圆内接四边形

初中数学专题训练--

圆--圆的内接四边形

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

例圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形

各内角度数．

解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x、2x、7x．

∵ABCD是圆内接四边形．∴∠A+∠C=180即3x+7x=180，

∴x=18，

∴∠A=3x=54，∠B=2x=36，∠C=7x=126，

又∵∠B+∠D=180，

∴∠D=180一36＝144．

说明：①巩固性质；②方程思想的应用．

例（2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC

的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于D．求证：DB=DC．

分析：要证DB=DC，只要证∠BCD=∠CBD，充分利用条件和圆周角的定理以及

圆内接四边形的性质，即可解决．

E

证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，

D

∵∠EAD为圆内接四边形ABCD的外角，∴∠BCD=∠

EAD，

又∠CBD=∠DAC，

∴∠BCD=∠CBD，∴DB=DC．

说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．

例如图，△ABC是等边三角形，D是

上任一点，求证：DB+DC=DA．

B

C

A

分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两

种方法都可以证明．

证明：延长DB至点E，使BE=DC，连AE．

在△AEB和△ADC中，BE=DC．

△ABC是等边三角形．∴AB=AC．

∵四边形ABDC是出路的意思 ⊙O的内接四边形，

∴∠ABE=∠ACD．

∴△AEB≌△ADC．

∴∠AEB=∠ADC=∠ABC．

E

B

DO

C

A

2

∵∠ADE=∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB＝60，

∴∠AEB=∠查漏补缺 ADE=60．

∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE．

∵BE=DC，∴DB+DC=DA．

说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在

圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体

系，应重视．

典型例题四

例如图，ABCD是⊙O的内接四边形，

AHCD

，如

果

HAD30

，那么

B

（）

A．90B．120C．135D．150

解：

HAD30,AHD90,

D60

，

由圆内接四边形的对角和是180，得

B120

，故选B.

说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对

角.”这个定理很重要，要正确运用.

典型例题五

3

例如图，已知：⊙

O

1

与⊙

O

2

相交于点A

、

B，P是⊙

O

1

上任意一点，PA

、

PB的延长线交⊙

O

2

于点C

、

D，⊙

O

1

的直径PE的延长

线交CD于点M.

求证：

PMCD.

分析：要证

PMCD

，即证

DPMD90

，连

结公共弦AB及EB，即得证.

证明：连结AB

、

EB，在⊙中，

PABPEB

.

∵ABCD为⊙

O

2

的内接四边形.

PABD,PEBD.

∵PE为⊙

O

1

的直径.

PBE90.

DPMPEB90.DPMD90.

DMP90.

即

PMCD.

说明：连接AB就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.

典型例题六

例如图，AD是

ABC

外角

EAC

的平分线，

AD与

ABC

外接⊙O交于点D，N为BC延长线上

一点，且

CNCD,DN

交⊙O于点M.

求证：（1）

DBDC

；

（2）

DC

2

CMDN

.

分析：（1）由于DB与DC是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证

明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）

4

欲证乘积式

DC

2

CMDN

.

，只重庆红衣 须证比例式

只须要证明

DCM

∽

DNC

即可.

证明（1）连结DC.

∵AD平分

EAC

，

∴

EADDACDBC.

又ABCD内接于⊙O，

∴

EADDCB.

故

DBCDCB.

DCCMDCCM

，也即，这



DNDCDNCN

DBDC.

（2）

DMC180DBC180DCBDCN,CDMNDC.

∴

DMC

∽

DCN

，故

∴

DC

2

CMDN

.

说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形

证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.

典型例题七

例如图，已知四边形

ABCD

是圆内接四边形，

EB是⊙

DCCMCM

.



DNCNDN

O

的直径，且

EBAD

，

AD

与

BC

的延长线相交于

F.

求证：

ABBC



.

FDDC

证明连结

AC

.∵

ADEB

.

∴

.∴

ACBDAB.

∵四边形

ABCD

是圆内接四边形，

∴

FCDDAB,FDCABC.

∴

ACBFCD.

5

∴

ABC

∽

FDC

.∴

ABBC

.

FDDC

说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造

创业培训计划书 ABC

，再

证

ABC

∽

FDC

.易错点是不易想到证

FCDACB

而使解题陷入困境或出

现错误.

典型例题八

例如图，已知四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径，

ADDC

，分别

延长BA，CD交于点E，

BFEC

，交EC的延长线于F，若

EAAO,BC12

，求CF的长.

解连结OD，BD.∵

ADDC

，

的度数

AOD.

∴

OD//BC.

∴

ODEO

.

B涩吉他谱 CEB

OD2

.

123

OD8.AB16,EB24.

EAAOBO,BC12,

ABCD

内接于⊙O，∴

EDAEBC.

又

E

公用，∴

EDA

∽

EBC

.∴

设

ADDCx,EDy

，则有

∴

x42

.∴

AD42.

ADEAED



.

BCECEB

xy8火字旁的有什么字



.

1224xy

AB

为⊙O的直径，∴

ADBF90.

6

又DABFCB.

∴Rt

ADB

∽Rt

CFB.

∴

4216

ADAB

.

∴

CF32.



.即

CF12

CFBC

说明本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.

典型例题九

例（海南省，2000）如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径）

CDAB

，P

是⊙O上不同于

C,D

的任一点.（1）当点P在劣弧CD上运动时，

APC与

APD

的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P在优

弧CD上运动时，

APC

与

APD

的关系如何？请证明你

的结论（不要讨论P点与A点重合的情形）

分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.

解∵弦

CDAB

，AB是直径，∴

∴（1）

APCAPD.

（2）

APCAPD180.

（如图中虚线所示）.

选择题

1．在圆的内接四边形ABCD中，

A

和它的对角

C

的度数的比为1：2，那么

A

为（）

7

A．30B．60C．90C．120

2．四边形ABCD内接于圆，

A

、

B

、

C

、

D

的度数依次可以是（）

A．1：2：3：4B．6：7：8：9C．4：1：3：2D．14：3：1：12

3.四边形

ABCD

内接于圆，

A

、

B

、

C

、

D

的度数比依次可以是（）

A．

1:2:3:4

B．

4:2:3:1

C．

4:3:1:2

D．

4:1:3:2

4.如图，四边形

ABCD

内接于⊙

O

，

BOD110

，那么

BCD

的度数为（）

A．

125

B．

110

C．

55

D．

70

5.如图，⊙

O

1

与⊙

O

2

交于

A

、

B

两点，且⊙

O

2

过⊙

O

1

的圆心

O

1，若

M40

，则

N

等于（）

A．

40

B．

80

C．

100

D．

70

6.圆内接平行四边形一定是（）

（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形

7．已知AB

、

CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是(易经与人生 )

（A）1﹕2﹕3﹕4（B）7﹕5﹕10﹕8

（C）13﹕1﹕5﹕17（D）1﹕3﹕2﹕4

8

9、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130，则∠DAE为

（）

（A）50（B）40（C）30（D）20

10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC

的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中

共有相似的三角形()

（A）4对（B）3对

（C）2对（D）1对

11．如图，在

ABC

，AD是高，

ABC

的外接圆直径AE交BC

边于点G，有下列四个结论：（1）

AD

2

BDCD

；（2）

BE

2

EGAE

；（3）

AEADABAC

；（4）

BA

D

QC

P

AGEGBGCG

.其中正确的结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．已知：如图，劣弧

，那么

BD

的度数是（）

A．320B．160C．150D．200

13．钝角三角形的外心在（）

A．三角形内B．三角形外C．三角形的边上D．上述三种情况都有可能

14．圆内接平行四边形的对角线（）

A．互相垂直B．互相垂直平分

9

C．相等D．相等且平分每组对角

15．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且

ABCD5,AC7,BE3

，下列命题错误的是（）

A．

ABEDCE

B．

BDA45

C．

S

四边形ABCD

24.5

D．图中全等的三角形共有2对

答案：

1．B2．D3.C4.A5.D6、A；7．A8、C；9、B；10、A.11．B12．B

13．B14．D15．D.

填空题

1.小吃加盟店排行 已知ABCD是圆内接四边形，若∠A与∠C的度数之比是1﹕2，则∠A的度

数是度．

2.若A，B，C，D四点共圆，且∠ACD为36，则

度．

3.圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数

为度．

4.圆上四点

A

、

B

、

C

、

D，分圆周为四段弧，且

=

1:2:3:4

，则圆内接四边形

ABCD

的最大角是_________

5.圆内接四边形

ABCD

中，若

EBC

是

ABC相邻的一个外角，且

所对的圆心角的度数是

EBC105

，

C93

，则

D______

，

A______

，若

A:B:C1:2:3

，则

D______

，

A______

10

6.四边形

ABCD

内接于圆，

A

、

C

的度数之比是

5:4

，

B

比

D

大

30，则

A______

，

D______

7.圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________

8．圆内接四边形ABCD中，如果

A:B:C2:3:4

，那么

D______

度.

9．在圆内接四边形ABCD中，

A:B:C4:3:5

，则

D______

.

10．如图，在圆内接四边形ABCD中，

ABAD,BAD30,AC



，则四边

形ABCD的面积为________.

11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在

的中点

A

，若

BC5

，则折痕在

ABC

内的部分DE长为_______.

答案：

1.60；2.72；3.160;4.

126

5.

105

，

87

，

90

，

45

;6.

100

，

75

7.等

腰，矩形.8．909．12010．

判断题

1.顶点在圆上的角叫做圆周角；（）

2.相等的圆周角所对的弧相等；（）

3.直角所对的弦是直径；（）

11

3

2

10

a

11．.

43

4.在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）

5.弓形含的圆周角为

120

，则弓形弧也为

120

；（）

6.四边形的对角互补.（）

答案:

1.2.3.4.√5.6..

解答题

1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥

D

O

B

A

C

E

CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕

BE，求证：DB∥CE．

2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙

O于F．求证：∠AFC=∠DFE．

3．如图，已知四边形

ABCD

内接于圆，

DC

、

AB

的延长线相交于

E，且

CBEDBA

，求证：

ADBEECBD

4．如图，点

A

、

D

在⊙

O

上，以点

A

为包皮肿胀 圆心的⊙

A

交⊙

O

于

B

、

C

两点，

AD

交⊙

A

于点

E

，交

BC

于点

F

，求证：

AE

2

AFAD

12

5．已知圆内接四边形，

ABCD

中，

A:B:C2:5:4

，求最小的角。

6．如图，在

ABC

中，

ABAC

，

BD

平分

ABC

交

AC

于

D

，

ABD

的外接

圆交

BC

于

E

.求证：

ADCE

7．如图，

ABC

是圆内接正三角形，P为劣弧

上一点，已知

AB27,PA6

.（1）求证：

PBPCPA

；（2）求PB

、

PC的长

（

PBPC

）.

8．如图，已知：菱形ABCD的对角线AC

、

BD相交于点O，⊙

O



是

ABD

的

外接圆，E是⊙

O



上的一点，连结AE并延长与BD的延长线相交于点F.求

证：

AC

2

BD

2

4AEAF.

9．如图，BC是⊙O的直径，

ADBC

，垂足为D，

（1）求证

AF

2

BEBF

；

（2）若

BD1,AD2

，求

tanDBE

的值.

10．已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，

BAD60,ADC90

，AB的

，BF交AD于点E.

13

延长线交DC延长线于点E，过A作AB的垂线交圆于点F，交CD延长线于点

G.

（1）求证：

AFBC

；

（2）求证：

AFDEADBE

；

（3）设

ABAD

的长分别为a

、

b求CE的长.

答案：

1.提示：连结AC，证明△ADC∽△CBE即可；2.（略）

3．提示：证

EBC

∽

DBA

4．提示：连

AB

证

ABF

∽

ADB

，得

AB

2

AFAD

，又

ABAE，

AE

2

AFAD

5．

30

6．提示：连结

DE

证

ADAE

，再证

DECF

7．（1）延长CP到M，使

PMPB

.连结BM，证

ABPCBM

；（2）

PB2,PC4

8．连结BE.

AEB

∽

ABF

得

AB

2

AEAF

.由勾股定理可得

9．（1）连结AB

、

AC，证

AB

2

FBBE

；（3）

3

4

10．（1）连结CF，证四边形ABCF为矩形；（2）

BCE

∽

DAE

；（3）

EC

23

(2ba)

3

1.如下图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100，则∠B＝，∠D猫简笔画图片

＝.

14

BOA

D

C

2、如下图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，

BE=3，下列命题错误的是

A、△AED∽△BECB、∠AEB=90C、∠BDA=45D、图中全等的三角形共

有2对.

A

OB

E

CD

3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若

A50，则

DCE

等于（）

A.

40

4．如图，已知⊙O中∠AOB度数为100，Ｃ是圆周上的

一点，则∠ACB的度数为

（A）130

（B）100

（C）80O

（D）50AB

参考答案:1.

50

0

、

130

0

2.D3.B4.A.

15

B.

50

C.

70

D.

130

16