单调性定义

函数的单调性

一、教学内容解析及学情分析

从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个

用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都

是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了

直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从观察图象，用自然语言描述函

数图象特征，以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解

释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供

了方法依据.

二、教学目标

按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标：

1．知识与技能目标：

①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;

②掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法；

2.过程与方法目标：

①通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法；

②通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；

3．情感、态度与价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、

探究、归纳、交流、反思，促进学生形成研究氛围和合作意识.

②重视知识的形成过程教学，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良

好思维习惯让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛

过程与收获的乐趣.

三、教学重、难点

教学重点：增（减）函数概念的形成；

教学难点：①形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识

过渡电梯管理制度 到函数增减的数学符号语言表达；

②用定义证明函数的单调性虎和狗的属相合不合 .

四、教法、学法

教法：根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲解

和学生探究发现的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教

学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各

个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，

最终形成概念，获得方法，培养能力.同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的

使用，增强动感和直观性，充分发挥其快捷、生动、形象的特点，有助于学生对

问题的理解和认识，提高教学效果和教学质量；

学法：合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法.

五、教具准备

实物展示台、几何画板、多媒体.

六、教学过程：

（一）问题情境：

在2016年8月10号的里约奥运会上，由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合获

得10米台跳水冠军，展示跳水动图，问题1：跳水运动员的运动轨迹是什么？

问题2：从左向右看，图象的变化趋势是什么？

函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性.

设八下语文古诗词 计意图：把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入，增强学生的

民族自豪感，另外根据运动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这节

课，让学生感受数学来自生活.

（二）建构定义:

1.概念探究阶段

第一次认识：（图形语言）观察函数

yx

2

的图象，思考1:从左向右看函数





上的图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）思考2:怎样描述在区间



0，

图象的上升呢？





上向上运动第二次认识：（文字语言）教师几何画板展示，点A在



0，





上，随着自变量

x

时，A点坐标的变化.让学生观察到，函数

yx

2

在区间



0，

的增大，函数值

y

也增大.

这是我们从形的角度观察到的，那么怎样用符号和式子描述函数值

y

随着自

变量

x

的销售专业 增大而增大呢？

第三次认识：（符旅游需要带什么必需品 号防晒窗帘 语言）首先：将两个“增大”符号化，比较才能出大小，

在区间



0，

即当

x

1





上的

x

1

，

x

2

，

即当

x1

x

2

时，

f(x

1

)

f(x

2

)

.在区间D上的

x

1

，

x

2，

x

2

时，

f(x

1

)

f(x

2

)

.此时一定能保证在区间D上的图象是上升的吗？

图象可能会出现哪些情况？需要添加什么条件使得在区间D上的图象是上升

的？

所以，进一步完善表达：





上的任意的两个自变量的值

x

1

,x

2

，当对于区间



0，

x

1

x许昌公积金

2时，都有





上是增函数.

f(x

1

)f(x

2

)

，那么就说函数

f(x)x

2

在区间



0，

设计意图：通过由图象直观感知自然语言描述数学符号语言描

述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的感

受数学知识的生成过程．通过一系列的问题逐步引导学生发现

x

1

，

x

2

的任意性，

让学生体会数学的严谨性.

2.本着从特殊到一般的原则，对于一般函数，我们来定义增函数：

设函数

f(x)

的定义域为I

，

DI

,任意

x

1

,x

2

D

，当

x

1

x

2

时，都有

f(x

1

)f(x

2

)

，那么就说函数

f微笑的弧度 (x)

在区间

D

上是增函数.

3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义.

设函数

f(x)

的定义域为I

，

DI

,任意

x

1

,x

2

D

，当

x

1

x

2时，都有

f(x

1

)f(x

2

)

，那么就说函数

f(x)

在区间

D

上是减函数.

即减函数图象在区间D内呈下降趋势，当x的值增大时，函数值y减小.

设计意图：得出减函数定义，培养学生的类比能力．

4.对定义的理解：

（1）

x

1

,x

2的任意性；教师几何画板展示，帮助学生从运中班幼儿绘画 动变化的观点理解

x

1

,x

2

的任意性.

（2）对

x

1

x

2

的理解：此时

f(x

1

)

与

f(x

2

)

不等，说明变量不同，函数值不

同，所以我们不在一点出讨论函数的单调性，当端点在定义域的范围内，区间可

开可闭，当端点不在定义域的范围内，区间是开区间.

（3）分析定义中自变量与因变量的变化关好看的书籍 系，当

x

1

x

2

时，



x

1

x

2



f



x

1



f



x

2



0

说明了什么？

设计意图：定义是数学的核心，通过教师带领学生理解定义，可以提高学生

的认识和理解.

5.函数的单调性定义

如果函数

yf(x)

在区间D上是增函数或者减函数，那么就说函数

yf(x)

在区间D上具有单调性，函数的单调性也叫函数的增减性；增函数与减函数也

分别叫做单调递增函数，单调递减函数；区间D叫做函数

yf(x)

的单调区间.

所以，函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.

1

在定义域上的单调性是怎样的？x

设计意图：再次让学生体会和理解函数单调性的定义，多个单调增（减）区

间用“，”“和”连接，不用“∪”.

探究：函数

y

类型一：根据函数图象写出函数的单调区间

例1.下图是定义在[－5，5]上的函数

yf(x)

的图象，根据图象说出函数

yf(x)

的单调区间，以及在每一单调区间上，

yf(x)

是增函数还是减函数。

解：

yf(x)

的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5].

其中

yf(x)

在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；

在[－2，1），[3，5）上是增函数.

变式1：

65

4

3

2

1

12

1

A

2

3

4

8

变式2：

7

6

5

4

3

A

2

1

12

1

2

变式3：

8

7

6

5

4

3

A

2

1

12

1

设计意图：通过例1和变式，学生知道可以借助函数图象找出函数的单调区

间，并加深对函数单调性概念的理解．

类型二：根据函数的单调性定义证明函数的单调性．

例2.用函数的单调性定义证明：函数

y

数.

证明：设

x

1

,x

2

是

(0,)

上的任意两个实数，且

x

1

x

2

，

则

f(x

1

)f(x

2

)

k





上是减函

(k0)

在区间



0，

x

2

k(x

2

x

1

)

kk



x

1

x

2

x

1

x2

0x

1

x

2

，得

x

1

x

2

0,x

2

x

1

0

，由

k0

于是

f(x

1

)f(x

2

)

>0,即

f(x

1

)f(x

2

)

所以，函数

y

k





上是减函数。

(k0)

在



0，

x

说明：这两道例题介绍了

（1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明;

（2）证明函数单调性的步骤：

①取值，设任意

x

1

、x

2

属于给定区间，并规定大小；

2

作差变形

f(x

1

)f(x

2

)

，变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；○

3

定号确定

f(x

1

)f(x

2

)

的正负号；○

④下结论:由定义得出函数的单调性．

即时练习：利用定义证明函数

yx

(四)、课堂练习：

1.讨论以下函数的单调性：

（1）

ykxb

（2）

yax

2

bxc(a0)

（3）y

k

(k0)

x

1

1



上是减函数.在



0，x

设计意图：让学生体会到有的函数可能在整个定义域上单调，有的函数在定义域

的某个区间上单调，函数的单调性是函数的局部性质.

3.利用定义证明函数

yx

在



0，



上是增函数.

（五）、小结

1.判定函数单调性的方法：图象法，定义法；

2.定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论；

3.增（减）函数概念的形成，经历了哪些过程？

4.凭借直观的图象，我们能判断函数的单调性，为什么还要用数学符号语言

定义增（减）函数呢？

在数学中，描述事物运动变化规律的数学模型是——函数，要把握相应事物

的变化规律，就需要了解函数的变化规律，通过今天的学习，我们知道函数的变

化规律可以用什么来描述呢？（函数的单调性以及函数的其它性质），所以，实

际生活中，我们可以用它来分析事物的变化规律.（展示气温变化曲线图，股票

走势图，GDP走势图）

设计意图：让学生体会数学在生活中有着广泛应用.

（六）、课后作业：

一、必做题：课本

P

39

：

A组1，2；课时九；

二、选做题:

1.求函数

yx

1

的单调区间，并用定义证明.x

2.已知函数

yf(x)

是定义在区间



-1,1



上的增函数，且

f(x2)f(1x)

，

求

x

的取值范围.

3.已知函数

f(x)x

2

2ax2

在区间



,6



上是增函数，求实数

a

的取值

范围.