球的表面积公式

1..3.2球的体积和表面积（1）

设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平

面把半球切割成n层，每一层都是近似于圆柱形状的“小

圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近

似米酒水 于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度

就是“小圆片”的下底面。

由勾股定理可得第i层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径：

R

n

，底面

R

r

i

R

2

[(i1)]2

n

，（i＝1,2,3，，n）

第i层“小圆片”的体积为：

R2

V≈

r

i

n

＝



R

3



i1





1

n



n





2



（i＝1,2,3，，n）



，



半球的体积：V半径＝V

1

＋V

2

＋＋Vn

≈



R3

12

{1＋（1－

2

n

n

22

）＋（1－2

n

(n1)2

）＋＋［1－

n2

］（注：1

2

］}

＝



R3

1南瓜馒头怎么做

2

2

2

(n1)2

［n－

n

n2

2

2

n

2

1

n(n1)(2n1)

）6

11



(1)(2)



1(n1)n(2n1)(n1)(2n1)



R

3

3

nn

＝［n－

2



＝



R(1

）＝



R



1

2

6

6

n6n

n







3

①

当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大王者荣耀怎么换头像 时，①式越来越接近于半球的

体积，如果n无限变大，就能由①式推出半径的体积。

事实上，n增大，

1

n

就越来越小，当n无限大时，

V

半径＝

23



R

，所以，半径为R的球的体积为：3

1

趋向于0，这时，有

n

4

3

V＝



R

3

1..3.2球的体积和表面积（2）

球的表面积推导方法（设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法）

（1）分割。把球O的表面分成n个“动漫男生壁纸 小球面片”，设它们的表面积分别是S

1

，S

2

，„„

Sn，那么球的表面积为：S＝S

1

＋S

2

＋„„＋Sn

把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来平安夜送苹果 ，整个球体被分成n个以“小球

面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶学习笔记 点相连后

就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体”

的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么

“小锥体”的底面几乎是“平”的，（好象地球一样），这时，每一个“小锥体”就近

似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。

（2）求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V

1

，V

2

，„，Vn

那么球的体积为：V＝V

1

＋V

2

＋„＋Vn

由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的

近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片”

顶点的连线为棱。设它的高为h

i

，底面面积为S’

i

，于是，它的体积为：

1

h

i

S’

i

，（i＝1,2,„，n）3

1

这样就有：V

i

≈h

i

S’

i

，（i＝1,2,„，n）

3

1

V≈（h

1

S’

1

＋h

2

S’

2

＋„＋h

n

S’

n

）

3

V’

i＝

①

（3）转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分

割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么h

i

（i＝1,2,„，n）就趋向于R，S’

i

就趋向于S

i

，于是，由

①可得：V＝

1

RS3

S＝4R

2

又V＝

4

3

41



R

，所以，有



R

3

＝RS即：

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