柯西符号

基本不等式及应用

一、考纲要求：

1.了解基本不等式的证明过程．

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

3．了解证明不等式的基本方法——综合法．二、基本不等式

基本不等式

ab≤

a＋b2

不等式成立的条件

a>0，b>0

等号成立的条件

a＝b

三、常用的几个重要不等式

(1)a

2

＋b

2

≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤(

a＋b

)

2

(a，b∈R)2

a

2

＋b

2

a＋bba

(3)≥()

2

(a，b∈R)(4)＋≥2(a，b同号且如何挽回双子座男生的心 不为零)

22ab

上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.四、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为

算术平均数不小于它们的几何平均数．

a＋b

，几何平均数为

ab

，基本不等式可叙述为：两个正数的2

四个“平均数”的大小关系；

a

，

b

∈R+：

当且仅当

a＝b

时取等号.

2ab



a

b

a

b



ab



2

a

2



b2

2

五、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2

P

.1

(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S

2.

4

强调：1、“积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四

最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.

第

1

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正：两项必须都是正数；

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。

等：等号成立阿拉伯狼 的条件必须存在.

2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）

想一想:错在哪里？

1

１．已知函数

f(x)x，求函数的

x

最小值和此时x的取值．

解

:f(x)



x



当且仅当

x

1



2x

x

1



2x

1

即

x



1

时函数x

取到最小值2.

33



2x

x



2x

2



x



2

当且仅当



3

即

x



3

时，函数

x





x



2

的最小值是

6

。

解：

f(x)



x

大家把x2

最小值？

3代入看一看，会有

什么发现？用什么方法求该函数的

3

(

x

2)

，２．已知函数

f(x)



x

x

2

求函数的最小值．

11

3、已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．

xy

111

解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.

axy

2＋x

2

y

2

－2xy22

解二：z＝＝(＋xy)－2≥2

xy

－2＝2(

2

－1)，所以z的最小值是2(

2

－1)．

xyxyxy

【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的头像图片男 ．

111yx1x＋y

2

－2xy2

【正确解答】 z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，

xyxyxyxyxyxy

x＋y1211

令t＝xy，则0

2

＝，由f(t)＝t＋在(0，]上单调递减，故当t＝时，f(t)＝t＋

24t44

233125

有最小值，所以当x＝y＝时z有最小值.

t424

第

2

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误区警示：

(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3

的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y＝1＋2x＋(x<0)有最大值1－2

6

而不是有最小值1＋

x

2

6.

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．

课堂纠错补练：

若0

，则f(x)＝sinx＋

4

的最小值为________．

2sinx

考点1 利用基本不等式证明不等式

1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，

借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．

2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．

例1：（1）已知

a,b,c

均为正数，求证：

abbccaabc

(

abc)

2

2

2

2

2

2

（2）已知

a,b,c

为不全相等的正数，求证：

ab(ab)bc(bc)ac(ca)6abc

11

（3）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.

ab

练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(

1

－1)(

1

－1)(

1

－1)≥8.

abc

第

3

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考点2 利用基本不等式求最值

(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．

(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一

致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．

例4：(1)设0

y

2x(2x)的最大值．

【自闭症是天生的吗 分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件

【解】 (1)∵00，12

(2)x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；

x

（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求xy的最大值.

4）已知

y

4

＋a，求

y

的取值范围．

a－2

．

34

(5)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．

xy

练习：

求下列各题的最值．

第

4

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25

(1)已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝＋的最小值；

xy

12

(2)x



0，求f(x)＝＋3x的最大值；

x

4

(3)x<3，求f(x)＝＋x的最大值．

x－3

（4）

a0,b0,4ab1

，求

ab的最大值。

考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧

1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．

例3：（1）已知

a,bR

,

ab3ab

，求

ab的最小值。



（2）已知

y2x1x(0x1)

，求

y的最大值。

2

b2

1

，求

a1b

2

的最大值。（3）已知

a,bR

，

a

2



2

x

2



y2

（3）已知

xy0

，

xy1

，求的最小值及相应的

x,y的值。

x

y

考点4 基本不等式的实际应用

第

5

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应用基本不等式解决实际问题的步骤是：

(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；

(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；

(3)应用基本不等式求出函数的最值；

(4)还原实际问题，作出解答．

练习：

1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保暑期社会实践 证安全，交通部门规定：大桥上的车距1

d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满最新热门歌曲 足：d＝kv

2

l＋l(k为正常数)，假定车身长都为4m，当车速为

2

60km/h时，车距为2.66个车身长．

(1)写出车距d关于车速v的函数关系式；

(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

归纳提升：

1．创设应用基本不等式的条件：

(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；

(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换

是否有误的一种方法．

2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接．

1

(1)a＋≥2(a>0，且a∈R)，当且仅当a＝1时“＝”成立．

a

ba

(2)＋≥2(a>0，b>0，a，b∈R)，当且仅当a＝b时“＝”成立．

ab

柯西不等式

一、二维形式的柯西不等式

第

6

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(

a

2

b

2

)(

c

2

d

2

)



(

acbd

)

2

(

a

,

b

,

c

,

dR

,

当且仅当adbc时

,

等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a

2

b

2

c

2

d

2

acbd

(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

(2)a

2

b

2

c

2

d

2

acbd

(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

(3)(

ab

)(

cd

)



(

acbd

)

2

(

a

,

b

,ipad外接键盘

c

,

d

0,

当且仅当adb眉毛淡的男人 c时，等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式











.(当且仅当



是零向量,或存在实数k,使



k



时,等号成立.)

借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2+b^2+c^2，并

不是不等式的形状，但变成(1/3)*(1^2+1^2+1^2)*(a^2+b^2+c^2)就可以用柯西不等式了。

例题

【5】.设x，y，zR，且满足x

2

y

2

z

2

5，则x2y3z之最大值为

解(x2y3z)

2

(x

2

y

2

z

2

)(1

2

2

2

3

2

)5．1470∴ x2y3z最大值为70

【6】设x，y，zR，若x

2

y

2

z

2

4，则x2y2z之最小值为 时，(x，y，z)

解(x2y2z)

2

(x

2

y

2

z

2

)[1

2

(2)

∴ x2y2z最小值为6，公式法求(x，y，z)此时

∴

x

2

2

2

]4．936

xyz



6

2



2

1



22

2



(



2)

2



2

23

过客的英文 244

，

y

，

z

333

练习【8】、设

x

,

y

,

zR

,

xyz

25

，试求

x2y2z的最大值与最小值。

2

2

2

【9】、设

x,y,zR,2xy冰心的名人名言 2z6

，试求

xyz之最小值。

2

2

2

第

7

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