取对数怎么取

两边同时取对数求复合函数_初学讲义之⾼中数学七：对数

上篇已经讲了幂运算对于

：

a叫作底数底数，b叫作指数指数，N(

的结果)叫作

a的b次幂。a的b次幂

对数的定义

当我们知道底数a和指数b，要求b个a相乘（a的b次幂）的值，进⾏幂运算就可以。

那么当我们知道底数a和它的若⼲次幂N的值，要求指数b的值时该怎么办呢？这⾥就要引出对数运算了。

对于已知底数a和它的幂N，倒过来求指数的运算叫作对数运算，这个运算（对数）记作

读作“以a为底N的对数以a为底N的对数”，繁星春水摘抄 在这⾥a依然叫作“底数底数”，N叫作“真数真数”。在前⾯的例⼦⾥，

底数和真数的范围

关于对数中底数和真数的取值，我们要注意：（1）a＞0，且a≠1。

如果a＜0，除少极少数“恰巧”的情况，绝⼤多数情况下指数是不存在的。如果a＝1，a的任何次幂都还是1，对数变得没有意义。

（2）不论以自我介绍搞笑 任何数（a＞0，a≠1）为底，当真数为1时，对数为0，也就是

。

这很容易理解，任何数的0次⽅都为1，所以只要真数为1，指数必然是0。（3）底和真数相同时，对数的值为1，也就是

这同样很容易理解，任何数的1次幂就是它本⾝，所以如果底数和真数相同，就是1次幂。

类⽐乘除法

不少同学在理解对数时存在困难。

因为它的符号⽐起之前学过的加减乘除指数开⽅要略微复杂，数值上的对应关系也不那么直观。这⾥⽤乘除法来类⽐指数和对数，以帮助理解。

对于乘法：a*b=N

我们称a为被乘数被乘数，b为乘数乘数，N为a和b的积a和b的积，该式表⽰b个a相加b个a相加得到N对于幂：

我们称a为底数底数，b为指数指数，N为a的b次幂a的b次幂，该式表⽰b个a相乘b个a相乘得到N对于除法：N/a=b

我们称N为被除数被除数，a为除数除数，b为N除以a的商N除以a的商

该式为乘法a*b=N的逆运算，在已知商N和被乘数a的情况下，求多少个a相加可以得到N

对于对数：

我们称N为真数真数，a为底数底数，b为以a为底N的对数以a为底N的对数该式为幂

的逆运算，在已知幂（真数）N和底数a的情况下，求多少个a相乘可以得到N

这样⽐较下来，是不是对对数更明⽩了些呢？

这⾥额外要提到的，就是a*b与b*a虽然结果相同，但它们的含义不同。

a*b表⽰b个a相加，b*a表⽰a个b相加，⼆者不可搞混。在对数⾥，b个a相乘（

）和a个b相乘（）的结果就⼤不⼀样了。

对数的表达⽅式使⽤了符号log，不像加减乘除指数开⽅那么简单明了，不妨这样想：每看到对数表达式：

，脑⼦⾥⾃动反应出另⼀种形式：

，它就是这个“？”

这样在理解和运⽤对数时会更加直观。

对数运算法则

与上篇相类似，我们⽤乘除法作类⽐，来帮助理解对数运算法则（1）

原理：（1）对于指数运算有

，

（2）令

，

，则有

，，上式：

（橘子汁 3）两边取以a为底的对数：与乘除法相⽐较：

（1）对于乘法有a*p+a*q=a*(p+q)，

（2）令a*p=M，a*q=N，则有p=M/a，q=N/a，上式：M+N=a*（p+q）（3）两边同时除以a：M/a+N/a=p+q=（M+N）文字签名 /a

幂运算⾥指数之间的加减关系作⽤于底数之后就是乘除关系。因⽽两个幂相乘所对应的指数就是分别两个幂的指数相加。运⽤

的⽅式直观理解：个a相乘得M，

个a相乘得N，那么要得M*N，需有

+

个a相乘才⾏，所以就是

+

=，也就是

（2）

其原理与（1）类似，把减法看作“加上负数”，除法看作“乘以倒数”就可以，请⾃⾏推导、⽐较。

（3）原理：（1）

（n个M相乘）

（2）两边同时取以a为底的对数：

左边=右边=

（n个M相乘），

（3）根据右边=

（n-1个M相乘）

=

（n-2个M相乘）

......=

（n个相加）

=

此外：此外证明：令

，于是，

所以

（4）换底公式：

这是⾮常有⽤的公式，可以把不同底的对数换成相同的底，便于进⼀牙线使用方法 步运算。

并且这个底是任意选取的，可以根据实际需要⾃选任何数字（c＞0，c≠1）证明：令

，

(

)，则有，

于是

反过来，换底公式可以看作为把相同底的两个对数的除法“合并”成⼀个数的运算。

⾃然对数的底

我们定义⾃然对数的底为：

式⼦右边表⽰当n趋近于⽆穷⼤的时候

的取值

e是⽆理数，它的值约等于2为什么视频打不开 .71828

e更深层次的含义和更多的运⽤是⾼等数学的内容，这⾥只作初步了解

以e为底数的对数通常写作ln，⽐如ln2、ln55.55、

等。

在当前阶段，把e当成⼀个普通的⽆理数就可以了。

此外，以10为底的对数通常写作lg口诀 ，⽐如1g100=2，lg5，lgX等。

对数函数

具有形如

形式的函数叫作对数函数

a＞0，a≠1，函数的定义域为（0，+∞）

现在我们来看⼏个具体函数的例⼦红⾊：

蓝⾊：

（⼀）单调性

当a＞1时是增函数，当0＜a＜1时是减函数

所有的对数函数都经过点（1，0），（类似的，所有的指数函数都经过点（0，1））（⼆）对称性

与指数函数相类似，对数函数本⾝没有对称性，但对数函数之间有函数

与

关于x轴对称，相同的申论题目 x对应的函数值互为相反数

很容易从对数的运平衡态 算法则推断出：

（三）周期性

对数函数没有周期性

（四）逆函数对数函数

与指数函数

互为逆函数（a＞0，a≠1）

它们的图像关于直线y=x对称下⾯是具体例⼦：

红⾊：

蓝⾊：

⿊⾊：y=x（对称轴）

（五）对数函数换底

现在把前⾯刚刚讲过换底公式：

运⽤到对数函数

中

我们把它换成两个以e为底的对数的商，（也可以⽤其他底数，⽤e写起来⽐较省⼒）从这个式⼦可以惊讶的发现：1/lna是常数，也就是说，对于所有仅仅是底数a不同，都具有

形式的对数函数，它们的图像之间只是相差常数1/lna倍！

要点

⾄此，学习完成对数、指数、幂之后，⾼中阶段除三⾓函数以外的基本函数类型（运算⽅式）都已学习。

对数是指数运算的逆运算，运算法则也都可简爱英语 以通过幂运算的法则推出。作为新接触的运算⽅式，对数也需要⼤量的基础练习熟练掌握，达到

与除法相同的熟练度。特别的，由于对数的表达⽅式不如加减乘数指数那么直观，运算法则表⽰的含义也不够直观，所以需要花更多的时间来理解运算法则成⽴的原理，提⾼应⽤的熟练程度。

在除法运算中，除不尽数字的我们会以分数的形式表⽰，有的式⼦也是以分数表⽰的。与之相类似，对于对数除了把它当做运算，也要当做

⼀个“数”来看待。⽐⽅说对分数79/283，我们就会默认它是⼀个数字，⽽不会在想办法计算出⽤⼩数表⽰的具体数值。对于对数也是如此，⽐如lg2，ln882，

等，要认为它们都是数字，与1、2、3、7/8、0.125⼀样。当然对于可以很容易简化的还是尽量简化，⽐如

，。

当复合函数中出现对数时，在确定定义域的范围时⼀定要考虑到条件：底数和真数都必须＞0，且底数≠1.