2023年广东省湛江市中考数学试卷含答案解析

2024年3月3日发(作者：周文)

绝密★启用前

2023年广东省湛江市中考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作( )

A.

−5元

B.

0元

C.

+5元

D.

+10元

2.下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为( )

A.

B.

C.

D.

3.2023年5月28日，我国自主研发的𝐶919国产大飞机商业首航取得圆满成功.𝐶919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为( )

A.

0.186×105

B.

1.86×105

C.

18.6×104

D.

186×103

4.如图，街道𝐴𝐵与𝐶𝐷平行，拐角∠𝐴𝐵𝐶=137°，则拐角∠𝐵𝐶𝐷=( )

第1页，共19页

A.

43°

5.计算+的结果为( )

𝑎𝑎A.

1𝑎32B.

53°

C.

107°

D.

137°

B.

2

6𝑎C.

5𝑎D.

6𝑎6.我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了( )

A.

黄金分割数

B.

平均数

C.

众数

D.

中位数

7.某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为( )

A.

18B.

16C.

14D.

12𝑥−2>18.一元一次不等式组{的解集为( )

𝑥<4A.

−1<𝑥<4

B.

𝑥<4

C.

𝑥<3

D.

3<𝑥<4

9.如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∠𝐵𝐴𝐶=50°，则∠𝐷=( )

A.

20°

B.

40°

C.

50°

D.

80°

10.如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑐经过正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的三个顶点𝐴，𝐵，𝐶，点𝐵在𝑦轴上，则𝑎𝑐的值为( )

A.

−1

B.

−2

C.

−3

D.

−4

第II卷（非选择题）

第2页，共19页

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.因式分解：𝑥2−1=

．

12.计算：√ 3×√ 12=

______

．

13.某蓄电池的电压为48𝑉，使用此蓄电池时，电流𝐼(单位：𝐴)与电阻𝑅(单位：𝛺)的函数表达式为𝐼=𝑅=12𝛺时，𝐼的值为______ A.

14.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打______

折.

15.边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为______

．

48.当𝑅

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.(本小题10.0分)

(1)计算：3√8+|−5|+(−1)2023．

(2)已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象经过点(0,1)与点(2,5)，求该一次函数的表达式．

17.(本小题7.0分)

某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12𝑘𝑚，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10𝑚𝑖𝑛，求乙同学骑自行车的速度．

18.(本小题7.0分)

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂𝐴𝐶=𝐵𝐶=10𝑚，两臂夹角∠𝐴𝐶𝐵=100°时，求𝐴，𝐵两点间的距离.(结果精确到0.1𝑚，参考数据：𝑠𝑖𝑛50°≈0.766，𝑐𝑜𝑠50°≈0.643，𝑡𝑎𝑛50°≈1.192)

第3页，共19页

19.(本小题9.0分)

如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐵=30°．

(1)实践与操作：用尺规作图法过点𝐷作𝐴𝐵边上的高𝐷𝐸；(保留作图痕迹，不要求写作法)

(2)应用与计算：在(1)的条件下，𝐴𝐷=4，𝐴𝐵=6，求𝐵𝐸的长．

20.(本小题9.0分)

综合与实践

主题：制作无盖正方体形纸盒．

素材：一张正方形纸板．

步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；

步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．

猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠𝐴𝐵𝐶与纸盒上∠𝐴1𝐵1𝐶1的大小关系；

(2)证明(1)中你发现的结论．

21.(本小题9.0分)

小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周(5个工作日)选择𝐴线路，第二周(5个工作日)选择𝐵线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下：(单位：𝑚𝑖𝑛)

数据统计表

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实验序号

𝐴线路所用时间

𝐵线路所用时间

1

15

2

32

3

15

4

16

5

34

6

18

7

21

8

14

9

35

10

20

25

29

23

25

27

26

31

28

30

24

根据以上信息解答下列问题：

𝐴线路所用时间

𝐵线路所用时间

平均数

22

𝑏

中位数

𝑎

26.5

众数

15

𝑐

方差

63.2

6.36

(1)填空：𝑎=

______

；𝑏=

______

；𝑐=

______

；

(2)应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

22.(本小题12.0分)

综合探究

如图1，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中(𝐴𝐵>𝐴𝐷)，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝐴关于𝐵𝐷的对称点为𝐴′.连接𝐴𝐴′交𝐵𝐷于点𝐸，连接𝐶𝐴′．

(1)求证：𝐴𝐴′⊥𝐶𝐴′；

(2)以点𝑂为圆心，𝑂𝐸为半径作圆．

①如图2，⊙𝑂与𝐶𝐷相切，求证：𝐴𝐴′=√ 3𝐶𝐴′；

②如图3，⊙𝑂与𝐶𝐴′相切，𝐴𝐷=1，求⊙𝑂的面积．

第5页，共19页

23.(本小题12.0分)

综合运用

如图1，在平面直角坐标系中，正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴在𝑥轴的正半轴上.如图2，将正方形𝑂𝐴𝐵𝐶绕点𝑂逆时针旋转，旋转角为𝛼(0°<𝛼<45°)，𝐴𝐵交直线𝑦=𝑥于点𝐸，𝐵𝐶交𝑦轴于点𝐹．

(1)当旋转角∠𝐶𝑂𝐹为多少度时，𝑂𝐸=𝑂𝐹；(直接写出结果，不要求写解答过程)

(2)若点𝐴(4,3)，求𝐹𝐶的长；

(3)如图3，对角线𝐴𝐶交𝑦轴于点𝑀，交直线𝑦=𝑥于点𝑁，连接𝐹𝑁.将△𝑂𝐹𝑁与△𝑂𝐶𝐹的面积分别记为𝑆1与𝑆2.设𝑆=𝑆1−𝑆2，𝐴𝑁=𝑛，求𝑆关于𝑛的函数表达式．

第6页，共19页

答案和解析

1.【答案】𝐴

【解析】解：把收入5元记作+5元，

根据收入和支出是一对具有相反意义的量，

支出5元就记作−5元．

故答案为𝐴．

本题考查负数的概念问题，负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，进而作答．

本题考查负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的含义，进而作答．

2.【答案】𝐴

【解析】解：选项B，𝐶，𝐷中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，

故选：𝐴．

利用轴对称图形的定义进行分析即可．

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

3.【答案】𝐵

【解析】解：将186000用科学记数法表示为：1.86×105．

故选：𝐵．

𝑛为整数．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，𝑛是正数；当原数的绝对值<1时，𝑛是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，表示时关键要正确确定𝑎的值以及𝑛的值．

4.【答案】𝐷

【解析】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，

∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=137°，

第7页，共19页

故选：𝐷．

由平行线的性质即可求解．

本题考查平行线的性质，熟练掌握性质解解题关键．

5.【答案】𝐶

【解析】解：+

==．

故本题选：𝐶．

本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．

本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．

5𝑎3𝑎2𝑎3+2

𝑎6.【答案】𝐴

【解析】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数，

故选：𝐴．

根据黄金分割的定义，即可解答．

本题考查了黄金分割，算术平均数，中位线，众数，统计量的选择，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．

7.【答案】𝐶

【解析】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，

∴明恰好选中“烹饪”的概率为．

故选：𝐶．

直接利用概率公式可得答案．

本题考查了概率公式：随机事件𝐴的概率𝑃(𝐴)=事件𝐴可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

148.【答案】𝐷

𝑥−2>1【解析】解：{，

𝑥<4由不等式𝑥−2>1得：𝑥>3，

∴不等式的解集为3<𝑥<4．

故选：𝐷．

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求出第一个不等式的解集，再求出其公共解集即可．

本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟知解集的规律．

9.【答案】𝐵

【解析】解：∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，

∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=90°，

∵∠𝐵𝐴𝐶=50°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=40°，

⏜=𝐴𝐶⏜，

∵𝐴𝐶∴∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=40°，

故选：𝐵．

由𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，得∠𝐴𝐶𝐵=90°，而∠𝐵𝐴𝐶=50°，即得∠𝐴𝐵𝐶=40°，故∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐶=40°，

本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等．

10.【答案】𝐵

【解析】解：过𝐴作𝐴𝐻⊥𝑥轴于𝐻，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝑂是正方形，

∴∠𝐴𝑂𝐵=45°，

∴∠𝐴𝑂𝐻=45°，

∴𝐴𝐻=𝑂𝐻，

设𝐴(𝑚,𝑚)，则𝐵(0,2𝑚)，

2∴{𝑚=𝑎𝑚+𝑐，

2𝑚=𝑐解得𝑎𝑚=−1，𝑚=2，

∴𝑎𝑐的值为−2，

故选：𝐵．

𝑐的值，过𝐴作𝐴𝐻⊥𝑥轴于𝐻，根据正方形的性质得到∠𝐴𝑂𝐵=45°，得到𝐴𝐻=𝑂𝐻，利用待定系数法求得𝑎、即可求得结论．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．

𝑐11.【答案】(𝑥+1)(𝑥−1)

第9页，共19页

【解析】【分析】

此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

原式利用平方差公式分解即可．

【解答】

解：原式=(𝑥+1)(𝑥−1)．

故答案为：(𝑥+1)(𝑥−1)．

12.【答案】6

【解析】解：方法一：

√ 3×√ 12

=√ 3×2√ 3

=2×3

=6．

方法二：

√ 3×√ 12

=√ 3×12

=√ 36

=6．

故答案为：6．

本题考查二次根式的乘法计算，根据√ 𝑎×√ 𝑏=√ 𝑎𝑏和√ 𝑎2=𝑎(𝑎>0)进行计算，

本题考查二次根式的计算，考查的关键是准确运用√ 𝑎×√ 𝑏=√ 𝑎𝑏和√ 𝑎2=𝑎(𝑎>0)进计算．

13.【答案】4

【解析】解：当𝑅=12𝛺时，𝐼=故答案为：4．

直接将𝑅=12代入𝐼=中可得𝐼的值．

𝑅此题考查的是反比例函数的应用，掌握反比例函数的点的坐标是解决此题的关键．

484812=4(𝐴)．

14.【答案】8.8

【解析】解：设这种商品最多可以按𝑥折销售，

则售价为5×0.1𝑥，那么利润为5×0.1𝑥−4，

所以相应的关系式为5×0.1𝑥−4≥4×10%，

第10页，共19页

解得：𝑥≥8.8．

答：该商品最多可以8.8折，

故答案为：8.8．

利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：(打折后的销售价−进价)÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解．

此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．

15.【答案】15

【解析】解：如图，

∵𝐵𝐹//𝐷𝐸，

∴△𝐴𝐵𝐹∽△𝐴𝐷𝐸，

∴𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐹𝐷𝐸，

∵𝐴𝐵=4，𝐴𝐷=4+6+10=20，𝐷𝐸=10，

∴420=𝐵𝐹10，

∴𝐵𝐹=2，

∴𝐺𝐹=6−2=4，

∵𝐶𝐾//𝐷𝐸，

∴△𝐴𝐶𝐾∽△𝐴𝐷𝐸，

∴𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐶𝐾𝐷𝐸，

∵𝐴𝐶=4+6=10，𝐴𝐷=20，𝐷𝐸=10，

∴1020=𝐶𝐾10，

∴𝐶𝐾=5，

∴𝐻𝐾=6−5=1，

∴阴影梯形的面积=12(𝐻𝐾+𝐺𝐹)⋅𝐺𝐻

=12×(1+4)×6=15．

故答案为：15．

第11页，共19页

根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．

本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．

16.【答案】(1)解：原式=2+5−1=6．

(2)解：将(0,1)与(2,5)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏得：

𝑏=1{，

2𝑘+𝑏=5𝑘=2解得：{，

𝑏=1∴一次函数的表达式为：𝑦=2𝑥+1．

【解析】(1)利用立方根的性质、绝对值的性质以及负数指数幂的性质进行化简计算即可．

(2)将(0,1)与(2,5)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏解方程组即可．

本题考查了实数的运算，待定系数法求一次函数表达式，正确化简各数，将点的坐标代入后能正确解方程组是解题的关键．

17.【答案】解：设乙步行的速度为𝑥 𝑘𝑚/分，则甲骑自行车的速度为1.2𝑥 𝑘𝑚/分，

根据题意得121−𝑥6=12，

1.2𝑥解得𝑥=12．

经检验，𝑥=12是原分式方程的解，

答：乙骑自行车的速度为12𝑘𝑚/ℎ．

【解析】设乙步行的速度为𝑥 𝑘𝑚/分，则甲骑自行车的速度为1.2𝑥 𝑘𝑚/分，根据题意列方程即可得到结论．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

18.【答案】解：连接𝐴𝐵，取𝐴𝐵中点𝐷，连接𝐶𝐷，如图，

∵𝐴𝐶=𝐵𝐶，点𝐷为𝐴𝐵中点，

∴中线𝐶𝐷为等腰三角形的角平分线(三线合一)，𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐴𝐵，

2∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=2∠𝐴𝐶𝐵=50°，

在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，

sin∠𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐶，

𝐴𝐷11第12页，共19页

∴𝑠𝑖𝑛50°=10，

∴𝐴𝐷=10×𝑠𝑖𝑛50°≈7.66(𝑚)，

∴𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2×7.66=15.32≈15.3(𝑚)，

答：𝐴、𝐵的距离大约是15.3𝑚．

【解析】连接𝐴𝐵，取𝐴𝐵中点𝐷，连接𝐶𝐷，根据𝐴𝐶=𝐵𝐶，点𝐷为𝐴𝐵中点，可得∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=50°，2在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝑠𝑖𝑛50°=𝐴𝐷，解得𝐴𝐷101𝐴𝐷=10×𝑠𝑖𝑛50°≈7.66(𝑚)，故AB=2𝐴𝐷≈15.3(𝑚)．

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．

19.【答案】解：(1)如图𝐸即为所求作的点；

(2)∵cos∠𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸，

𝐴𝐷√ 3∴𝐴𝐸=𝐴𝐷⋅𝑐𝑜𝑠30°=4×2=2√ 3，

∴𝐵𝐸=𝐴𝐵−𝐴𝐸=6−2√ 3．

【解析】(1)由基本作图即可解决问题；

(2)由锐角的余弦求出𝐴𝐸的长，即可得到𝐵𝐸的长．

本题考查基本作图，平行四边形的性质，解直角三角形，关键是掌握基本作图，由锐角的余弦求出𝐴𝐸的长．

20.【答案】解：(1)∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴1𝐵1𝐶1；

(2)∵𝐴1𝐶1为正方形对角线，

∴∠𝐴1𝐵1𝐶1=45°，

设每个方格的边长为1，

则𝐴𝐵=√ 12+32=√ 10，

𝐴𝐶=𝐵𝐶=√ 12+22=√ 5，

∵𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=𝐴𝐵2，

∴由勾股定理的逆定理得△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，

∴∠𝐴𝐵𝐶=45°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴1𝐵1𝐶1．

【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质即可求解；

(2)根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．

本题考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，得到△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形是解题的关键．

第13页，共19页

21.【答案】19

26.8

25

【解析】解：(1)求中位数𝑎首先要先排序，

从小到大顺序为：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35.共有10个数，

中位数在第5和6个数为18和20，

所以中位数为求平均数𝑏=18+202=19，

=26.8，

25+29+23+25+27+26+31+28+30+2410众数𝑐=25，

故答案为：19，26.8，25．

(2)小红统计的选择𝐴线路平均数为22，选择𝐵线路平均数为26.8，用时差不太多．而方差63.2>6.36，相比较𝐵路线的波动性更小，所以选择𝐵路线更优．

本题考查数据的分析，数据的集中和波动问题，

(1)平均数，中位数，众数的计算．

(2)方差的实际应用．

本题考查数据的波动与集中程度，解题的关键是能够平均数，中位数，众数进行准确的计算，理解方差的意义，并进行作答．

22.【答案】(1)证明：∵点𝐴关于𝐵𝐷的对称点为𝐴′，

∴𝐴𝐸=𝐴′𝐸，𝐴𝐴′⊥𝐵𝐷，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，

∴𝑂𝐴=𝑂𝐶，

∴𝑂𝐸//𝐴′𝐶，

∴𝐴𝐴′⊥𝐶𝐴′；

(2)①证明：如图2，

设𝐶𝐷⊙𝑂与𝐶𝐷切于点𝐹，连接𝑂𝐹，并延长交𝐴𝐵于点𝐺，

∴𝑂𝐹⊥𝐶𝐷，𝑂𝐹=𝑂𝐸，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，

∴𝑂𝐵=𝑂𝐷=2𝐵𝐷，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐶=𝐵𝐷，𝑂𝐴=2𝐴𝐶，

∴𝑂𝐺⊥𝐴𝐵，∠𝐹𝐷𝑂=∠𝐵𝑂𝐺，𝑂𝐴=𝑂𝐵，

∴∠𝐺𝐴𝑂=∠𝐺𝐵𝑂，

∵∠𝐷𝑂𝐹=∠𝐵𝑂𝐺，

11第14页，共19页

∴△𝐷𝑂𝐹≌△𝐵𝑂𝐺(𝐴𝑆𝐴)，

∴𝑂𝐺=𝑂𝐹，

∴𝑂𝐺=𝑂𝐸，

由(1)知：𝐴𝐴′⊥𝐵𝐷，

∴∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐺𝐴𝑂，

∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐺𝐵𝑂=90°，

∴∠𝐸𝐴𝑂+∠𝐺𝐴𝑂+∠𝐺𝐵𝑂=90°，

∴3∠𝐸𝐴𝑂=90°，

∴∠𝐸𝐴𝑂=30°，

由(1)知：𝐴𝐴′⊥𝐶𝐴′，

∴tan∠𝐸𝐴𝑂=𝐴𝐴′，

∴𝑡𝑎𝑛30°=𝐴𝐴′，

∴𝐴𝐴′=√ 3𝐶𝐴′；

②解：如图3，

设⊙𝑂切𝐶𝐴′于点𝐻，连接𝑂𝐻，

∴𝑂𝐻⊥𝐶𝐴′，

由(1)知：𝐴𝐴′⊥𝐶𝐴′，𝐴𝐴′⊥𝐶𝐴′，𝑂𝐴=𝑂𝐶，

∴𝑂𝐻//𝐴𝐴′，𝑂𝐸//𝐶𝐴′，

∴△𝐶𝑂𝐻∽△𝐶𝐴𝐴′，△𝐴𝑂𝐸∽△𝐴𝐶𝐴′，

∴𝐴𝐴′=𝐴𝐶=2,𝐶𝐴′=𝐴𝐶=2，

∴𝐴𝐴′=2𝑂𝐻，𝐶𝐴′=2𝑂𝐸，

∴𝐴𝐴′=𝐶𝐴′，

∴∠𝐴′𝐴𝐶=∠𝐴′𝐶𝐴=45°，

∴∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝐶𝐴′=45°，

∴𝐴𝐸=𝑂𝐸，𝑂𝐷=𝑂𝐴=√ 2𝐴𝐸，

设𝐴𝐸=𝑂𝐸=𝑥，则𝑂𝐷=𝑂𝐴=√ 2𝑥，

∴𝐷𝐸=𝑂𝐷−𝑂𝐸=(√ 2−1)𝑥，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得，

𝑥2+[(√ 2−1)𝑥]2=1，

𝑂𝐻𝑂𝐶1𝑂𝐸𝑂𝐴1𝐶𝐴′𝐶𝐴′第15页，共19页

∴𝑥2=2+√ 2，

42+√ 2⋅𝜋．

4∴𝑆⊙𝑂=𝜋⋅𝑂𝐸2=

【解析】(1)根据轴对称的性质可得𝐴𝐸=𝐴′𝐸，𝐴𝐴′⊥𝐵𝐷，根据四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，得出𝑂𝐴=𝑂𝐶，从而𝑂𝐸//𝐴′𝐶，从而得出𝐴𝐴′⊥𝐶𝐴′；

(2)①设𝐶𝐷⊙𝑂与𝐶𝐷切于点𝐹，连接𝑂𝐹，并延长交𝐴𝐵于点𝐺，可证得𝑂𝐺=𝑂𝐹=𝑂𝐸，从而得出∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐺𝐴𝑂=∠𝐺𝐵𝑂，进而得出∠𝐸𝐴𝑂=30°，从而𝐴𝐴′=√ 3𝐶𝐴′；

𝐶𝐴′=2𝑂𝐸，连接𝑂𝐻，可推出𝐴𝐴′=2𝑂𝐻，从而𝐴𝐴′=𝐶𝐴′，进而得出∠𝐴′𝐴𝐶=∠𝐴′𝐶𝐴=②设⊙𝑂切𝐶𝐴′于点𝐻，45°，∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐴𝐶𝐴′=45°，从而得出𝐴𝐸=𝑂𝐸，设𝑂𝐴=𝑂𝐸=𝑥，则𝑂𝐷=𝑂𝐴=√ 2𝑥，𝑂𝐷=𝑂𝐴=√ 2𝐴𝐸，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得出𝑥2+[(√ 2−1)𝑥]2=1，从而求得𝑥2=2+√ 2，进而得出⊙𝑂的面积．

4本题考查了圆的切线性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．

23.【答案】解：(1)当𝑂𝐸=𝑂𝐹时，

在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐸和𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐹中，

𝑂𝐸=𝑂𝐹{，

𝑂𝐴=𝑂𝐶∴𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐸≌𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐹(𝐻𝐿)，

∴∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹(即∠𝐴𝑂𝐸=旋转角)，

∴2∠𝐴𝑂𝐸=45°，

∴∠𝐶𝑂𝐹=∠𝐴𝑂𝐸=22.5°，

∴当旋转角为22.5°时，𝑂𝐸=𝑂𝐹；

(2)过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，则有𝐴𝐺=3，𝑂𝐺=4，

第16页，共19页

∴𝑂𝐴=√ 𝑂𝐺2+𝐴𝐺2=5，

∵四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是正方形，

∴𝑂𝐶=𝑂𝐴=5，∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐶=90°，

又∵∠𝐶𝑂𝐹+∠𝐹𝑂𝐴=90°，∠𝐴𝑂𝐺+∠𝐹𝑂𝐴=90°，

∴∠𝐶𝑂𝐺=∠𝐺𝑂𝐴，

∴𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐺∽𝑅𝑡△𝐹𝑂𝐶，

∴𝑂𝐺=𝐴𝐺，

∴𝐹𝐶=𝑂𝐺=4=4，

∴𝐹𝐶的长为；

(3)过点𝑁作直线𝑃𝑄⊥𝐵𝐶于点𝑃，交𝑂𝐴于点𝑄，

154𝑂𝐶⋅𝐴𝐺5×315𝑂𝐶𝐹𝐶

∵四边形𝑂𝐴𝐵𝐶是正方形，

∴∠𝐵𝐶𝐴=∠𝑂𝐶𝐴=45°，𝐵𝐶//𝑂𝐴，

又∠𝐹𝑂𝑁=45°，

∴∠𝐹𝐶𝑁=∠𝐹𝑂𝑁=45°，

∴𝐹、𝐶、𝑂、𝑁四点共圆，

∴∠𝑂𝐹𝑁=∠𝑂𝐶𝐴=45°，

∴∠𝑂𝐹𝑁=∠𝐹𝑂𝑁=45°，

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∴△𝐹𝑂𝑁是等腰直角三角形，

∴𝐹𝑁=𝑁𝑂，∠𝐹𝑁𝑂=90°，

∴∠𝐹𝑁𝑃+∠𝑂𝑁𝑄=90°，

又∵∠𝑁𝑂𝑄+∠𝑂𝑁𝑄=90°，

∴∠𝑁𝑂𝑄=∠𝐹𝑁𝑃，

∴△𝑁𝑂𝑄≌△𝐹𝑁𝑃(𝐴𝐴𝑆)，

∴𝑁𝑃=𝑂𝑄，𝐹𝑃=𝑁𝑄，

∵四边形𝑂𝑄𝑃𝐶是矩形，

∴𝐶𝑃=𝑂𝑄，𝑂𝐶=𝑃𝑄，

∴𝑆1=𝑆△𝑂𝐹𝑁=𝑂𝑁2，

=2(𝑂𝑄2+𝑁𝑄2)=2(𝑃𝑁2+𝑁𝑄2)=2𝑃𝑁2+2𝑁𝑄2，

𝑆2=𝑆△𝐶𝑂𝐹=2𝐶𝐹⋅𝑂𝐶，

=2(𝑃𝐶−𝑃𝐹)⋅(𝑃𝑁+𝑁𝑄)，

=2(𝑃𝑁−𝑁𝑄)⋅(𝑃𝑁+𝑁𝑄)=2(𝑃𝑁2−𝑁𝑄2)，

=𝑃𝑁2−𝑁𝑄2，

∴𝑆=𝑆1−𝑆2=𝑁𝑄2，

又∵△𝐴𝑁𝑄为等腰直角三角形，

∴𝑁𝑄=√ 22122𝐴𝑁=√ 2√ 22𝑛，

1∴𝑆=𝑁𝑄2=(2𝑛)2=2𝑛2，

∴𝑆关于𝑛的函数表达式为𝑆=𝑛2．

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【解析】(1)如图2中，当𝑂𝐸=𝑂𝐹时，得到𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐸≌𝑅𝑡△𝐶𝑂𝐹，利用全等三角形的性质以及旋转的性质解决问题即可；

(2)在图2中，过点𝐴作𝐴𝐺⊥𝑥轴于点𝐺，利用三角形相似，可得结论；

(3)过点𝑁作直线𝑃𝑄⊥𝐵𝐶于点𝑃，交𝑂𝐴于点𝑄，利用四点共圆，得出三角形𝐹𝑂𝑁是等腰直角三角形是解决问题的关键，结合三角形全等的判定和性质和三角形的面积公式解决问题．

本题属于一次函数综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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