开普勒三大定律

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万有引力推导开普勒定律

牛顿万有引力定律说明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的的大小与它

们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳

是固定的。用方程式表示，

；

这里，是太阳作怎么学拼音打字 用於行星的万有引力、

是行星的质量、

是太阳的质量、是行

星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。

牛顿第二定律声明：物體受力後所产生的加速度，和其所受的淨力

成反比。用方程式表示，

。

合并这两个方程式，

成正比，和其質量

。(1)

思考位置向量

度向量：

，

，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次那么可得到加速

。(2)

在这里，我们用到了单位向量微分方程式：

，

。

合并方程式(1)与(2)，可以得到向量运动方程式：

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取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速

度：

，(3)

。(4)

导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量

质量是常数，角动量随时间的导数为

。

角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度

从时间

到时间

扫过的区域

，

都可能会随时间变化。

。由于行星的

。

行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间

[编辑]开普勒第一定律导引

。所以，开普勒第二定律是正确的。

设定。这样，角速度是

。

随时间微分与随角度微分的关系为

。

随时间微分徑向距離东北淫妇 ：

。

再微分一次：

--

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。

代入径向运动方程式(3团建的目的 )，，

。

将此幽默笑话段子大全 方程式除以

行星轨道：

，那么可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式来描述

。

特征方程式为

。

求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，

。

其特解方程式为

；

这里，与

都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程式，

。

选择坐标轴，让。代回，

。

假假设

，那么所描述的是椭圆轨道。所以，开普勒第一定律是正确的。

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[编辑]开普勒第三定律导引

在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之星轨拍摄

一。假假设我们承受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰

巧呈圆形，轨道半径为。那末，太阳作用于行星的万有引力为。行星移动

速度为。依照开普勒第三定律，这速度与半径的平方根成反比。所

以，万有引力。猜测这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能

完全确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到葡萄糖是有机物吗 任何关于这方面的证据。

行星环绕太阳〔焦点F1〕的椭圆轨道。

开普勒第一定律说明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是；这里，与

分别为椭圆的半長軸与半短軸。在开普勒第二定律导引里，行星－太阳连线扫过区域速度

为

。

所以，行星公转周期为

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。(5)

关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸，半短軸与近拱距〔近拱点A与引力中心之

间的距离〕，远拱距

〔远拱点B与引力中心之间的距离〕的关系分别为

，(6)

。(7)

如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律，

。

在近拱点A与远拱点B，径向速度都等于零：

。

所以，

。

稍为加以编排，可以得到的一元二次方程式：

。

其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距

与远拱距

。

；

。

代入方程式(6)与(7)，

，

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。

代入方程式(5)，周期的方程式为

。

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