勾股定理的逆定理

第十七章勾股定理

17.2

勾股定理的逆定理

1．互逆命题与互逆定理

名称

定义

如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样

互逆命题

的两个命题叫最强脑筋急转弯 做

__________

．如果把其中一个叫

做原命题，那么另一个叫做它的逆命题

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确

（

3）互逆的两个命题不一定同

互逆定理

的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为

真或同假，互逆的两个定理都是

逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理

真命题

关系

（

1

）命题有真有假，而定理都

是真命题；

（

2

）每个命题都有逆命题，但

不是所有的定理都是逆定理；

2．勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长

a

，

b

，

c

满足

__________

，那么这个三角形是直角三角形，我们称它为勾股定理的

逆定理．

利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤：

①确定三角形的最长边；

②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；

③通过比较来判断最长边的平方借英语 与另两边的平方和是否相等；

④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形．

【注意】（

1

）甲午战争观后感 若用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，那么其中最长边所对的角是直角．

不能机械地认为

c

边所对的角必是直角，例如：若

a

2

-

b

2

=c

2

，则

a

边所对的角是直角．

（

2

）勾股定理的逆定理在叙述时不能说成“当斜边长的平方等于两条直角边长的平方和时，这个三角

形是直角三角形”，在未判定三角形为直角三角形前，不能称最长边为“斜边”，较短的两边为“直角

边”．

3．勾股数

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即

a

2

+b

2

=c

2

中，

a

，

b

，

c

为正整数时，称

a

，

b

，

c

为一组勾股数．

常见的勾股数有阿玛尼广告 ：①

3

，

4

，

5

；②

6

，

8

，

10

；③

8

，

15

，

17

；④

7

，

24

，

25

；⑤

5

，

12

，

13

；⑥

9

，

12

，

15

．

常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．

勾股数的求法：

（

1

）如果

a

为一个大于

1

的奇数，

b

，

c

是两个连续自然数，且有

a

2

=b+c

，那么

a

，

b

，

c

为一组勾股数．

如

3

为大于

1

的奇数，

4

，

5

为两个连续自然数，且

32=4+5

，则

3

，

4

，

5

为一组勾股数，还有：

5

，

12

，

13

；

7

，

24

，

25

；

9

，

40

，

41

；

11

，

60

，

61

；…．

K

知识参考答案：

1

．互逆命题

2

．

a

2

+b

2

=c

2

K

—重点

K

—难点

K

—易错

勾股定理的逆定理及其实际应用

勾股定理逆定理的证明

运用勾股定理的逆定理时，错认最长边

一、互逆命题与互逆定理

1

．判断一个命题是真命题需要推理证明，判断一个命题是假命题只需举出一个反例即可；

2

．正确写出一个命题的逆命题的关青岛的明星 键是能够正确区分海鲜调料 命题的题设和结论．

【例

1

】下列命题中，逆命题是假命题的是

A

．全等三角形的对应角相等

C

．全等三角形的对应边相等

【答案】A

【解析】

A

、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题；

B

、直角三角形两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；

C

、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，是真命题；

D

、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题．故选

A

．

B

．直角三角形两锐角互余

D

．两直线平行，同位角相等

二、勾股定理的逆定理

勾股定理与其逆定理的区别：

（

1

）勾股激情图文 定理和勾股定理的逆定理的题设和结论相反；

（

2

）勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定．

【例

2

】

下列各组数是勾股数的是

A

．

2

、

3

、

4

【答案】C

B

．

1.5

、

2

、

2.5

C

．

3

、

4

、

5

D

．

4

、

5

、

6

【名师点睛】本题考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形

ABC

的三边满足

a关于中秋的诗

2

+b

2

=c

2

，则△

ABC

是直角三角形．

三、勾股数

一组数是勾股数必须同时满足两个条件：

（

1

）这三个数都是正整数；

（

2

）两个较小数的平方和等于最大数的平方，这两个条件缺一不可．

【例

3

】

如图，每个小正方形的边长都为

1

，△

ABC

的顶点都在格点上．

（

1

）判断△

ABC

是什么形状，并说明理由．

（

2

）求△

ABC

的面积．

【解析】（

1

）△

ABC

是直角三角形，理由如下：

由勾股定理可得：

AC

2

=1

2

+8

2

=65

，

BC

2

=4

2

+6

2

=52

，

AB

2

=3

2

+2

2

=13

，

∴

AB

2

+BC

2

=AC

2

，

∴△

ABC

是直角三角形．

（

2

）∵

BC

2

=4

2

+6

2

=52

，

AB

2

=3

2

+2

2

=13

，

∴

BC=2

13

，

AB=

13

,

∴△

ABC

的面积=

1

2

13

13

=13

．

2

【名师点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定

理的逆定理是解决问题（

1

）的二年级语文组词 关键．