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圆内接四边形性质及判定定理

圆内接四边形的性质即对角互补，

一个外角等于其内中国食物英语 角的对角，

可用来作为三角形相像

的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．

1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为

4∶3∶5，求四边形各角

的度数．

解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，

则由∠A＋∠C＝180，

可得4x＋5x＝180∴.x＝20.

∴∠A＝420＝80，∠B＝320＝60，

∠C＝520＝100，∠D＝180－∠B＝120.

2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延伸AD，BC订交于点E，

点F是BD的延伸线上的点，且DE均分∠CDF.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若AC＝3cm，AD＝2cm，求DE的长．

解：(1)证明：

∵∠ABC＝∠2，

∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，

∴∠ABC＝∠4.

∴AB＝AC.

(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC，

∠DAB＝∠BAE，

∴△ABD∽△AEB.

∴

AB

＝

AD

.

AEAB

∵AB＝AC＝3，AD＝2，

∴AE＝

2

AB

＝

9

AD2

.

∴DE＝－2＝(cm).

2

2

95

圆内接四边形的判断

[例2]

如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中

点，且AP⊥BC于P.

求证：E，D，P，F四点共圆．

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圆内接四边形性质及判定定理

[思路点拨]

可先连结

PF，结构四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FP钰字女孩最佳组合名字 C＝∠C，再证

明∠FPC＝∠FED即可．

[证明]

如图，连结

PF，

∵AP⊥BC，F为AC的中点，

∴PF＝

1

AC.

2

∵FC＝AC，

2

∴PF＝FC.

∴∠FPC＝∠C.

1

∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中

点．∴EF∥CD，ED∥FC.

∴四边形EDCF为平行四边形，

∴∠FED＝∠C.

∴∠FPC＝∠FED.

∴E，D，P，F四点共圆．

证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必定点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的

一组对角钢铁军团盖伦 互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那

么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的

同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．

3．判断以下各命题能否正确．

(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不仅一个；

(2)矩形有独一的外接圆；

(3)菱形有外接圆；

(4)正多边形有外接圆．

解：(1)错误，随意三角形有独一的外接圆；

(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点

(4)正确，由于正多边形的中心

的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；

到各极点的距离相等．

4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于

点G.求证：

(1)D、E、F、G四点共圆；

(2)G、B、C、F四点共圆．

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圆内接四边形性质及判定定理

证明：(1)如图，

连结GF，

由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠

GDF＝∠GEF＝90，

∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．

(2)连结DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，

∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.

∴G、B、C、F四点共圆.

圆内接四边形的综合应用

[例3]如图，已知⊙O

1

与⊙O

2

订交于A、B两点，P是⊙O

1

上一

点，PA、PB的延伸线分别交⊙O

2

于点D、C，⊙O

1

的直径PE的延伸

线交CD于点M.

求证：PM⊥CD.

[思路点拨]

⊙O

1

与⊙O

2

订交，考虑连结两交点

A、B得公共弦

AB；PE是⊙O

1

的直径，

考虑连结AE或BE得90的圆周角；要证

PM⊥CD，再考虑证角相等．

[证明]

如图，

分别连结AB，AE，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠ABP＝∠D.

∵A、E、B、P四点共圆，

∴∠ABP＝∠AE多年以后歌词 P.

∴∠AEP＝∠D.

∴A、E、M、D四点共

圆．∴∠PMC＝∠DAE.

∵PE是⊙O

1

的直径，

∴EA⊥PA.

∴∠PMC＝∠DAE＝90.

∴PM⊥CD.

此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，而后利用圆内接四

边形的新来乍到 性质证明或求得某些结论建立．

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圆内接四边形性质及判定定理

5.如图，P点是等边△ABC外接圆的

BC

上一点，CP的延伸线和

AB

的延伸线交于点

D，连结BP.

求证：(1)∠D＝∠CBP；

(2)AC

2

＝CPCD.

证明：(1)∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠A＝60.

∴∠DBC＝120.

又∵四边形ABPC是圆内接四边形，

∴∠BPC＝180－∠A＝120.

∴∠BPC＝∠DBC.

又∵∠DCB＝∠BCP，

∴△BCP∽△DCB.

∴∠D＝∠CBP.

(2)由(1)知△BCP∽△DCB，

∴

BC

＝

CP

.

DCCB

∴CB

2

＝CPCD.

又CB＝AC，∴AC

2

＝CPCD.

6．如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，

AD，BE订交于点

P.

求证：(1)四点P，D，C，E共圆；

(2)AP⊥CP.

解：(1)证明：在△ABC中，

由BD＝

1

BC，CE＝1

CA知：

3

3

△ABD≌△BCE，

即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180，

所以四点P，D，C，E共圆．

(2)如图，连结DE.

在△CDE中，CD＝2CE，

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AC上，且BD＝

1

BC，CE＝1

CA，

3

3

圆内接四边形性质及判定定理

∠ACD＝60，

由余弦定理知∠CED＝90.

由四点P，D，C，E共圆知，

∠DPC＝∠DEC，

所以AP⊥CP.

[对应学生用书P24]

一、选择题

1．设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：

①sinA＝sinC，②sinA＋sinC＝0，③cosB＋cosD＝0，④cosB＝cosD.

此中恒建立的关系式的个数是(

A．1

C．3

)

B．2

D．4

分析：由于圆内接四边形的对角互补，

故∠A＝180－∠C，且∠A，∠C均不为0或180，

故①式恒建立，②式不文字开头的成语 建立．

相同由∠B＝180

－∠D知，③式恒建立．

④式只有当∠

B＝∠D＝90时建立．

答案：B

2．圆内接四边形

ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D能够是(

B．4∶3∶1∶2

)

A．4∶2∶3∶1

C．4∶1∶3∶2

D．以上都不对

分析：由四边形

ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，进而只有

B切合题意．

答案：B

3．如图，四边形

ABCD

是⊙O的内接四边形，

E为

AB的延伸线

)

上一点，∠

CBE＝40，则∠AOC

等于(

A．20

B．40

C．80

D．100

分析：四边形

ABCD

是圆内接四边形，且∠

∠CBE＝40，

CBE＝40，由圆内接四边形性质知∠

D＝

又由圆周角定理知：∠

AOC＝2∠D＝80.

答案：C

4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，以下结论中正确的有

(

)

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圆内接四边形性质及判定定理

①假如∠A＝∠C，则∠A＝90；

②假如∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；

③∠A的外角与∠C的外角互补；

④∠A∶∠B∶∠C∶∠D能够是1∶2∶3∶

4

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

分析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻

角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组

对角之和的份额一定相等(这里1＋3≠2＋4)．所以得出①③正确，②④错误．

答案：B

二事业单位面试题 、填空题

5．(2014陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交

AB，AC于

点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.

分析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF

∽△ACB，∴＝，

ACBC

即＝，∴EF＝3.

26

答案：3

AEEF

1EF

6．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD均分∠ACB

，

则AC＝______，

BD＝________.

分析：∠ACB＝90，∠ADB＝90.

在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，

∴AC＝AB

2

－BC

2

＝6.

又∵CD均分∠ACB.

即∠ACD＝∠BCD，

∴AD＝BD.

∴BD＝

AB

2

＝

52.

2

52

答案：6

7．如图，点

A，B，C，D都在⊙O上，若∠C＝34，则∠AOB＝________，∠ADB＝

________.

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圆内接四边形性质及判定定理

分析：∵∠C和∠AOB分别是

AB

所对的圆周角与圆心角，

∴∠AOB＝2∠C＝68.

∵周角是360，劣弧AB的度数为68，∴优弧AB的度数为292.天然乳胶枕

1

∴∠ADB＝292＝146.

答案：68146

三、解答题

8.已知：如图，E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，对

角线AC与BD订交于O点，求证：E，F，G，H共圆．

证明：法一：

连结EF、FG、GH、HE.

∵E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF∥AC.同理EH∥BD.

∴∠HEF＝∠AOB.

∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90.

同理∠FGH＝90.

∴∠HEF＋∠FGH＝180.

∴E、F、G、H共圆．

法二：

连结OE、OF、OG、OH.

∵四边形ABCD为菱形．

∴AC⊥BD，

AB＝BC＝CD＝DA.

∵E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，

∴OE＝AB，OF＝BC，

2

2

OG＝CD，OH＝DA.

2

2

∴OE＝OF＝OG＝OH.

∴E，F，G，H在以O点为圆心，以OE为半径的圆上．故

E，F，G，H四点共圆．

11

11

9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延伸线与BC的延伸

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圆内接四边形性质及判定定理

线交于E点，且EC＝ED.

(1)证明：CD∥AB；

(2)延伸CD到F，延伸DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．

证明：(1)由于EC＝ED，

所以∠EDC＝∠ECD.

由于A，B，C，D四点在同一圆上，

所以∠EDC＝∠EBA.

故ECD＝∠EBA.

所以CD∥AB.

(2)由(1)知，AE＝BE.

由于EF＝EG，

故∠EFD＝∠EGC，进而∠FED＝∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，

故∠FAE＝∠GBE.

又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，

所以∠FAB＝∠GBA.

所以∠AFG＋∠GBA＝180.

故A，B，G，F四点共圆．

10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，点C与点D分别是

劣弧

A创意项目 B

与优弧

ADB

上的任一点

(点

C、

D

均不与

A、

B

重合

)．

(1)求∠ACB.

(2)求△ABD的最大面积．

解：(1)连结OA、OB，作OE⊥AB，E为垂足，则

AE＝BE.

Rt△AOE中，OA＝2.

AE＝

1

AB＝1

23＝3.

2

2

AE

所以sin∠AOE＝

＝

3

，

∴∠AOE＝60，∠AOB＝2∠AOE＝120.

又∠ADB＝1

∠AOB，

2

∴∠ADB＝60.

又四边形ACBD为圆内接四边形，

∴∠ACB＋∠ADB＝180.

进而有∠ACB＝180－∠ADB＝120.

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圆内接四边形性质及判定定理

(2)作DF⊥AB，垂足为

F，则

S

△

ABD＝

1

BDF＝

2

3DF＝3DF.

A

2

2

1

明显，当

DF经过圆心O时，DF取最大值，

进而S

△

ABD

获得最大值．

此时DF＝DO＋OF＝3，S

△

ABD

＝

33

，

即△ABD的最大面积是33.

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