微积分基本定理

学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积

分．

知识点一微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)

思考1已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x

2

＋x，则

1

0

(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？

1

答案由定积分的几何意义知，

1

F(1)－F(0)＝2，故

1

0

(2x＋1)dx＝(1＋3)1＝2，

0

(2x＋1)dx

2

＝F(1)－F(0)．

思考2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)?

答案不唯一．根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)

＋c′＝f(x)．

梳理(1)微积分基本定理

①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)；

②结论：

b

a

f(x)dx＝F(b)－F(a)；

b

③符号表示：

b

a

f(x)dx＝F(x)|

a

＝F(b)－F(a)．

(2)常见的原函数与被积函数关系

b

①

b

a

cdx＝cx|

a

(c为常数)．

1

n

＋

1



bn

②

b

a

xdx＝

n＋1

x



a

(n≠－1)．

b

③

b

a

sinxdx＝－cosx|

a

.

b

④

b

a

cosxdx＝sinx|

a.

1

b

⑤

b

a

dx＝lnx|

a

(b>a>0)．x

xxb

⑥

b

a

edx＝e|

a.

x

⑦

b

a

adx＝

a

x

b

lna



a

(a>0且a≠1)．

3

⑧

b

a

2



xdx＝

x

2



b

(b>a>0)．

3

a

知识点二定积分和曲边梯形面积的关系

思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？

答案当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不

恒成立，则不相等．

梳理设曲边梯形在x轴上方的面积为S

上

，在x轴下方的面积为S

下

，则

(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则

b

a

f(x)dx＝S

上．

(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则

b

a

f(x)dx＝－S

下．

(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③人类呀爱我吧 ，爱因斯坦智商多少 则

b

a

f(x)dx＝S

上

－S

下．

特别地，若S

b

上

＝S

下

，则

a

f(x)dx＝0.

类型一求定积分

命题角度1求简单函数的定积分

例1求下列定积分．

x

(1)

1

0

(2x＋e)dx；

1

(2)

2

1

(－3cosx)dx；

x(3)





2

0

xx

(sin－cos)

2

dx

；

22

(4)

3

0

(x－3)(x－4)dx.

x2x1

解(1)

1

0

(2x＋e)dx＝(x＋e)|

0

＝(1＋e

1

)－(0＋e

0

)＝e.

1

(2)

2

1

(－3cosx)dx

x

＝(lnx－3sinx)|

2

1

＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1)

＝ln2－3sin2＋3sin1.

xx

(3)∵(sin－cos)

2

22

xx

＝1－2sincos＝1－sinx，

22∴





2

0



xx2

(sin－cos)dx

＝



2

(1－sinx)dx

0

22

＝(x＋cosx)

|

＝(＋cos)－(0＋cos0)＝－1.

222

(4)∵(x－3)(x－4)＝x

2

－7x＋12，

∴

3

0

(x－3)(x－4)dx

2

＝

3

0

(x－7x＋12)dx

20

17

＝(x

3

－x

2

＋12x)|

3

0

32

1727

＝(3

3

－3

2

＋123)－0＝.

322

反思与感悟(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求

得函数F(x)．

(2)由微积分基本定理求定积分的步骤

第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；

第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．

跟踪训练1计算下列定积分．

2

1

(1)

2

1

(x－x＋)dx；x

2

(2)



0

xx

(cos

2

－sin

2

)dx

；

22

(3)

9

4

x(1＋x)dx.

2

1

解(1)

2

1

(x－x＋)dxx

11

＝(x

2

－x

3

＋lnx)|

2

1

23

1111

＝(2

2

－2

3

＋ln2)－(－＋ln1)

2323

5

＝ln2－.

6(2)



2

0

xx

(cos

2

－sin

2

)dx

22

＝





2

0

cosxdx

20

＝sinx

|

＝1.

(3)

9

4

x(1＋x)dx

＝

9

4(

3

2

21

x＋x)dx＝(

x

＋x

2

)|

9

24

33

3

2121271

＝(

9

2

＋9

2

)－(

4

2

＋4

2

)＝.

32326

命题角度2求分段函数的定积分

sinx0≤x<，

2



例2(1)求函数f(x)＝



1≤x≤2，

2





x－12

2

(2)求定积分

2免费申请qq cool是酷的意思吗

0

|x－1|dx.

在区间[0,4]上的定积分；

解

(1)

4

0

f(x)dx＝

20



2

0

sinxdx

＋





1dx

＋

4

2

(x－1)dx

2

2

12

＝(－cosx)

|

＋x

|



＋(x

2

－x)|

4

2

2

2

＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.

22

2





1－x，x∈[0，1，

(2)∵|x韩国炸鸡店 －1|＝



2



x－1，x∈[1，2]，

2

x

3

x

32

又(x－)′＝1－x，(－x)′＝x

2

－1，

33

21222

∴

2

0

|x－1|dx＝

0

|x－1|dx＋

1

|x－1|dx

222

＝

1

0

(1－x)dx＋

1

(x－1)dx

x

3

1

x

3

2

＝(x－)|

0

＋(－x)|

1

33

181

＝1－＋－2－＋1＝2.

333

反思与感悟分段函数的定积分的求法

(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．

(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．





1＋2x，0≤x≤1，

跟踪训练2(1)f(x)＝



2

求

2

0

f(x)dx.



x，1

解

2

0

f(x)dx

22

＝

1

0

(1＋2x)dx＋

1

xdx

1

32

＝(x＋x

2

)|

1

0

＋x|

1

3

713

＝2＋＝.

33

2

(2)求

2

－

2

|x－x|dx的值．



解∵|x－x|＝



x－x，0≤x≤1，





x－x，1

2

22

2

∴

2

－

2

|x－x|dx

x

2

－x，－2≤x<0，

21222

＝

0

－

2

(x－x)dx＋

0

(x－x)dx＋

1

(x－x)dx

111

2

1

31

1

3

1

22

＝(x

3

－x

2

)|

0

－

2

＋(x－x)|

0

＋(x－x)|

1

322332

141517

＝＋＋＝.

3663

类型二利用定积分求参数

例3(1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若

t

0

f(x)dx＝6，则t＝________.

(2)已知2≤

2

1

(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．2

答案(1)3(2)[，2]

3

t

解析(1)

t

0

f(x)dx＝

0

(2x－1)dx＝t

2

－t＝6，

解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.

3



1

kx

2

＋x



2

(2)

2

＝

1

(kx＋1)dx＝1



2



2

k＋1.

32

由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.

23

引申探究

t

1．若将例3(1)中的条件改为

t

0

f(x)dx＝f()，求t.

2

解由

t

0

f(x)dx＝

t

0

(2x－1)dx＝t

2

－t，t

又f()＝t－1，∴t

2

－t＝t－1，得t＝1.

2

2．若将例3(1)中的条件改为

t

0

f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．

11

解F(t)＝

t

0

f(x)dx＝t

2

－t＝(t－)

2

－(t>0)，

24

11

当t＝时，F(t)

min

＝－.

24

反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分

基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．

(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分

区间与函数F(x)等概念．

跟踪训练3(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝

1

0

(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．

(2)设函数f(x)＝ax

2

＋c(a≠0)．若

1

0

f(x)dx＝f(x

0

)，0≤x

0

≤1，则x

0

的值为________．

答案(1)[0,2)(2)

3

3

解析(1)f(x)＝

1

0

(1－2x＋2t)dt

＝(t－2xt＋t

2

)|

1

0

＝－2x＋2(x∈(0,1])．

∴f(x)的值域为[0,2)．

12

(2)∵

1

0

f(x)dx＝

0

(ax＋c)dx

1

3

a1

ax＋cx



0

＝



＝



3



3

＋c.

又f(x

0

)＝ax

2

0

＋c，

a332

∴＝ax

0

，即x

0

＝或－.

333

∵0≤x

0

≤1，∴x

0＝

3

.3

1

1．若

a

1

(2x＋)dx＝3＋ln2，则a的值是()

x

A．5B．4C．3D．2

答案D

1

aa

1

解析

a

1

(2x＋)dx＝

1

2xdx＋

1

dx

xx

a2

＝x

2

|

a

1

＋lnx|

1

＝a－1＋lna＝3＋ln2，

解得a＝2.

2．



3



0

(1－2sin

2

)d



等于()

2

3113

B．－C.D.

2222



A．－

答案D

解析

3



3

0

(1－2sin

2

)d



2



30



＝



0

cos



d



＝sin

|

＝

2.

3

3．已知f(x)＝ax

2

＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，

1

0

f(x)dx＝－2.求a，b，c的值．

解∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，

f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，

1

3

121



ax＋cx



0

1

f(x)dx＝(ax＋c)dx＝

00



3



1

＝a＋c＝－2，3

由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.

③

①

②



4x－2，0≤x≤

2，

4．已知f(x)＝



cosx，

2

计算：

0

f(x)dx.

解

0

f(x)dx＝

2



2

0

f



x



dx

＋





f



x



dx

2





＝



0

(4x－2)dx

＋





cosxdx

，

2

取F

1

(x)＝2x

2

－2x，则F

1

′(x)＝4x－2；劳动的手抄报

取F

2

(x)＝sinx，则F

2

′(x)＝cosx.所以



2

2

0

(4x－2)dx

＋





cosxdx

2



＝(2x－2x)

|

＋sinx

|



2



20



1

＝－

2

－1，

2

12

即

0

f(x)dx＝－

－1.

2

1．求定积分的一些常用技巧

(1)对被积函数，要先化简，再求积分．

(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．

2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理

解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积

分的相反数．

课时作业

一、选择题

1

x

1．

2

1

(e＋)dx等于()

x

A．e

2

－ln2

C．e

2

＋e＋ln2

B．e

2

－e－ln2

D．e

2

－e＋ln2

答案D

解析

2

1

(e

x

＋

1

x

)＝(e

x

＋lnx)|2

1

＝(e

2

＋ln2)－(e＋ln1)＝e

2

－e＋ln2.

2．

0

－

4

|x＋2|dx等于()

A．

0

－

4

(x＋2)dx

B．

0

－

4

(－x－2)dx

C．－

2

－

4

(x＋2)dx＋

0

－

2

(－x－2)dx

D．－

2

－

4

(－x－2)dx＋

0

－

2

(x＋2)dx

答案D





x＋2，－2≤x≤0，

解析∵|x＋2|＝







－x－2，－4≤x<－2，

∴

0

－

4

|x＋2|dx＝

－

－

24

(－x－2)dx＋

0

－

2

(x＋2)dx.

故选D.

3．若S

1

＝

2

1

x

2

dx，S

2

＝

2

1

1x

dx，S

3

＝

2

1

ex

dx，则S

1

，S

2

，S

3

的大小关系为(

A．S

1

2

3

B．S

2

1

3

C．S

2

3

1

D．S

3

2

1

答案B

解析因为S

1

＝

2

1

x

2

dx＝

11

3

17

3

x

3

|

2

1

＝

3

2－

3

＝

3

，

S

2

1

2

＝

1

2x

dx＝lnx|

1

＝ln2，

S

3

＝

2

1

e

x

dx＝e

x

|

2

1

＝e

2

－e＝e(e－1)．

又ln2

3

<2.5

所以ln2<7

3

2

1

3.

4．若

k

0

(2x－3x2

)dx＝0，则正数k的值为()

A．0B．1

C．0或1D．2

答案B

解析

k

0

(2x－3x

2

)dx＝x

2

－x

3

|

k

0

＝k

2

－k

3

＝0，

解得k＝1或0(舍去)．

)

5．若函数f(x)＝x

m

＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则

2

1

f(－x)dx等于()

5

A.

6

2

C.

3

答案A

解析∵f′(x)＝mx

m

－

1

＋n＝2x＋1，

∴m＝2微信助手在哪里找 ，n＝1.

则f(x)＝x

2

＋x，

22

∴

2

1

f(－x)dx＝

1

(x－x)dx

1

B.

2

1

D.6

115

＝(x

3

－x

2

)|

2

1

＝.

326

22

6．已知f(a)＝

1

0

(2ax－ax)dx，则函数f(a)的最大值为()塑身背心

1212

A.B.C．－D．－

9999

答案B

2

3

1

22

1

2

2

22

解析f(a)＝

1

(2ax－ax)dx＝(ax－ax)|1＝－a＋a，

00

3催款通知书 2232

－2

32

由二次函数的性质，可得f(a)

max

＝＝.

19

4－

2

1

7．若f(x)＝x

2

＋2

0

f(x)dx，则

1

0

f(x)dx等于()

A．－1

1

C.

3

答案B

解析∵f(x)＝x

2

＋2

1

0

f(x)dx，

1

311

∴

1

0

f(x)dx＝(x＋2x

0

f(x)dx)|

0

31

＝＋2

1

0

f(x)dx，

3

1

∴

1

0

f(x)dx＝－.

3

二、填空题

1

B．－

3

D．1

8．

a

－

a

(xcosx－5sinx＋2)dx＝________.

答案4a

解析∵

a

－

a

xcosxdx＝0，

∴

a

－

a

(xcosx－5sinx＋2)dx

＝

a

－

a

(－5sinx＋2)dx

a

＝(5cosx＋2x)|

－

a

＝4a.

9．已知f(x)＝3x

2

＋2x＋1，若

1

－

1

f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.

1

答案－1或

3

321

解析

1

－

1

f(x)dx＝(x＋x＋x)|

－

1

＝4，

2f(a)＝6a

2

＋4a＋2，

1

由题意得6a

2

＋4a＋2＝4，解得a＝－1或.

3





lgx，x>0，

10．泡脚桶品牌 设f(x)＝



若f[f(1)]＝1，则a＝____________.

a2



x＋

0

3tdt，x≤0，

答案1

解析因为x＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.

23a3

又当x≤0时，f(x)＝x＋

a

0

3tdt＝x＋t|

0

＝x＋a，

所以f(0)＝a

3.

因为f[f(1)]＝1，所以a

3

＝1，

解得a＝1.

1

11．设f(x)是一次函数，且

1

0

f(x)dx＝5，

0

xf(x)dx＝

17

，则f(x)的解析式为________．6

答案f(x)＝4x＋3

解析∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

111

∴

1

0

f(x)dx＝

0

(ax＋b)dx＝

0

axdx＋

0

bdx

1

＝a＋b＝5，2

1

1

0

xf(x)dx＝

0

x(ax＋b)dx

1117

21

＝

1

.

0

(ax)dx＋

0

bxdx＝a＋b＝

326



∴



1117

a＋



32

b＝

6，

1

a＋b＝5，2





a＝4，

解得





b＝3.

∴f(x)＝4x＋3.

12．已知∈[0，]，则当

0

(cosx－sinx)dx取最大值时，＝________.

2

答案

4

解析

0

(cosx－sinx)dx

＝sin＋cos－1＝2sin(＋)－1.

4

3

∵∈[0，]，则＋∈[，

]，

2444

当＋＝，即＝时，

424

2sin(＋)－1取得最大值．

4

三、解答题

12

13．已知f(x)＝

x

－

a

(12t＋4a)dt，F(a)＝

0

[f(x)＋3a]dx，求函数F(a)的最小值．

2x

解因为f(x)＝

x

－

a

(12t＋4a)dt＝(6t＋4at)|

－

a

＝6x

2

＋4ax－(6a

2

－4a

2

)＝6x

2

＋4ax－2a

2

，

2122

F(a)＝

1

0

[f(x)＋3a]dx＝

0

(6x＋4ax＋a)dx

2

＝(2x

3

＋2ax

2

＋a

2

x)|

1

0

＝2＋2a＋a

＝a

2

＋2a＋2＝(a＋1)

2

＋1≥1.

所以当a＝－1时，F(a)取到最小值为1.