扭转刚度

南京航空航天大学“材料力学”教案

第4章

圆轴扭转时的强度与刚度计算

4—1教学要求与学习目标

1．正确理解关于剪应力的基本概念：(1)剪应力与剪应变的定义；

(2)弹性范围内的剪应力与剪应变之间的关系－剪切胡克定律；(3)剪应力鲁滨逊漂流记读后感50 互等定理。

2．正确理解圆轴扭转时受力与变形的特点；掌握分析圆轴坐月子菜谱 扭转时横截面上的剪

应力分析方法；正确理解和应用圆轴扭转时横截面上的剪应力公式与相对扭转角公式，注意公式的应用条件。

3．正确理解圆轴扭转的强度条件与刚度条件，并能正确应用其解决圆轴的强度与刚度问题

4．会解决简单的扭转超静定问题。

4—2教学大纲与学时分配

1、圆轴扭转时的应力变形计算公式（1.5）

2、与圆轴扭转应力、变形公式有关的几何性质(0.5)

3、圆轴扭转时的强度条件与刚度条件(1.0)

4—3讲授内容

4－3－1圆轴扭转时的应力变形计算公式

根据平衡条件，只能求得截面上的扭矩M

x

，它是截面上剪应力分布力系的

合力。因此，只知道M

x

还不能确定截面上各点切力的大小。这就是应力分析的

静不定性质。为了确定截面上的剪应力计算公式，必须应用变形协调、物性关系、

1

静力学方程等三方面的条件。

1、扭转时的变形几何关系

圆轴受扭时，其虫草炖鸡 表面的正方形网格发生剪切变形，但不发生轴向的伸长或缩

短。且圆周线亦保持不变。根指表面的变形情况，作出圆轴扭转时的“平面假定”，

即：横截面变形前为平电脑远程控制 面，变形后仍保持平面，只是相对转过一角度。

由此，得到自表面至中心剪应变的变化规律

d

dx

(

)

＝

上式表明剪应变

与到截面中心的距离

成正比。

2、剪应力与剪应变之间的物性理关系

在弹性范围内，根据剪切虎克定律，到截面中心距离为

处的剪应力与剪应

变之间存在正比关系：

＝G

3、圆轴扭转时横截面上的剪应力分布

由上述二式得到

d

dx

(

)

＝

G

这表明剪应力亦与到截面五一体育场 中橘红片 心的距离成正比。即截面上的剪应力沿半径方向线性

分布，截面中心处为零；截面外沿最大。

4、圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式

因为横截面上剪应力分布力系的合力即为该截面上的扭矩，所以有静力学方

程

⎣

(

)

dA

⎤

⎦

＝M

∫⎡

A

x

综合应用上述三方面的结果，得到圆轴扭转时的应力、变形公式

d

Mx

＝

d

xGIP

M

x

IP

(

)

＝

上述应力、变形公式中

M

x

—圆轴截横面上的扭矩，由平衡条件求得；

2

—截面上要求剪应力的点到截面中心的距离；

I

P

—横截面的极惯性矩；

G—圆轴材料的切变模量；

GI

P

—圆轴的扭转刚度。

5、圆轴扭转时横截面上的最大剪应力计算式

max＝

其中炖鸡翅 W

P

为扭转截面模量。

M

x

WP

4－3－2与圆轴扭转应力、变形公式有关的几何性质

1、实心圆截面的极惯性矩与扭转截面模量

d

4

d

3

I

P

＝,W

P

＝

3216

2、空心圆截面的极惯性矩与扭转截面模量

D

4

D

34

I

P

＝

1

－

,W

P

＝

1

－

4

3216

()()

【例题4－1】图（a）中所示圆轴的直径d＝100mm，长度为2l，l＝500mm。

B、C两处承受外力偶分别为M

e1

＝7000Nm，M

e2

＝5000Nm。若材料之剪切

弹性模量为G＝82GPa。

求：1．试作轴的扭矩图；

2．求轴的最大剪应力，并指出其所在位置；

3．求C截面对A截面的相对扭转角。

3

图4－1例题4－1图

【解】

1．画扭矩图

根据上例中所述之方法可画出扭矩图如图4－1（b）所示。从图中可以看出，

最大扭矩发生在BC段的各个截面上，其数值为5000Nm（正负号只决定扭矩

方向）。

2．确定最大剪应力

最大剪应力发生在BC段各截面的周边上，如图4－1（c）所示。其值为

max=

3．计算相对扭转角

根据

d

/

d

x=M

x

/GJ

p

，这是单位长度的扭转角，相距dx的两个截面的扭

转角为

d

=M

x

d

x/GJ

p

。在AB和BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截

面（A和B，B和C）的相对扭转角为

=M

x

l/GJ

p

。但二者是反向的。于是C

截面相对于A截面的相对扭转角为

M

x

max

5000

166

==

25.510Pa=25.5MPa

3

0.1

Wp

C−A

=

C−B

+

B−A

==

M

x

(

CB

)

l

GJp

+

M

x

(

BA

)

l

GJp

l

(

M

x

(

CB

)

+

M

x

(

BA

)

)

GJp

4

0.5

32

(

−

5000

+

2000)

8.2

10

10

0.14

D

−

3

−

3

180

=

−

1.86

10

弧度

=−

1.86

10

=

−

0.107

D=

负号表示

C−A

的方向与M

x(C

－

B)

的方向一致。

【例题4－2】图4－2所示为一镗孔装置，刀杆端部装有两把镗刀。若已知

满负荷下消耗功率为6千瓦（KW），转速为60转／分（r／min）。

求：满负荷时镗刀杆内的最大剪应力。

图4－2例题4－2图

【解】根据功率和转速可以算得镗刀杆上所承受的外力矩

M

e

=9549

P6

=

9549

=

954.9N

⋅

m

n60

根据平衡条件，镗刀杆横截面上的扭矩为

M

x

=M

e

=

954.9N

⋅

m

于是，杆内最大剪应力

max=

M

x

954.9

163

==

22.52

10Pa=22.52KPa

3

W

p

0.6

4－3－3圆轴扭转时的强度条件与刚度条件

1、扭转强度设计

与弯曲强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根据扭矩图和横截面的

尺寸判断可能的危险截面；然后根据危险截面上的应力分布确定危险点（即最大

剪应力作用点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度条件。

5

圆轴扭转时的强度条件为

max

≤

[

]

其中

[

]

为许用剪应力。

对于脆性材料，

＝

[

]

对于韧性材料，

b

nb

s

[]

＝

ns

上述各式中，许用剪应力与许用正应力之间存在一定的关系。

对于脆性材料，

[

]

＝

[

]

对于韧性材料

[

]

＝(0.5∼0.577)

[

]

如果设计中不能提供

[

]

值时，可根据上述关系由

[

]

值求得

[

]

值。

2、扭转刚度设计

扭转刚度计算是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使

构件满足刚度条件：

d

≤

[

]

dx

＝

其中单位长度上的相对扭转角

＝

d

Mx

＝

d

xGIP

式中的

[

]

称为单位长度上的许用相对扭转角，其数值视轴的工作条件而定：用

于精密机械的轴

[

]

＝(0.25~0.5)()／m；一般传动轴

[

]

＝(0.5~1.0)()／m；刚度

要求不高的轴

[

]

＝2／m。

【例题4－3】图4－3所示之传动机构中，AB轴的转速n

1

＝120转／分，从

6

B轮上输入功率P＝14千瓦，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半

传给水平轴H。若锥齿轮A和D的齿数分别为36和12。各轴的直径分别为d

1

＝70

mm，d

2

＝35mm，d

3

＝50mm。轴之许用剪应力

[

]

＝30MPa。试对各轴进行强

度校核。

【解】1．首先计算各轴所承受的扭矩

图4－3例题4－3图

各轴所传递的功率分别为

P

1

=14千瓦，P

2

=P

3

=14/2=7千瓦

各轴的转速分别为

n

1

=n

2

=120转/分

n

1

z

2

z36

=

,

n

2

=n

1

1

=

120

=

360

转/分

n

2

z

1

z

212

于是各轴所受的扭矩分别为

M

x

1

=M

e

1

=9549

P

141

=

9549

=

1114N

⋅

m

n

1

120

P

2

7

=

9549

=

186N

⋅

m

n

2

360

P

3

7

=

9549

=

557N

⋅

m

n

3120

M

x

2

=M

e

2

=9549

M

x

3

=M

e

3

=9549

2．强度校核：

7

第一轴，即AB轴

max

=

第二轴，即C轴

max

=

第三轴，即H轴

max=

M

x

3

16

5576

==

22.710Pa

=

22.7MPa

<

[

]

3

W

p

3

0.05

M

x

2

16

186

==

22.1

10

6

Pa

=

22.1MPa

<

[

]

3

W

p

2

0.035

M

x

1

16

11146

==

16.5

10Pa

=

16.5MPa

<

[

]

3

W

p

1

0.07

所以各轴的强度都是满足的。

4—4重点、难点与学习建议

4－4－1圆轴扭转应力与强度计算中需要注意的几个问题

1、必须注意应力和变形公式的应用条件

上述应力、变形公式都只适用圆轴在弹性范围内的扭转。对于非圆截面以及

超过弹性范围的扭转，横截面的剪应力均为非线性分布，因而应力、变形计算公

式都因此而异。

2、正确确定扭矩M

x

和极惯性矩I

P的数值

上述公式中的I

P

是整个截面对其中心的极惯性矩，而与所求应力的点的位置

无关。M

x

是截面上的扭矩，它是内力而不外力。当轴上只在两端承受外力偶时，

扭矩与其大小相等；当轴上有两个以上外力偶作用时，则必须应用截面法和平衡

条件确定所要求的截面上的扭矩，切不可将外力偶矩直接代人应力公式进行计

算。

3、正确判断扭转剪应力的方向

圆轴扭横转时截面上的剪应力分布力系的合力即为其上的扭矩，因此，根据

平衡条件可以由外力矩的方向确定扭矩的方向（方向相反），再根据力系与其合

力的关系，即可由扭矩方向判断剪应力的方向（方向相同）。

4－4－2刚度计算时需要注意刚度条件中不等号两侧的计量

8

单位保持一致

刚度设计中要注意单位的一致性。刚度条件中不等号左边

＝

d

Mx

的单＝

d

xGIP

位为rad/m；而右边通常所用的单位为()／m。因此，在实际设计中，若不等式

两边均采用rad／m，则必须在不等式右边乘以（／180）；若两边均采用()／

m，则必须在左边乘以（180／）。

4—5课外作业

4－4，

4－5，

4－6，

4－9

9