柯西不等式证明

柯西不等式的证明及妙用

摘要：在高等数学的应用领域，柯西不等式的重要性不言而喻。本文致力于

探究柯西不等式的证明方式，并在此基础上深入研究柯西不等式在其它方面的妙

用。在求证不等式时，柯西不等式发挥着越来越重要的作用。除此之外，寻找方

程的最优解，解析几何图形特别是三角形，以及更深层次的点线之间的距离关系，

都可以与柯西不等式相互证明和解释。

关键词：柯西不等式，证明，妙用

对于柯西不等式的证明与应用问题，可以说涉及数学研究的方方面面，是现

代数学学习的重要鼎力。本文在讲述柯西不等式基本原则的基础上，深入研究其

证明的方法以及与其他数学知识相结合产生的妙用。柯西不等式的重要性不言而

喻，对于柯西不等式的证明问题也有很强的多样性，本文就列举了几种方法来证

明柯西不等式。从另一个角度看，柯西不等式与其他的数学原则紧密结合，在多

个方面列举了柯西不等式的妙用。

一、相关定理

柯西不等式是指下面的定理

定理设则

当数组a

1

，a

2

，…，a

n

,b

1

，b

2

，…，b

n

不全为0时，等号成立当且仅当

.

柯西不等式有两个很好的变式：

变龙的主人 式1设等号成立当且仅当

,

变式2设a

i

,b

i

同号且不为0（i=1，2，…，n）则

二、柯西不等式的证明

常用的证明柯西不等式cpu涂硅脂 的方法有：

1）配方法：

,

作差：因为

所以

即当且仅当

，即

即时等号成立。

2）利用判别式证明（构造二次函数法）

若函数函数

，则此时不等式显然成立。若，构造二次

对于xR恒成立，所以此二次

的判别式△≤0，即得证。

3）用数学归纳法证明

i）当

时，有

，不等式成立。

当n=2时，

。

因为

，故有

当且仅当

ii）假设

，即时等号成立。

时不等式成立。即

当且仅当那么当

时，

时等号成立。

当且仅当时等号成立，

即时等号成立。

于是时不等式成立。

由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。

4）用向量法证明

设维空间中有二个向

为任意两组实数。

由向量的长度定义，有

又由内积的定义，

且有

因||

|

，故

|≤

，，其中

|,

,其中是,的夹角，

。

，于是

即

当且仅当||时，即与共线时等号成立。

由,共线可知

即

由以上，命题得证。

三、柯西不等式的妙用

1）证明不等式

在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常

归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。

例3.1.1已知a>b>c>d，求证：。

证因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知

=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥

=9

从而。

例3.1.2：已知求证：

，

证法一：（常用证法）

把上面个不等式相加，得

即

证法二：（利用柯西不等式来证明）

分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：

由柯西不等式（A）有

两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷

例3.1.3：设（i=1，2，…n）且，求证：

[5]

证注意到恒等式=，只需要证明

≥即

上式左边=≤

=，得证。

,满足

例3.1.4：设实数>0,b,c求证

证因为a>0,由均值不等式得==

同理可得

，，故

由柯西不等式可知

从而又

=6

+

=

故

当且仅当

例3.1.5：已知有不等式

2即

时等号成立。

2

为互不相等的正整数，求证：对写季节的作文 于任意的正整数n，

。

证明：由柯西不等式：

于是又因为

。

为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于，次小的

数不小于，最大的不小于，这样就有。

所以有。

因为

而

所以有。

例3.1.6：设，则证明：

，有

[5]

证明：由柯西不等式，对于任意的个实数

即

于是

。

例3.1.7:设

证由柯西不等式变式1，得

，则

。

[5]

左边=

≥==≥

例3.1.8（第42届IMO预选题）设是任意实数。证明：

<

证由柯西不等式，对于任意实数

≤

.

有

令=，k=1，2，…n.

因此原不等式转换为证明<1

当k≥2时，有≤

=-

当k=1时，≤1-，因此

≤1-<1.故原不等式得证。

例3.1.9设，则

.

[5]

证由柯西不等式，得

左边=

≥-

≥

==≥

例3.1.10.若n是不小于2的正整数，试证：

[5]

证明：

所以求证式等价于

由柯西不等式有

于是：

又由柯西不等式有<

2）求函数的极值

柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由

可得

，这个公式的前半部可以看做函数来处理，后半部则可以理解为一个固定值，

由此可得

从大到小可以确定是从

到

，在这个函数有最大可能性与最小可能性时。

从对立的角度讲，柯西不等式的前端可以取一个乘法关系或者因果关系的算

式，然后把它看做是一个函数关系，在假设后半段或者其他数学关系为已知关系

时，可以从最小的层面上得出函数的值。

例3.2.1：求函数

方式一：由算式可知面，也可以理解为

的最大值，并指出为何值时取得最大.

所以

在最简单的函数层

，从三角函数的角度，我们很容易解析出算式的

最大值是10.但x的结果并没有办法确定。

方式二：从柯西不等式的关系来看

=10如要要符合等式成立，相应的条件应该是，每当

=

时，可以

形成一个等式，在这个时候=3.36所以最大的可能值是10与此同时，我们可以

算出=3.3.6.

例3.2.2：已知

的最大值与最小值。

解：由柯西不等式：故

。

[5]

为常数，当时，求函数

当且仅当将

，即

代入

得

（为常数）时等号成立。

则，即当时，

分别为所求的最大与最小值。

例3.2.3已知实数a,b,c,d,满足

最值

解：由柯西不等式得，有

,

，试求a的

即

由条件可得，

解得，当且仅当时等号成立，

代入时，

时

3）解方程

例3.3.1：解方程组

解：由柯西不等式：

即，故方程组无解。

例3.3.2：在实数集内解方程组

解：由柯西不等式：

（1）

.

[5]

因为

又因为即

即（1）式取等号。

。

由柯西不等式取等号的条件有（2）

（2）式与

例3.3.3解方程

联立，则有

.

[5]

。

解根据柯西不等式

≤

因

≤

=11从而

即

≤0从而

的可逆性还得到

=

=0故=0又由上述过程

再根据柯西不等式取等号的条件，有

且仅有（k为常数）将此带如原方程得

即

=11，而

=0从

而k=1因此求得原方程的解为

4）解三角与几何问题

例3.4.1在△ABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R求证

≥36

证明根据柯西不等式的原则

=

=36，证必。

≥

例3.4.2如果P作为△ABC中的一个点，分别是P点到三角形的三条边

。

的长度，作为△ABC划出的圆半径，由此可得

证明：由柯西不等式得，

记为△ABC的面积，则

故不等式成立。

例3.4.3：在三角形

证明：由柯西不等丁的组词 式：

中，证明

。

[5]

即（1）

因为

故又因为

（2）

因而（3）

将（3）代入（2）得（4）

将（4）代入（1）得

即。

例3.4.4：从三角形的三边关系出发，由它的边长组成的正方形面积的和大于等于三角形总面积的

，得出

关系，这个数学关系中

作

为三角形的三条边长，为是三角形的总面积。

解：从海伦——秦九韶的面积公式可以得出：

，其中

于是

。

由柯西不等式：

当且仅当

于是

变屏幕进水 形得：

，即时等式成立。

。

。

即故有

（是三角形的面积）

，当且仅当

时等号成立。

例3.4.5：设△ABC为任意三角形，求证：

分析：从所要证明的不等式出发，构造如下两组数：

，1，1，1

由柯西不等式，有

即

从不等式与证明关系的比较角度而言，等式关淘宝打不开 系

的得出，可以很好的解决这一类的难题，从不利的层面讲，

，因此，这种数组关系很难从不等式的解法上找出这一求证方

法，一系列原则下的两组数字如下所示：

；

由柯西不等式（A），有

即.

把上面不等式与求证不等式比较，可知要证原不等式成立，须证

上面这个不等式，可证明如下：

由已知

这样，本题即可证明了.

根据上面的分析，写出证明如下：

先构造如下两组数

由柯西不等式有

即

由已知

于是，有1,

.

5）线性关系函数与柯西不等式关系的妙用

从《概率论与数理统计》一书中，我们可以看出，线性回归关系有相应地系

数关系这一关系存在，从中可以得出和离1越近，

它们的相互关系水平越高，值会逐渐向0演变，它们的相互关系水平会逐渐变

低。从柯西不等式的角度，线性关系可以得到很好地解释。

现记

，

，则，

，由柯西不等式有，

当时，

此时，

上，

，k为常数。点均在直线

当时，

即

而

为常数。

此时，此时

点当

均在直线

时，

，，k为常数

附比至 近，所以越接近于1，相关程度越大

不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点

附近。所以，越接近于0，则相关程度越小。

都在直线

6）推导点到直线的距离公式

已知点

及直线

，设

是上任意一点，

|

点到的距离的最小值|

。

|就是点到的距离，证明：|

证明：因为是上的点，所以有

而|

|

（2）

。（1）

由柯西不等式：

（3）

由（1）得：

（4）

将（4）代入（3），则有

即

移项则有：||（5）

当且仅当|

。

四、结论

即时（5）式取等号，即点到直线的距离公式：|

本文探究了柯西不等式的证明以及在多个方面的妙用，不管是方程最优解的

寻求，还是三角形或其他几何图形的解析问题，柯西不等式都发挥着重要的作用。

通过对柯西不等式证明及妙用的研究，对于更有效的利用柯西不等式有重要作用。

但是,柯西不等式的运用条件十分灵活，且技巧性强，很多时候都不能直接运用

柯西不等式来解决某些数学问题。从哪里入手，如何创造条件，怎么创造，实际

教学中不少同学找不到突破口，感到无所适从，所以这就要求我们还需要进一步

去深入研究。

参考文献

1.

刘瑞香.不等式证明方法[J].高等数学研究，2019,22（06）：25-28

2.

马进才.柯西不等式的应用初探[J].河北理科教学研究，2019(04):9-11.