2021年中考数学试卷(含答案)

2024年3月3日发(作者：金星)

2021年高中阶段学校招生考试

数学试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）

1. -2021的绝对值是

A．-2021

2.下列计算中，正确的是

2a29 A（.a3）B.

a8a4a2

2ab）2ab D.

a2a22a2 C.

（3．如右图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是

B．2021 C．2021 D．12021

A． B．

C． D．

4. 国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，

将14.1亿用科学记数法表示为

A. 14.1×108

B. 1.41×108

则四边形BDEC的面积为

A．12cm2

B．9cm2

C．6cm2

D．3cm2

6. 下列说法正确的是

A. 角平分线上的点到角两边的距离相等

B. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C. 1.41×109

D. 0.141×1010

5. 如右图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，

1x411x4C. 在代数式，2x，，985，2b，y中，，，2b是分式

aa3aaD. 若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4

数学试卷第1页（共15页）

2x07. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

x112A. B.

C. D.

8. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C

恰好落在AB边上的F处，则CE的长是

A. 1 B.C.

4

335D.

239.

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D,则阴影作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为43，∠CDF＝15°部分的面积为

A．16123

B．16243

C．20123

D．20243

10．已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc0；②b24ac；③2c3b；④a2bm(amb)（m1）；

⑤若方程ax2bxc=1有四个根，则这四个根的和为2.

其中正确的结论有

A. 2个B. 3个

C.4个D. 5个

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11. 若a2ab0，则ab=▲.

12. 如右图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，

垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是▲.

2x3y5a13. 已知关于x，y的二元一次方程组满足x-y＞0，则a的取值范围是▲.

x4y2a314. 下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第▲个

图形共有210个小球.

数学试卷第2页（共15页）

2

15. 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，

边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，有以下五个结论：

①ABF=DBE②ABF∽DBE

③AFBD④2BG2BHBD

⑤若CE:DE=1:3，则BH:DH=17:16

你认为其中正确是▲（填写序号）

三、计算或解答题（本大题共10个小题，共90分）

16.（7分）计算：

10（π3）12tan60232

1▲

m32m2917.（7分）先化简，再求值：2m3，

m4m4m3其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数.

▲

18.（8分）如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：AE=CF；

（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，

并说明理由．

▲

19.（9分）我市于2021年5月22-23日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加。现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：

类别

不了解

了解很少

基本了解

很了解

合计

频数

10

16

b

4

a

频率

m

0.32

n

1

数学试卷第3页（共15页）

（1）根据以上信息可知：a=▲，b=▲，m=▲，n=▲；

（2）补全条形统计图；

（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有▲人；

（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到

一男一女的概率是否相同．

▲

20.（9分）已知平面直角坐标系中，点P（x0,y0）和直线Ax+By+C=0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax+By+C=0的距离d可用公式dAx0By0CAB22来计算.

例如：求点P（1，2）到直线y=2x＋1的距离，因为直线y=2x+1可化为2x-y+1=0，

其中A=2，B=-1，C=1，所以点P（1，2）到直线y=2x＋1的距离为：

dAx0By0CA2B221（1）2122(1)215.

55根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点M（0，3）到直线y3x9的距离；

3x9的位置关系， （2）在（1）的条件下，⊙M的半径r=4，判断⊙M与直线y若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由.

▲

21.（9分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，

设T恤的销售单价提高x元.

（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，

问T恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？

最大利润是多少元？

▲

数学试卷第4页（共15页）

22. （9分）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向， C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向.

（1）求∠C的度数；

（2）求两颗银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）.

▲

23.（10分）如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2m（m≠0）的图象交于

x点A（1，2）和B（-2，a），与y轴交于点M.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，

求点N的坐标；

（3）将直线y1向下平移2个单位后得到直线y3，

当函数值y1y2y3时，求x的取值范围.

▲

24.（10分）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A=30°．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）求△ABC的面积；

（3）点E在BND上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

（备用图）

▲

25. （12分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B(-3，0)两点，与y轴交于C（0，-3），

对称轴为直线x1，直线y=-2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，

与对称轴交于点F.

（1）求抛物线的解析式和m的值；

（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，数学试卷第5页（共15页）

求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线y=1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN=2，若将线段MN在直线y=1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）。

（备用图）

数学试卷第6页（共15页）

遂宁市2021年初中毕业暨高中阶段学校招生考试

数学试卷参考答案及评分细则

说明：第三大题中，部分题目解法较多，请参照参考答案酌情给分.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

题号

答案

二、填空题（本大题共5个小题，每小题４分，共20分）

11. - 4 12. 12 13. a＞1 14. 20 15. ①②③④

三、解答题

16．（本题7分）

1

B

2

D

3

D

4

C

5

B

6

A

7

C

8

D

9

A

10

A

解：原式=2+3（23）+4分 =2323123..............................................................5分 =3...................................................................................................7分17．（本题7分）

m2(m2)9(m3)(m3)解：原式

2)2m3（mm3

m29m2-9m-2m-3m2m2................................................................................3分m-2m-3

m2m-3m-2m24分m-2∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长

∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5

∵m为整数∴m=2、3、4

又∵m≠0、2、3

∴6分

∴原式=431...................................................7分

42218.（本题8分）

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形

数学试卷第7页（共15页）

∴OA=OC,BE∥DF

∴∠E=∠F

在△AOE和△COF中

EFAOECOF

OAOC∴△AOE≌△COF（A．A．S.）.....................................3分

∴AE=CF ......................................4分

（2）方法一：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形,理由如下：....................5分

如图：连结BF,DE

∵四边形ABCD是平行四边形

∴OB=OD

∵△AOE≌△COF

∴OEOF

∴四边形BFDE是平行四边形................7分

∵EF⊥BD，

∴四边形BFDE是菱形............................8分

方法二：当EB=ED时（或其他邻边相等时），四边形BFDE是菱形，理由略.

19.（本题9分）

解：（1）a= 50 ，b= 20 ，m= 0.2 ,n= 0.08 ,............4分

(2)补全条形统计图如下图：............5分

（3）该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有 400人..............6分

（4）记4名学生中3名男生分别为A1，A2，A3 ,一名女生为B ,则树状图如下：

数学试卷第8页（共15页）

开始

A1 A2

A3

B

A2 A3 BA1 A3 B A1 A2 B A1 A2 A3

或列表为：

A1

A2

A3

B

A1

(A2，A1)

(A3，A1)

(B,A1)

A2

(A1，A2)

(A3，A2)

(B,A2)

A3

(A1，A3)

(A2，A3)

(B,A3)

B

(A1，B)

(A2，B)

(A3，B)

从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种............... 7分

抽到两名学生均为男生包含：A1A2

A1A3

A2A1

A2A3

A3A1

A3A2

共6种等可能结果，

∴P(抽到两名学生均为男生)=61=

122抽到一男一女包含：A1BA2BA3B BA1

BA2

BA3

共六种等可能结果

∴P(抽到一男一女)=61= .........................................8分

122故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．.................9分

20. （本题9分）

解：(1)∵y=3x+9可变形为由公式可得dx-y+9=0，则其中A=3，B=-1，C=9,

30393-1223

∴点M到直线y=3x+9的距离为3......................4分

（2）由（1）可知：圆心到直线的距离d=3,圆的半径r=4，

∵d＜r

∴直线与圆相交............................6分

则弦长n24327.............................9分

21.（本题9分）

解：（1）由题意列方程得，

(x+40-30) (300-10x)=3360 ..............................2分

数学试卷第9页（共15页）

22

解得：x1=2, x2=18

∵要尽可能减少库存，

∴x2=18不合题意，应舍去。

∴T恤的销售单价应提高2元. ....................................4分

（2）设利润为M元，由题意可得：

M=(x+40-30) (300-10x) ..........................6分

=-10x2+200x+3000

=-10(x-10)2+4000 .............................................................7分

∴当x=10时，M最大值

=4000元..........................8分

∴销售单价：40+10=50（元）

答：当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元..........................9分

22. (本题9分)

方法一：

解：（1）由题得：BE∥AD

∵BE∥AD且∠1=60°

∴∠2=∠1=60°...............................2分

∵∠2=∠C+∠CAD且∠CAD=30°

∴∠C=∠2-∠CAD=30°..........................4分

（2）过点B作BG⊥AD于G.

∵BG⊥AD ∴∠AGB=∠BGD=90°

在Rt△AGB中，AB=20米，∠BAG=45°

AG=BG=20×sin45°=102米...................5分

在Rt△BGD中，∠2=60°

BD=BG206=米

sin60°3DG=BG106=米.................................7分

tan60°3106)米

3∵∠C=∠CAD=30°

∴CD=AD=AG+DG=(102+∴BC=BD+CD=(102+106)米.............................................9分

答：两颗银杏树B、C之间的距离为 (102+106)米

方法二：

解：（1）由题得：AD∥BE，∠1=60°，∠BAC=45°+30°=75°

∵AD∥BE且∠BAD=45°

∴∠3=∠BAD=45°

∵∠1=60°

∴∠ABC=180°-60°-45°=75°..............................2分

数学试卷第10页（共15页）

∵∠BAC=75°

180

°-

75 ∴∠C=

-

75

°

°

=

30

° ...................................4分

（2）延长EB,CA交于点F,过点A作AH⊥BF于点H.

∵AH⊥BF

∴∠AHB=∠AHF=90°

在Rt△AHB中,AB=20米，∠3=45°

∴AH=BH=20×sin45°=102米..........5分

∵∠1=60°且∠C=30°

∴∠F=60°-30=30°

在Rt△AHF中,AH=102米，∠F=30°

FHAH106米.......................................7分

tan30∵∠C=∠F=30°

∴BC=BF=BH+FH=(102+106)米......................9分

答：两颗银杏树B、C之间的距离为 (102+106)米

23.（本题10分）

m过点A（1,2） ∴m=1×2=2

x2 即反比例函数：y2=....................1分

x解：（1）∵y2= 当x=-2时，a=-1,即B（-2，-1）

∵y1=kx+b过A（1,2）和B（-2，-1）

∴∴y1=3分

（2）当x=0时，代入y=x+1中得，y=1,即M（0，1）

∵S△AMN=

1•MN•xA3且xA1

2 ∴.4分

∴N(0,7)或(0，-5) .........................................................6分

（3）如图，设y2与y3的图像交于C,D两点

∵y1向下平移两个单位得y3且y1=x+1

∴7分

数学试卷第11页（共15页）

yx1x1x2 联立得

,解之得或2yy2y1x∴C(-1，-2),D(2，1)................................8分

∵y1＞y2＞y3

∴-2＜x＜-1或1＜x＜2.................................10分

24．（本题10分）

证明：如图所示：

（1）连结OC

∵AD＝CD ，∠A=300

∴∠ACD＝30°

∴∠CDB＝60°..........................1分

∵OD＝OC

∴∠OCD＝60°

∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD=90°

∵OC是半径

∴直线AC是⊙O的切线..............3分

（2）由题意可得△DCO是等边三角形，CD=AD=OD=1

作CH于点H，则DH=

∴CH∵AB=AD+BD=3

∴S△4分

．.........................6分

（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，如图所示，

此时CE⊥AB于点K

∵BD为圆的直径

∴CE=2CK=3

∵CF⊥CE ∴∠ECF=90°

∵∠CDB=∠CEB=60°

∴在Rt△ECF中

CFCEtan60333........................8分

数学试卷第12页（共15页）

tan60CFCF3CECE

当CE最大时，CF取得最大值当CE为直径，即CE2时，CF最大，最大值为23..............10分②∵点E在弧∴Rt△ECF中

25题.（本题12分）

上运动过程中,∠CDB=∠CEB=60°

数学试卷第13页（共15页）

(2)由（）得：1m2直线AF的解析式为y-2x2又直线y-2x2与y轴交于点D,与抛物线交于点E当x0时,代入直线得y2D(0,2)x1-5x21y-2x2联立得解之得2y112,y20,y(x1)-4,又点E在第二象限E(-5,12)..............................................................5分过点E作EPy轴于点PADOEDP,DOA=DPE90△EDP∽△ADOP(0,12)..............................................................6分过点E作EP'AE,交y轴于点P'同理可得：△P'DE∽△ADO易得ADOPEP'tanADOtanPEP'OAPP'ODEP1PP'25PP'2.5P'(0,14.5)...............................................................................................7分综上所述：在y轴上存在点P,当P(0,12)或P(0,14.5）时，以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似...........................................8分（温馨提示：方法不唯一，也可用相似三角形对应边成比例或射影定理求解）

数学试卷第14页（共15页）

(3)点E、F均为定点线段EF长为定值又线段MN2为定值当EMFN的和为最小值时，四边形MEFN的周长最小如图，画出直线y1,将点F向左平移2个单位得到F',作点E关于直线y1的对称点E',连结E'F'与直线y1交于点M，过点F作FN∥E'F',交直线y1于点N.由作图可知：EME'M,FNF'M又E'、M、F'三点共线EMFNE'MF'ME'F',此时EMFN的和最小...........................................................................9分点F为直线y-2x2与直线x-1的交点易得F(-1,4)F'(-3,4),又E(-5,12)E'(-5,-10).......................................10分如图，延长FF'交线段EE'于点W，FF'与直线y1平行易得FWEE'在Rt△EWF中，由勾股定理得：EFEW2FW2(12-4)2(-15)245在Rt△E'F'W中，由勾股定理得：E'F'E'W2F'W2(410)2(-35)2102四边形MEFN的周长最小值为：MEFNEFMNE'F'EFMN102452..................12分

（温馨提示：解法不唯一，也可将点E向右平移2个单位，作点F关于直线y1的对称点，求线段的长可以用两点间的距离公式） 连结EM.

数学试卷第15页（共15页）