惯性环节

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习题演练控制系统实验控制理论教程学生作业档案教师办公室典型作业展示常见问题

第一章自动控制的基本概念

第二章控制系统的数学描述

第三章控制系统的时域分析

第四章控制系统的频域分析

第五章过程控制

2.3控制系统的典型环节

2.3控制系统的典型环节

自动控制系统是由不同功能的元件构成的。从物理结构上看，控制系统的类型很多，相互

之间差别很大，似乎没有共同之处。在对控制系统进行分析研究时，我们更强调系统的动态特性。

具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构，不同工作原理的元器件，我们

都认为是同一环节。所以，环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念，

从物理结构上千差万别的控制系统中，我们就发现，他们都是有为数不多的某些环节组成的。这

些环节成为典型环节或基本环节。经典控制理论中，常见的典型环节有以下六种。

2.3.1比例环节

比例环节是最常见、最简单的一种环节。

比例环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间满足下列关系

(2.24)

比例环节的传递函数为

(2.25)

式中K为放大系数或增益。

杠杆、齿轮变速器、电子放大器等在一定条件下都可以看作比例环节。

例10图2.10是一个集成运算放大电路，输入电压为

为反馈电阻。我们现在求取这个电路的传递函数。

解从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节，其输入电压与输出电压的关系是

，输出电压为

，

为输入电阻，

(2.26)

按传递函数的定义，可以得到

(2.27)

式中，可见这是一个比例环节。如果我们给比例环节输入一个阶跃信号，他的输出

同样也是一个阶跃信号。阶跃信号是这样一种函数

(2.28)

式中为常量。当时，称阶跃信号为单位阶跃信号。阶跃输入下比例环节的输出如图2.11

所示。比例环节将原信号放大了K倍。

图2.10比例器

图2.11比例环节的阶跃响应

（a）阶跃输入；（b）阶跃输出

2.3.2惯性环节

惯性环节的输入变量X(t)与输出变量Y(t)之间的关系用下面的一阶微分方程描述

(2.29)

惯性环节的传递函数为

(2.30)

式中，T称为惯性环节的时间常数，K称为惯性人面兽心的意思 环节的放大系数。

惯性环节是具有代表性的一类环节。许多实际的被控对象或控制元件，都可以表示成或近

似表示成惯性环节。如我们前面举过的液位系统、热力系统、热电偶等例子，它们的传递函数都

具有（2.30）式的形式。都属惯性环节。

当惯性环节的输入为单位阶跃函数是，其输出y(t)如图2.12所示。

图2.12惯性环节的单位阶跃响应

(a)输入函数；(b)惯性环节的输出

从图2.12中可以看出，惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化，直到过渡过程结

束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性麻雀大结局 地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。

凡是具有惯性环节特性的实际系统，都具有一个存储元件或称容量元件，进行物质或能量的存储。

如电容、热容等。由于系统的阻力，流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大，存储量

的变化必须经过一段时间才能完成，这就是惯性存在的原因。

2.3.3微分环节

理想的微分环节，输入变量x(t)与输出变量y(t)只见满足下面的关系

(2.31）

理想微分环节的传递函数为

(2.32)

式中为微分时间常数。

微分环节反映了输入的微分，既反映了输入x(t)的变化趋势。它具有“超前”感知输入变量变

化的作用，所以常用来改善控制系统的特性。

例11图2.13式是由运算放大器构成的微分电路原理图，我们现在来推导它的传递函数

。

解本节例1中的比例放大器，如把输入电阻

运算放大电路的传递函数

和反馈电阻用复阻抗代替，可以得到该类型

(2.33)

式中为反馈电路复阻抗，为输入电路复阻抗。将各元件复阻抗代入（2.33）式

令，则有

(2.34)

这是一个微分莲藕的作用与功效 环节，所以图2.13所示的电路称为微分器。

由于电路元器件都具有一定的惯性，实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节，其传递函数为

(2.35)

式中、为时间常数。

图2.13微分器

2.3.4积分环节

积分环节的输出变量y(t)是输入变量x(t抗疫观后感 )的积分，即

(2.36)

积分环节的传递函数为

(2.37)

式中K为放大系数。

例12图2.14是一个气体贮罐。我们现在来分析一下流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力

的关系。

解设气体流量为Q，贮罐内气体压力为P，气罐容积为V,R为气体常数，T为气体的绝对温度，

则有

(2.38)

其传递函数为

(2.39)

式中。

图2.14气体贮罐

2.3.5振荡环节

振荡环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)的关系由下列二阶微分方程描述。

(2.40)

按传递函数的定义可以求出式2.40所表示的系统的传递函数为：

（2.41）

上两式中，称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率，称为阻尼系数或阻尼比。式（2.40）是

振荡环节的标准形式，许多用二阶微分方程描述的系统，都可以化为这种标准形式。

本章中2.1节中的例1是机械运动系统，例2是直流电动机。2.2节中的例7RLC电路都是振荡

环节的例子。

例13把2.2节的例7RLC电路的传递函数化为标准形式。

解已知

上式可以写为

(2.42描写自然景物的四字词语 )

式中,，K为放大系数。

区间时，对单位阶跃输入函数的输出曲线如图2.15所

振荡环节在阻尼比的值处于

示。这是一条振幅衰减的振荡过程曲线。

振荡环节和惯性环节一样，是一种具有代表性的环节。很多被控对象或控制装置都具有这种环节

所表示的特性。

图2.15振荡环节的单位阶跃响应

2.3.6延时环节（滞十二经络快速记忆的方法口诀 后环节）

延时环节的输出变量y(t）与输入变量x(t)之间的关系为

(2.43)

延时环节的传递函数为

(2.44)

式中为延迟时间。

图2.16表示了延时环节输入与输出的关系：

图2.16延时环节的输入与输出

信号通过延时环节，不改变其性质，仅仅在发生时间上延迟了时间。

在热工过程、化工过程和能源动力设备中，工质、燃料、物料从传输管道进口到出口之间，就可

以用延时环节表示。

延时环节的传递函数是关于s的无理函数，在分析计算中非常不便。所以常用有理函数对其进行

近似。一种近似方法是将其表示为

(2.45)

式中n

1,n越大，精度越高，但计算也越复杂，一般取n>4即可得到较满意的结果。另一种方

法是把指数函数展开成泰勒级数

略去高次项后可得到

(2.46)

或

(2.47)

这种方法在输入变量变化较缓时比较适用，如果输入中含有变化迅速的成分（如阶跃函数），精

度就比较差。

以上我们介绍了6种典型环节。控制系统的大多数环节，都可以用这6种典型环节表示。实际上大海的词语

的控制系统，就是典型环节按一定的方法组合而成的。我们将在下一节讨论环节的组合方法。

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