裂项法

典型的裂项法求和例我要学打字 题

1、

这是最简单的裂项求和，因为

所以原式=1-

2、

和上题原理一样，只是分母相乘的两个数差为2因为

1111

++

......

+

1335571921

119

=

2020

1111

++

......

+

1223341920

111

=-

n*(n+1)nn+1

1111

=(-)

(2n-1)*(2n+1)22n-12n+1

1110

所以原式=

(1-)=

22121

111111

3、

+++

......

++

1324354619212022

这是

1

前20项的和，同上差为2，但(下)首(上)尾不同

n*(n+2)

111111

++

......

+

)+(

+

......

+

)

1335192124462022

11111105

=

(1-)+(-)

=

+

22122222122

原式=(

4、

1111

++

......

+

123234345192021

这是

1

前最小的洲 19项的和

n(n+1)(n+2)

1111

=[-]

n(n+1)(n+2)2

n

*(

n

+1)(

n

+1)(

n

+2)

同样分解为

111209

所以原式=

(-)=

2122021840

1

5、

1*2+2*3+3*4+......+19*20

以上4例为分数裂项，本题为整数裂项

1

因为

n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]

31

比如

2*3=(234-123)

31

所以原式=

(192021)=2660

3

6、

1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+9*10*11

1

同上题一样

n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]

4

1

所以原式=

(9101112)=2970

4

7、1+2*2!+3*3!+......+8*8!

由于(n+1)!-n!=n*n!

所以原式=（1+3!-2!+4!-3!+……+9!-8!）=9!-1

3333

8、

C

3

+C

4

+C

5

......+C

15

m

+1

m

+1

m

由于

C

n

=C

n

，（

nm+1

）

+1

-Cn

444

所以原式=1+

C

5

4

-C

4

4

+

C

6

4

-C

5

4

+......+

C

16

-C

15

=

C

16

=

1820

或展开组合式子用n(n+1)(n+2)的裂变也可以得出答案

3333

C

3

+C

4

+C

5

......+C

15

=1+4!/3!+5!/(3!2!)+6!/(3!3!)+......+15!/(3!12!)

=1+4*3*2/3!+5*4*3/3!+6*电脑怎么强制重启 5*4/3!+.....+15*14*13/3!

=1+(4*3*2+5*4*3+6*5*4+...综合治理 ..+15*14*13)/3!

=1+1/4(16*15*14*13-1*2*3*4)/3!

=1+6*(10*14*13-1)/3!=1820

2

9医圣张仲景 、

1+2+2

2

+2桌面屏保怎么设置

3

+......+2

9

典型的等比数列，因为

2

n

=2

n

+1

-2

n

所以原式=

1+2

2

-2+2

3

-2

2

+.......+2

10

-2

9

=

2

10

-1=1023

10、

3+3

2

+3

3

......+3

9

等比数列，因为

3

n=

1

n+1

(3-3

n

)

2

11

所以原式=

(3

2

-3+3

3

-3

2

+......+3

10

-3

9

)

=

(3

10

-3)=29523

22

其他如：

1

n

+1+n

=

n

+1-

n

(

a-

1)

a

n

=a

n

+1

-a

n

lg

n

+1

=lg(

n

+1)-lg

n

等等n

3