考研概率论

考研概率论试题（数一,数三）（2）

考研概率论试题（数一，数三）

题目：(87,2分)设在一次试验中A发生的概率为p,现进行n次独

立试验,则A至少发生一次的概率为1(1);np--而事件A至多发生一次

的概率为。

知识点：伯努利概型

解答：根据伯努利概型的概率计算公式，A至少发生一次的概率

1-P{A发生0次}=238120

+?+?=而

P{A至多发生1次}=P{A发生0次}+P{A恰发生1次}=00011

1(1)(1)nnnnCppCpp---+-=1(1)(1)nnpnpp--+-

题目：(87,2)三个箱子,第一个箱子中有4个黑球1个白球,第二个

箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机

地取一个箱子,再从

这个箱子中取出1个球,这个球为白00011

1(1)(1)nnnnCppCpp---+-球的概率等于53120

，已知取出的球是白球,此球属于第七彩桥 二个箱子的概率为2053.

知识点：全概率公式和贝叶斯公式的应用

解答：记iA={取的是第住房申请 i个箱子)(i=1，2，3)，B={从箱子中取

出的是白球)，那么

1231()()()3

PAPAPA===112233()()()()()()()

PBPAPBAPAPBAPAPBA=++,

22()()()

PABPABPB=

,

35()8PBA=

第一问由全概率公式，得

112233()()()()()()()PBPAPBAPAPBAPAPBA=++

=11111553

35鞍山师范 3238120+?+?=

第二问由贝叶斯公式，得

22()()()

PABPABPB==

22112233()()()()()()()()

PAPBAPAPBAPAPBAPAPBA++

=112?=1120

325353120

=

题目：(87,6分)

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为1,01

()0,Xxfx≤≤?=?

其他,0()0,

yYeyfyy-?>=?

≤?

求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.

知识点：二维随机变量（连续型）函数的分布

答案：2001

()(1)

0221(1)2

2zZZ

ZfZeZeeZ--??

∞

-∞-∞+?

=1

1

20

2(2)()yzxx

dxhxyedydxhzeedz+∞

+∞

--+=

=2

1

2220

2

(())(())zzxzxhze

edxdzhzeedxdz+∞--+??

=2

202(()(1)

()(1)22zzz

eehzedzhzedz--+∞--+-??所以

2

001

()(1)0221(1)2

2zZZZfZeZeeZ--??<-≥??

题目：(87,2分)已知连续型随机变量X

的概率密度为2

21

()x

xfx-+-=,

则EX=1,DX=12

知识点：正态分布的密度，期望和方差解答：因

2

(1)1221

()()1xfxexR--

=∈,可见1(1,)2XN,阅读小报 故1

()1,()2EXDX==.

题目：(88,2分)设三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知

A至少出

现一次的概率等于1927,则事件A在一次试验中出现的概率为1

3.

知识点：伯努利概型

解答：设在每次试验中A出现的概率为户．则1927=1927

=P{A至少出现1次)=1一P{A出现0次}=00

30331(1)1(1)Cppp---=--，解答：得13

p=。

题目：(88,2分)在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和

小于6

5

”的

概率为17

25.

知识点：几何概型

解答：设这两个数为x和y，则(x，y)的取值范围为图1—1中

正方形G，那么

满足“两数之和65<”即“x+y5

6<”的(x，y)的取值范围为图1-1中阴影部分D．本

题为等概率型几何概率题，所求概率为DpG=

的面积的面积DpG=的面积

的面积.

而G的面积为l，D的面积为2110.82

-?=0.68,故0.68p=.

题目：(88,2分)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正

态分布上.已知

22

(),(2.5)0.9938ux

xdu-==?

，

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为0.9876.

知识点：正态分布的概率计算

解答：由题意，2(10,0.02),XN故

10(0,1)0.02

XN-,因此9.95101010.0510

(9.9510.05)()0.020.020.02XPXP---<<=<<

=(2.5)(2.5)2(2.5)1--=-=0.9876

题目：(88,6分)设随机变量X的概率密度函数为2

1

()(1)

Xfxx=

+,求随机变量

()Yfy.解答：：26

3(1)[1(1)]

yy-+-yR∈知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布。

解答：1y=的饭函数3()(1)xhyy==-单调，故

32()(()()((1)3(1)(1)YXXfyfhyhyfyy'==---=26

3(1)[1(1)]yy-+-()yR∈.

题目：(89,2分)已知随机事件A的概率P(A)=0.5,随机事件B的

概率P(B)=0.6及条件概率

P(B|A)=0.8,则和事件AB的概率P(AB)=0.7.知识点：条件概

率解答：：由0.8()

()()

PABPBAPA==

，得()()()

PABPBAPA==

()0.8()0.80.50.4PABPA==?=故()()()()0.50.60.4PABPAPBPAB=+-=+-=0.7

题目：(89,2分)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率

分别为0.6和

0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为3

4.

知识点：条件概率定义式，时间和概率计算和独立性的应用。

解答：记A={甲命中目标)，B={乙命中目标}，C=(目标被命

中)．则由题意，知()0.5PB=，()0.5PB=，A与B独立，且,CAB

ACA==,从而

()()()0.75()()

PACPAPACPCPC===

题目：(90,2分)设随机事件A,B及其和事件AB的概率分别是0.4,

0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=0.3.

知识点：概率的性质

解答：：由已知得

0.6()()()()0.40.3()PABPAPBPABPAB==+-=+-

0.6()()()()0.40.3()PABPAPBPABPAB==+-=+-

即()0.1PAB=.故

()()()()PABPABPAPAB=-=-()()()()PABPABPAPAB=-=-=0.3

题目：(90,2分)已知随机变量X的概率密度函数||

1()2xfxe-=

,x-∞<<+∞,则X的概率分布函数102

()11,02x

xexFxex-?

-≥??当当

知识点：密度求分布函数的公式

解答：1()()2xxt

Fxftdtedt--∞-∞==??。当0x<时，111()222xttxxFx

edtee-∞-∞===?；当0x>时00111()1222

xt

txFxedtedte---∞=+=-??题目：(90,2分)已知随机变量X

服从参数为2的泊松分布,且胡机变量Z=3X-2,则EZ=4.

知识点：期望的性质和泊松分布的期望

题目：(90,6分)设二维随机变量(X,Y)在区域D：0<="">

解答：D的面积（见图4-1）为212112

=，故（X,Y）的概率密度为

1,(x,y)(,)0,D

fxy∈??

其他

关于X的边缘概率密度为()(,)Xfxfxydy+∞-∞

=?

当01xx≤≥或时，()0Xfx=当01x<<时，()12x

Xxfxdyx-==?

故2,01

(,)0,xxfxy<<其他

因而1

02()23EXxxdx==

，12201()22

Exxxdx==?所以1()18DX=

2

()(21)9DZDX=+=

题目：(91,3分)随机地向半圆0

a为正常数)内掷一点,点落在半圆

内任何区域的概率与该区域的面积成正比.则原点与该点的连线与

x轴的夹角小于4的概率为112

+.知识点：几何概率

解答：记图1-2中半圆区域为G，阴影部分区域为GS和DS,

则

222111a242GDSSaa==+，222111a242

GDSSaa==+，，

所求概率为112DGSS=+.

题目：(91,6分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

(2)20,0(,)0,

xyexyfxy-+?>>=?

其他

求随机变量Z=X+2Y的分布函数做用英语怎么说 .

知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布解答：Z的分布函

数为

2(2)

220

()22zzy

xyz世界上最大的海是什么海

xGFze

dxdyedyedx

--+--==2(){}{2}(,)xyz

FzPZzPXYzfxydxdy+≤=≤=+≤=

当0z≤时，()0Fz=，当0z>时，

2(2)

220220

()22=(22)1zzyxyy

xGzyzzzFze

dydxedyedx

eedyeze--+------==-=--

其中{(,)2,0}Gxyxyzz=+≤>，故

10()00

ZZZeZeZFZZ--?--≥?

=?<?

题目：(91,3分)

设随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布,且

{24}0.3,{0}PXPX<<=<=则0.2

知识点：正态分布的计算

题目：(92,3分)已知P(A)=P(B)=P(C)=11,()0,()()416

PABPACPBC===,则事件

A、

B、

C全不发生的概率为3

8.

知识点：概率的性质和对偶原则

解答：因ABCAB?,故0()()0()0PABCPABPABC≤≤==，=0，

从而所求概率为

()1()PABCPABC=-()1()PABCPABC=-

=1(()()()()()PAPBPCPABPAC-++--()())PBCPABC-+

=

712

()())PBCPABC-+

题目：(92,6分)

设随机变量X与Y相互独立,X服从正态分布2(,)N,Y服

从[-,]上均匀分布,试求Z=X+Y的概率分布密度(计算结果用标

准正态分布

函数表示,

其中22

()()tx

xe

dt-

-∞

=.

知识点：二维（连续型）随机变量函数的分布

：1[()()]2ZuZu??

-+---解答：由题意，Y的概率密度为1

-y()20Yfy?≤≤?=，

，其他X

的概率密度为22

()2()()xXfxx--

=

-∞≤≤∞

由卷积公式的Z的概率密度为

2()21

()2zyZfzdy

---

-

=

作积分变量代换：zyt

--=，得

()Zfz=1[(鱼歌词 )()]2ZuZu??-+---

题目：(92,3分)

设随机变量X服从参数为1的指数分布,则2()xEXe-+=43

.知识点：指数分布的期望，函数的期望

题目：(93,3分)一批产品有10个正品和2个次品,任意抽取两次,

每次抽一个,

抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为1

6.

知识点：条件概率

解答：由抽签原理（抽签与先后次序无关），第二次抽得次品的

概率和第一

次抽到c次品的概率相同，都是1

6

。

题目：(93,3分)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量

2YX=在(0,4)

内的概率分布密度()Yfy=121,04

40,yy-?<<

当其他

知识点：一维（连续型）随机变量函数的分布

题目：(93,6分)设随机变量X的概率密度为||1

(),2

xfxex-=-∞<<+∞

（1）求EX和DX；

（2）求X与|X|的协方差,并问X与|X|是否不相关？（3）问X

与|X|是否相互独立？为什么？知识点：（连续型）机变量及其函数的

数学期望和其他数字特征的计算解答：（1）

1()()02x

EXxfxdxxedx+∞+∞--∞-∞===??，而

22

2201()()2=2

xxEXxfxdxxedx

xedx+∞+∞--∞-∞+∞-===

22()()(())2DXEXEX=-=（2）因()0,()EXEX=存在，所以

ov,)()()()CXXEXXEXEX=-（=()xxfxdx+∞

-∞=0

可见，X与X不相干（4）因1

111(1)1122x

xPXedxedx---∞-∞≤==-<??

又11111(1)()02x

PXfxdxedx---≤==>??

故(1,1)(1)(1)(1)PXXPXPXPX≤≤=≤≠≤≤可见，X与X不独

立。

题目：(94,3分)已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且

P(A)=p,则P(B)=1-p.

知识点：概率的计算性质和对偶原则

解答：()()1()

PABP眉峰高的男人面相 ABPAB==-()()1()PABPABPAB==-

=1(()()()PAPBPAB-+-=1()()pPBPAB--+故()1PBp=-

题目：(94,3分)

设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律,且X

的分布律为

01

112

2

Xp

则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为

011344Zp

.知识点：二维（离散型）随机变量函数的分布

题目：(94,6分)

已知随机变量22~(1,3)~(0,4),XNYNXY，且与的相关系

数1

,2XY=-

32XY

Z=+设，(1)求EZ和DZ；(2)求X与Z的相关系数;XZ(3)问X

与Z是否

相互独立？为什么？

知识点：方差，协方差的计算性质和正态分布的性质解答：(1)

显然，()1,()9,()0,()16EXDXEYDY====,故

(,)XYCovXY==-6所以111

()()323EZEXY=+=111111

()()()()2(,)329422

DZDXYDXDYCovXY=+=++

=3（2）因

1111(,)(,)()(,)3232

CovXZCovXXYDXCovXY=+=+

=0于是

0XZ==

(3)由0XZ=,知X与Z不相关，又因

10113

2XXZY??

=???

且(),()XXNNYZ??????????故,故知X与Z相互独立。

题目：(95,3分)设X和Y为两

个随机变量,且34

{0,0},{0}{0}77

PXYPXPY≥≥=≥=≥=

则{max(,)0}PXY≥=5

7.

知识点：概率的性质和对{max{,}}XYC≥的处理

题目：(95,3分)

设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标

的概率为0.4,则2()EX=18.4

知识点：二项分布的数字特征

题目：(96,3分)设和是两个相互独立且均服从正态分布N(0,

1

2

)的随机

变量,则(||)E-=

知识点：正态分布的数字期望

题目：(96,6分)设和是相互独立且服从同一分布的两个随机变

量,已知的

分布律为1

(),1,2,3max(,),min(,).

3

PiiXY

=====

又设

(1)写出二维随机变量(X,Y)的分布律；(2)求EX.

知识点：二维（离散型）随机变量的分布律及边缘分布律解答：

（1）（X,Y）的分布律如下

（2）由（X,Y）的分布律可得到关于X的边缘分布律为

故

13522()1239999

EX=?+?+?=.

题目：(96,3分)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和

2%,现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽

取一件,发现是次品,则该次

品是A厂生产的概率3

7.

知识点：贝叶斯公式

解答：记C={取得产品是A厂生产的}，D={取的是B厂生产的},

由题意知，

()0.6,()0.4,()0.02,()0.01PCPCPDCPDC====.因此()()()

()()()()()()PCPDCPCDPCDPDPCPDCPCPDC==+=37

题目：(96,3分)设和是两个相互独立且均服从正态分布N(0,

1

2

)的随机

变量,则(||)E-=

知识点：正态分布的数字期望题目：(97,3分)袋中有50个乒乓球,

其中20个是黄球,30个是白球.今有两人依

次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第2个人取得黄球的概率

是2

5.

知识点：条件概率

解答：：由抽签原理（抽签与先后次序无关），故直接看出是2

5

。

题目：(97,3分)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为

4和2,则随机变量3X-2Y的方差是(D)

(A)8(B)16(C)28(D)44知识点：方差的计算性质题目：(97,3分)

袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球.今有两人依

次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第2个人取得黄球的概率

是2

5.

知识点：条件概率

解答：：由抽签原理（抽签与先后次序无关），故直接看出是2

5

。