华罗庚数学奖

本系列共15讲

第十讲逻辑推理（一）

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文档贡献者：与你的缘

由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑

推理能力是一种极好的途径。为了使同学们在思考问题时更严密更

合理，会有根有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。

解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关

系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。

例1

公路上按一路纵队排列着五辆大客车，每辆车的后面都

贴上了该车的目的地的标志。每个司机都知道这五辆车有两辆开往

A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标

志。调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开

往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断。他先让第三个司机

猜猜自己的车是开往哪里的。这个司机看看前两辆车的标志，想了

想说“不知道”。第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据

第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道。第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，

说出了自己的目的地。

请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的？他又是怎样分析出来的？

解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车

开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市（否则，如果第一、

二辆车都开往A市，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定

开往B市）。

再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A

市的（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定

开往B市）。

运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B市。

例2

李明、王宁、张虎三个野菊花作文 男同学都各有一个妹妹，六个人

在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。事先规定，兄妹二人不许搭伴。

第一盘：李明和小华对张虎和小红；

第二盘：张虎和小林对李明和王宁的妹妹；请你判断：小华、小红和小林各是谁的妹妹？

解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹

二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华。剩下就只有两种可能了。

第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；

第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。

对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹

妹，王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双

打，不符合实际，所以第一可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。

所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。

例3

“迎春杯”数学竞赛后，甲、乙、丙、丁四名同学猜测

他们之中谁能获奖。甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖。”乙

说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖。”丙说：“如果丁没获奖，

那么我也不能获奖。”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，并且甲、乙、丙说的话都是正确的。那么没能获奖的同学是______。

解：首先根据丙说的话可以推知，丁必能获奖，否则，假设丁

没获奖，那么丙也没获奖，这与“他们之中只有一个人没有获奖”矛盾。

其次考虑甲是否获奖。假设甲能获奖，那么根据甲说的话可以

推知：乙也能获奖；再根据乙说的话又可以推知丙也能获奖，这样就得出四个人全都能获奖，不可能。因此，只有甲没有获奖。

例4

数学竞赛后，小明、小华、小强各获得一枚奖牌，其中

一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。王老师猜测：“小明得金

牌；小华不得金牌；小强不得铜牌。”结果王老师只猜对了一个。那么小明得______牌，小华得______牌，小强得______牌。

分析

逻辑问题通常直接采用正确的推理，逐一分析，讨论所

有可能出现的情况，舍弃不合理的情形，最后得到问题的解答。这里以小明所得奖牌进行分析。

解：（1）若“小明得金牌”时，小华一定“不得金牌”，这与“王老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。

（2）若“小明得银牌”时，再以小华得奖情况分别讨论。如

果小华得金牌，小强得铜心情差的图片 牌，那么王老师没有猜对一个，不合题意；

如果小华得铜牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，也不合题意。

（3）若“小明得铜牌”时，仍以小华得奖情况分别讨论。如

果小华得金牌，小强得银牌，那么王老师只猜对小强得奖牌的名次，

符合题意；如果小华得银牌，小强得金牌，那么王老师猜对了两个，不合题意。

综上所述，小明、小华、小强分别获铜牌、金牌、银牌，符合题意。

例5

有三只盒子，甲盒装了两个1克的砝码，乙盒装了两个

2克的砝码，丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。每只盒子外面

所贴的标明砝码重量的标签都是错的。聪明的小明只从一只盒子里

取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了。你知道这是为什么吗？

分析

解决本题的关键是确定打开哪只盒子：若打开标有“两

个1克砝码”的盒子，则该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一

个1克砝码，一个290后男歌手 克砝码”，当取出的是2克砝码时，就无法对

其内容作出准确判断。同样，打开标有“两个2克砝码”的盒子时，

也会出现类似的情况。所以，应打开标有“一个1克砝码，一个2

克砝码”的盒子。而它的真实内容应该是“两个1克砝码”或“两

个2克砝码”。

（1）若取出的是1克砝码，则该盒一定装有两个1克砝码，

从而标有“两个2克砝码”的盒子里，不可能是两个2克或两个1

克的砝码，而只能是一个1克，一个2克的砝码了；标有“两个1

克砝码”的盒子自然装有两个2克砝码。

（2）若取出的是2克砝码，同理可知，此盒装有两个2克砝

码；标有“两个1克砝码”的盒子里实际上是一个1克和一个2克

的砝码；标有“两个2克砝码”的盒子里实际上是两个1克砝码。

按以上的推理结果，小明就将全部标签改正过来了。

例6

四人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花色样样有；

四种花色的张数互不相同。红桃和方块共5张；红桃与黑桃共6张；

有两张将牌（主牌）。试问这付牌以什么花色的牌为主？

解：（1）假设红桃为主，那么红桃有2张，方块有3张，黑桃

有4张。因为共13张牌，所以草花有4张。这样，黑桃与草花张

数相同，与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，即锋芒毕露的读音 红桃不是主牌。

（2）假设方块为主牌，那么方块有2张，红桃有3张，则黑

桃也有3张，亦与已知矛盾。

（3）假设草花为主牌，那么草花有2张，并且推得红桃＋方

块＋黑桃共有11张牌。而已知“红桃和方块共5张，红桃与黑桃

共6张”，即得红桃＋方块＋红桃＋黑桃共11张牌。由此得到红桃

的张数应为零，与已知条件“四种花色样样有”相矛盾，说明草花不是主牌。

由以上推理得知，黑桃必为主牌，即黑桃有2张，红桃有4张，

方块有1张，那么草花有6张。

例7S、B、J、R四人分别获数学、英语、语文和逻辑学四个

学科的奖学金，但他们都不知自己获得的是哪一门奖学金。他们相互猜测：

S：“R得逻辑学奖”；

B：“J得英语奖”；

J：“S得不到数学奖”；

R：“B得语文奖”。

最后发现，数学和逻辑学的获奖巧克力牌子排名 者所作的猜测是正确的，其他两人都猜错了。那么他们各得哪门学科的奖学金？

分析

假设S猜对，即R得逻辑学奖。由已知条件“逻辑学获

奖者所作的猜测是正确的”，则R猜对，那么B得语文奖，并且J、

B均猜错。而由B猜错，可知J得数学奖，S只好得英语奖，这又

说明J猜“S得不到数学奖”是正确的，与前面的推理（J猜错）

矛盾。所以S的猜测是错误的。

解：S猜错，即R得不到逻辑学奖，S不得数学奖且不得逻辑

学奖。由此可知，J的猜测是正确的。则J得数学或逻辑学奖。于

是推得，B猜错，故R猜对，即B得语文奖，S得英语奖，所以R

得数学奖，J得逻辑学奖。

例8

A、B、C三人进行小口径步枪射击比赛，每个人射击6

次，并且都得了71分，三人共18次的得分情况，从小到大排列为：

1，1，1，2，2，3，3，5，5，10，10，10，20，20，20，25，25，50。

已知A首先射击两次，共得22分；C第一次射击只得3分。

请根据条件判断，是谁击中了靶心（击中靶心得50分）？

解：我们先来判断A六次射击的情况。已知前两次得22分，

六次共得71分，从而

71－22=49分

可知，击中靶心的决不会是A。另一方面，在上面18个数中，

两数之和等于22的只可能是20和2。再来推算一下四个数之和等

于49的可能性。首先，在这四个数中，如果没有25，是绝不可能

组成49的。其次，由于49－25=24，则如果没有20，任意三个数

也不能组成24。而24－20=4，剩下的两个数显然只能是1和3了。

所以A射击六次的得分（不考虑得分顺序）应该是：

20，2，25，20，3，1

（可在前面18个数中，划去上述6个数）

再来推断击中靶心的人六次得分的情况。从71－50=21

可知，要在前面12个未被划去的数中，取5个数，使其和是21，

可以断定，这5个数中，必须包括一个10，一个5，一个3，一个2，

一个1。即六次得分情况为：

50，10爱情两个字 ，5，3，2，1。

在前面12个未被划去的数中，划去上面这六个数。

剩下的六个数中没有3，而C第一次得了3分，可知这六个数

是B射击的得分数。因此C是击中靶心的人。

例9

在一俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远

说真话，骗子永远说假话。一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我

们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四人的回答如下：

第一个人说：“我们四个人全都是骗子。”

第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子。”

第三个人说：“我们四个人当中有两个人是骗子。”

第四个人说：“我是老实人。”请判断一下，第四个人是老实人吗？

解：（1）四个人当中一定有老实人。因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”。所以第一个人为骗子。

（2）第二个人为骗子。因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子，则第二、第三、第四个人都是老

实人。但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。道路材料

下面再看第三个人的回答：如果第三个人是骗子，则由（1）

可知，第四个人一定是老实人；若第三个人是老实人，那么由他的

话知他和第四个人是老实人。因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。

所以，第四个人HEMI发动机 是老实人。

例10

某医院内科病房，A、B、C、D、E、F、G七名护士每周

轮流安排一个夜班。已经知：A的夜班比C的夜班晚一天，D的夜

班比E的夜班的前一天晚三天，B的夜班比G的夜班早三天；F的

夜班在B和C的夜班的正中间，而且是在星期四。问每个护士分别在星期几值夜班？

解：除F外，可将已知条件归纳如下：CA，E__D，B__这里的横线表示空位。

可见CA不能排在B____G中间，否则F就无法排在BC的正

中间了。又F必排在三个空之一，因此还有两个空位必定是E__D

和B__G交叉填空，于是可排出：EBD__FG或BFEGD两种情况。而CA

只能加在任何一端，那么就有CAEBDFG，EBDFGCA，CABFEGD和

BFEGDCA四种排位。其中只有排位EBDFGCA才能满足已知条件“F

__G。

在BC的正中间”。所以七名护士值班排序是：E星期一值班，B是

星期二值班，D星期三值班，F星期四值班，G星期五值班，C星期

六值班，A星期日值班。

习题十

1，有一个珠宝店发生了一起盗窃案，被盗走了许多珍贵的珠

宝。经过几个月的侦破，查作案的人肯定是A、B、C、D中的一个，把这四个人当作重大嫌疑犯进行审讯，这四个人有这样的口供：

A：“珠宝店被盗那天，我在别的城市，所以我是不可能作案的。”

B：“D是罪犯。”

C：“B是盗窃犯，他曾在黑市上卖珠宝。”

D：“B与我有仇，陷害我。”

因为口供不鸡蛋炒什么菜谱大全 一致，无法判断谁是罪犯，经过进一步调查知道，这四个人只有一个说的是真话。你知道罪犯是谁吗？

2，甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

赵说：“甲是2号，乙是3号。”

钱说：“丙是4号，乙是2号。”

孙说：“丁是2号，丙是3号。”

李说：“丁是4号，甲是1号。”

又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

3，对某班同学进行了调查，知道如下情况：

（1）有哥哥的人没有姐姐；

（2）没有哥哥的人有弟弟；

（3）有弟弟的人有妹妹。试问：

（1）有姐姐的人一定没有哥哥，对吗？

（2）有弟弟的人一定没有哥哥，对吗？（3）没有哥哥的人一定有妹妹，对吗？

4，某校办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名。发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况。

A说：“B第三名，C第五名。”

B说：“E第四名，D第五名。”

C如何练好普通话 说：“A第一名，E第四名。”

D说：“C第一名，B第二名。”

E说：“A第三名，B第四名。”

老师说，每个名次都有人猜对。那么，这五名同学的名次是怎

样排列的？