直线方程的一般式

直线方程的一般形式教案

本教案从教材分析、教学目标、教学过程、教学方法、设计说明这五大部

分进行分析说明

一、教材分析

直线是最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工

具，直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基

础上，归纳总结出直线方程的一般形式。掌握直线方程的一般形式为用代数

方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础。

本节课教学的重点是直线方程的一般式及各种形式的互化，难点是在直角

坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各

种形式的互化。

二、教学目标

1.言语信息目标：掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于

x和y的一次方程的对应关系。

2.智慧技能目标：会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成

斜截式和截距式。

3.认知策略目标：培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形

结合等数学思想。

确定上述三条目标的理由：

1.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生猪肺怎么做好吃 刚接触

直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直

线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次。

2.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，

由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式。直

线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截

式和截距式，所以各种形式应会互化。

3.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二

元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类植物的四字词语 讨论的数学思想，通过

直线方程各种形式的互化渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数

A、B、C的几何意义时渗透数形结合的数学思想。

三、教学过程

1.新知识习得阶段

<1>激活旧知识

复习上节课所讲的直线方程的几种形式，如表1和图1（计算机显示表格

和图象）。

表1直线的方程

形式

点斜式

斜截式

两点式

方程

局限

、

及

截距式

既然上述四种形式都有其局限性，那么就有必要寻求一种更好的形式，那

么怎甘甜的意思 样的形式才能表示一切直线方程呢？通过复习与预期要获得的新知识有

关的原有知识被激活。

<2>猜想新形式

例1.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形。

⑴斜率是1，经过点A（1，8）；

⑵在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；

⑶经过两点P

1

（－1，6）、P

2

（2，9）；

⑷y轴上的截距是7，倾斜角是45.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为：y-8=x-1、

发现上述4条直线在同一坐标系中重合。原来它们的方程化简后均可统一写

成：x-y+7=0。

、

、y=x+7，教师利用计算机动态显示图2，经演示，

结合本例引导学生观察表1中方程的类型，归纳出它们均是关于x、y的

二元一次方程，并猜想新形式为：Ax+By+c=0。

<3>习得新知识

请学生思考：

问题１：坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关带土的字有哪些 于x、y的二元一

次方程？

分席草 析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角。

①当≠90时，它们都有斜率，且均与y轴相交，投档分数线 方程可用斜截式表示：

y=kx+b

②当=90时，它的方程可以写成

的形式，由于在坐标平面上讨

论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其

中y的系数是零。

结论１：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程。

由于有1.3节中直线与方程概念的铺垫，所以请学生思考：

问题２：关于x、y的一次方程的一般形式

不同时为零）是否都表示一条直线？

分析：①当B≠0时，方程可化为

程，它表示斜率为

，在y轴上的截距为

，

表示一条与y轴平行或重合的直线。

结论２：关于x和y的一次方程都表示一条直线。

综上得：我们把

一般式。

在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把

新旧知识联系起来。

2.新知识的转化和巩固阶段

我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转

化？

例2：已知直线经过点A（6，-4），斜率为

一般式；③截距式。

，求直线的①点斜式；②

（其中A、B不全为零）叫做直线方程的

的直线。

，这就是直线的斜截式方

（其中A、B

②当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为

师生共同完成例2，教师板书：

为了更好地挖掘课本例题的作用，教师组织学生尝试：

1.特殊形式如何化一般式？

2.一般式如何化特殊形式？

3.特殊形式如何互化？

待学生练习后师生小结：

特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置

的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一

般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜

式、两点式、截距式均能直接化成一般式。各种形式互化的实质是方程的同

解变形。如表2（计算机显示）。

表2：直线方程各形式的互

化

3.知识的迁移和应用阶段

我们学习了直线方程的一般式

意义？什么场合下需要化成其他形式？

练习1：已知直线l的方程

y轴上的截距，并画图。

，求出直线l的斜率和在x轴与

，系数A、B、C有什么几何

教师引导学生通过转化成斜截式和截距式，也可以直接研究A、B、C的几

何意义。

练习2：如果AC<0且BC<0，那么直线

不通过（）

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

练习2找两名方法不同的学生回答。

由于直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不明显，遇到这两个练

习时学生的心理有一个对内调控的过程，经过反省认知阶段学生选择互化（化

归的数学思想）或进一步研究A、B、C的几何意义（数形结合的数学思想），

使本节课所学知识达到迁移和应用的阶段。

4.归纳小结，纳入知识结构

最后通过师生共同小结如表3（计算机演示），

表3：直线的方程

形式

点斜式

斜截式

两点式

和

、

方程

局限

及

各常数的几何意义是直线上一个定点，

k是斜率

k是斜率，

b是y轴上的截距

、

两个定点

a是x轴上的非零截距,

b是y轴上的非零截距

1.当B≠0时，

一般式

无

是斜率,是直线上

截距式

是y轴上的截距

2.当A≠0时，

的截距

是x轴上

将直线方程的一般式纳入到直线方程的知识系统中，有利于学生对知识的

理解和巩固。通过本节课的学习对直线方程的各种形式有了一个全面的认识

（当然除了这些形式外直线方程还有其它的表示形式）。

5.布置作业

必做题：练习1、2、3，选做题：习题二第15题。

四、教学方法和手段

第一阶段学习的知识为陈述性知识（即言语信息），学生习得“是什么”

的知识：直线方程的一般式是什么？根据陈述性知识的特点，采用以教师谈

话引导学生的教学方法，吸引学生的注意，激发学生的思维活动，激活学生

的原有知识。

第二阶段学习的知识为程序性知识（即智慧技能），学生习得“怎么办”

的知识：直线方程的各种形式怎样互化？根据程序性知识的特点，配备学生

练习，巩固知识，形成技能、技巧。

学习的第三阶段不同类型的知识被用来解决不同的问题，陈述性知识被提

取出来解决“是什么”一类的问题；程序性知识一部分被提取出来用来对外

解决“怎么办”的问题，另一部分被提取出来用来对内解决“怎么办”的问

题即策略性知识（或称认知策略）。这一阶段对学新款秋装上市 生而言是知识的迁移和应用，

对教师而言，是学习结果的测量和评价。根据策略性知识的特点，安排两个

变式练习，培养学生解决问题的技能，掌握学习的方法。

本节课采用计算机辅助教学，提高课堂教学效率；通过图表的动态演示，

使教学内容直观生动，帮助学生所学知识系统化。

五、设计说明

1.《直线方程的一般形式》计划作两课时讲授，第一课时侧重于概念，第

二课时侧重于应用，本教案是第一课时内容。

2.本节课教学设计的理论依据为加涅的学习结果分类理论和现代认知心

理学的广义知识学习阶段与分类模型。

3.本节课的教学流程我是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→

转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳。

4.板书设计

板书讲授内容纲要以及解题规范格式（计算机显示）。