十字相乘法怎么用

因式分解-十字相乘法

一、十字相乘法分解因式

十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，

然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉

相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数

项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：

1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即



xa



xb



x

2





ab



xab

2

x

将上式反过来，





ab



xab



xa



xb



得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上

2

式中的a和b，例如，为了分解因式

xpxq

，就需要找到满足下列条件的a、b；



abp



abq

如把

x6x7

分解因式，首先要把二次项系数

x

分成

xx

，常数项-7分成

7(1)，

2

2

写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。交叉相乘的和为

x

2

6x7

(x7)(x1)

x



1

x7x6x

x(1)x76x

，正好是一次项。从而

x

2

6x7(x7)(x1)

。

2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解

二次三项式

axbxc

中，当

a1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳

2

2

x



7



为“分两头，凑中间”，例如，分解因式

2x7x6

，首先要把二次项系数2分成12，

常数项6分成



2







3



，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。

右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为

1



3



2



2



7

，正好是一次项系

2

数，从而得

2x7x6



x2



2x3



。

3、含有两个字母的二次三项式的因式分解

如果是形如

2ab7ab6

的形式，则把ab看作一个整体，相当于x，如果是形如

22

2x

2

7xy6y

2

，则先写成

2x

2

7yx6y

2

，把y看作已知数，写成十字相乘的形式

是

22

2x7xy6y



x2y



2x3y



，即右边十字上都要带上字母y，分解的结所以

果也是含有两个字母的两个因式的积。

十字相乘法分解因式步骤：①竖分二次项与常数项

②交叉相乘，和相加

③检新生儿吐泡泡 验确定，横写因式

顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

小结：用十字相乘法把形如

x

2



px



q

二次三项式分解因式使

qab,pab

注意：

当常数项是正数时，分解的两个数必同号，即都为正或都为负，交叉相乘之和得一次

项系数。当常数项是负数时，分解的两个数必为异号，交叉相乘之和仍得一次项系数。因此

因式分解时，不但要注意首尾分解，而且需十分注意一次项的系数，才能保证因式分解的正

确性。

十字相乘法的要领是山菜 ：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。

解题经验十字相乘法课本里介绍的很少，判断能不能运用十字相乘法分解因式，首先判

断其是否二次三项式，其次观察常数项，一次项系数，二次项系数之间的关系。注意有些

二次三项式一次项系数为0，即不存在。

二、分组分解法分解因式：

我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法

进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结

果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。

如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式

就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项

式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从

而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，

从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，

需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接

影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

【典型例题】

14

x

2

x7

3春天的童话

例1.分解因式：

3

分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。

14

x

2

x7

3

解：

3

12

x4x21

3

1





x7



x3



3





22

x29xy100y

例2.分解因式：

分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。

解：

x29xy100y

x29yx100y





x4y



x25y



2

2

2

2

例3.分解因式：

3x11x10

分析：首项系数为3应分解为13，常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且应

与一次项系数

11

的符号相同，用十字相乘法尝试如下：

2

11

110

310

3(1)1(10)13

31

1(1)3(10)31

12

35

1(5)3(2)11

15

32

1(2)3(5)17

其中符合对角两数之积的和为

11

的只有第三个。

2

3x11x10



x2



3x5



解：

例4.因式分解：

x6x7

分析：这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，

常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形

后，便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。

解：方法一

2

x

2

6x7x

2

6x997





x3



16





x34



x34

2





x7



x1



2

方法二：

x6x7



x7



x1



xx

7

1

小结：方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果

二次项系数不是1，则提取这个系数，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减

去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三项式

时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。

例5.分解因式：

（1）

2x2xy3x3y

（2）

ab4a4b

222

4x9y24yz1冬天开什么花 6z

（3）

2

22

（4）

xxx1

分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式

3

，分别把它们提出来，剩下

32

的是相同因式



xy



，可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面法（二）解法。

2

2x2xy3x3y

解（一）：

2x

2

2xy



3x3y



2x



xy



3



xy







xy



2x3

2

2x2xy3x3y

解（二）：

2x

2

3x



2xy3y



x



2x3



y



2x3







2x3



xy



说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的

对应项系数成比例，分别为1：1和2：

(3)

。这也是分组中必须遵循的规律之一。

（2）分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即

2

a

2

4aa



a4



，

b4bb



b4



，含有b的项一组即那

a



a4



与

b



b4

再

没有公因式可提，不可再分解下去。可先将

ab

一组应用平方差公式，再提出因式。

解：

ab4a4b

2

2

22

a

2

b

2





4a4b







ab



ab



4



ab





ab



ab4

2

2



（3）若将此题应用（2）朱德故居 题方法分组将

4x9y一组应用平方差公式，或者将

4x

2

16z

2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项

符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再草船借箭是成语吗 用平方荧光湖 差公式完成分解。

解：

4x9y24yz16z

2

2

2

4x

2

9y

2

24yz16z

2





2x







3y4z

2

2







2x3y4z



2x3y4z



（4）分析：此题按照系数比为1或者为

1

，可以有不同的分组方法。

法（一）：

xxx1

3

2

x

3

x

2





x1



x

2



x1







x1







x1



x

2

1





x1



x1









x1



x1



x1

2

法（二）：原式

x

3

xx

2

1





xx

2

1x

2

1

x

2

1



x1









x1



x1



x1

说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示

我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。

一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项

分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可

提，如例5（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的

公因式。如例5的（2）题、（4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项

分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例5中的（3）题。

例6.分解因式：





x1



x1

2

abc

2

d

2

cda

2

b2





分析：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。解：

abc

2

d

2

cda

2

b2





abc

2

abd

2

a

2

cdb

2

cd

abc

2

a

2

cdabd

2

b

2

cd

ac



bcad



bd



adbc

例7.已知

4x4xyy4x2y10

，求证：

2x3xyyxy0

分析：要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式。若分解后的因式中有

一个值为零，则原多项式的值为零。经过分组分解，可知

2

2

2

2







bcad



acbd

2x

2

3xyy

2

xy



xy



2xy1



，若

xy

或

2xy1为零，则原多项式的

值为零。为达此目的，就要从条件入手。

证明：因为

4x4xyy4x2y10

，所以

2

2



2xy



2

2



2xy



10



2xy1



2

0

所以

2xy10

22

2x3xyyxy



xy



2xy1



又因为

而

2xy10

所以

2x3xyyxy0

2

2

例8.已知

3x4xy7y13x37ym

能分解成两个一次因式的乘积，求m的值。

并将此多项式分解因式。

分析：根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是三

项式，而原多项式的前三项可分解为



3x7y



xy



，于是可设原多项式分解为

22



3x7ya



xyb



，再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。

解：设

3x4xy7y13x37ym

2

2







3x7y



a





xy



b

22

3x4xy7y



a3b



x



a7b



yab



a3b13



a7b37

对应项系数相等，所以



abm

由<1><2>解得：

a2，b5

将

a2，b5

代入<3>，得：

m10

所以

3x4xy7y13x37ym

2

2

1

2

3

3x

2

4xy7y

2

13x37y10





3x7ya



xyb





3x7y2



xy5

22

例9.已知

x3y1x4y4xy

，求x与y的值。

分析：在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下

又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质。本题已有一个明显的非负数，

即

x3y1

，而另一个非负数可由因式分解得到。于是问题能够解决。

22

解：因为

x3y1x4y4xy

，所以

x3y1x

2

4xy4y

2

0

即

x3y1



x2y

2

0



x3

所以

y10



x2y0

解这个方程组，得：

x2，y1

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一.选择题。

1.用分组分解法分解多项式

x2

mxnxmn

分组正确的是（

A.



x2

mxnx

mn

B.



x2

mx





nxmn

2

C.

xmn





mxnx

2

D.

xnx





mxmn

21

2.用分组分解法分解多项式

ab

2

b

4

，分组正确的是（2

b

2





1



A.

a



b

4



B.





a

2



1



4









b2

b



a

2



1



a

2



b

2

b

C.





b

2

b

4



D.



1





4



3.将多项式

a2

b2

a2

b2

1

分解因式，其中正确的是（）

A.



ab1



ab1



B.

a

2

1

b

2

1



2

C.

a1

b

2

1



D.



a1



a1



b1



b1



4.下列因式分解中，不正确的是（）

4

A.

x16y

4





x2y



x2y



x

2

4y2



B.

axaybxby



ab



xy



C.

1a

2

b2

2ab



1ab



1ab



D.

1x

2

2xyy2





xy1



xy1



）

）

5.把多项式

2xyxy1

分解因式的结果是（）

A.



xy1



yx1



B.



xy1



yx1



C.



xy1



xy1



D.



xy1



xy1



22

二.填空题。

22

x2xy35y



x7y





1.

2

2.

2x7x15



x5



2

1y20y



3.

2

x3xy



4.2

5.

x















xy



x4y





28y

2





x7y



x4y





，k

____________。

2

kx5x6



3x2





6.

2

18x19x5



9xm



2xn



，则

m

___________，

n

___________。7.

三.分解因式。

（1）

2x5x3

（2）

5x21x18

（3）

a5ab24b

2

xy2



xy



24



（4）

2

2

22

（5）

3x6x9

（6）

x2xyy1

（7）

aba2ab1

（8）

xyz2xy

2

2

2

42

22

222

（9）



ab



ab



c



2bc



（10）

x5x6

3

四.解答题。

1.已知

x2xy3y5

，求整数x和y的值。

2.已知

A



x2



x3



x4



x5



49

（x为整数），求证：A为一个完全平方数。

2

2

【试题答案】

一.选择题。

1.D2.C

二.填空题。

1.

3.D

4.D

5.A

x

2

2xy35y

2





x7y



x5y





2

2x7x15



x5



2x3



2.

3.

4.

1y20y

2

5y14y1

x2

2



3xy



4y







xy



x4y



22

x3xy28y



x7y



x4y



5.

2

kx5x6



3x2



2x3



，k6

6.

2

7.

18x19x5



9xm



2xm



，则

m婚礼邀请函怎么写 5，n1

三.分解因式。

（1）



2x1



x3



（2）



5x6



x3



（3）



a3b



a8b



（4）



xy6



xy4



（5）

3x

2

3



x1



x1



（6）



xy1



xy1



（7）



ab1a



ab1a



（8）



xyz



xyz



（9）



abc



abc



x1





x

2

x6





（10）

2

2

四.解答题。

1.解：

∵x2xy3y5

∴(x3y)(xy)5

又∵x、y为整数

∴

x3y、xy

都为整数



x3y1



x3y1



x3y5



x3y5



xy5xy1

xy5

则有



或



或



或



xy1

解以上方程组得：



x4



x4



x2



x2

，



，



，



y1y1y1



y1

2.解：

A



x2



x3



x4



x5



49







x

x



∵x为整数

x

2

x6x

2

x2049

2



x



2

26x

2

x169



2

x13



2

∴x

2

x13

必为整数

∴A是一个完全平方数