向量内积公式

向量点乘(内积)和叉

乘(外积、向量积)概

念及几何意义解读

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概念

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数

组；

向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两黄瓜片汤

个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

点乘公式

对于向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

点乘几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在

向量方向上的投影，有公式：

推导过程如下，首先看一下向量组成：

定义向量：

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b向量在a

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根据三角形余弦定理有：

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

即：

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这

两个向量是否是同一方向，是否茶与书法 正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

ab>0

ab=0

ab<0

方向基本相同，夹角在0到90之间

正交，相互垂直

方向基好看的小说完本推荐 本相反，夹角大学几月开学 在90到180之间

叉乘公式

两个向量的小狗图画 叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向乡色酒 量而不是

一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：

a和b的叉乘公式为：

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其中：

根据i、j、k间关系，有：

叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向

量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个

垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构

成的平行四边形的面积。

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