《物理小论文》

2024年2月28日发(作者：安敦礼)

1叠加原理在物理学中的应用摘要：叠加原理是物理学中的基本原理之一,对物理学的研究起着极其重要的作用。但在物理学中叠加原理并不是一条普遍的原理,只有当描写物质运动的微分方程是线性方程时,才可应用叠加原理进行分析计算。本文列举叠加原理在电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、电路分析,叠加原理的数学基础及相关问题的讨论计算等等。关键词：叠加原理；电场强度；磁感应强度；应用；线性方程相关物理学原理：所谓叠加原理是指：几种不同原因综合所产生的总效果，等于这些不同原因单独存在时产生效果的总和。自然界中有许多现象尤其是物理现象具有明显的叠加性，在解决与这些现象的有关实际问题时应用叠加原理会使问题易于解决，同时叠加原理为解决这些问题提供了简便方法。本文在总结分析叠加原理在电磁学、电路分析，对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理的认识理解，以便今后更好的加以应用。1.电场强度的分析计算电场中的电场力、电场强度、电势、介质极化强度、电位移矢量，磁场中的磁场力、磁感应强度、磁场强度等等物理量的分析计算都可应用叠加原理使问题简化[1]。若所求量为标量则直接相加减，若为矢量其叠加则服从平行四边形定则。通常利用对称性将矢量分解在两个相互垂直的方向上，化矢量叠加为标量叠加简化计算，当其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消时，就转化为一个方向的标量叠加。大家熟知，一个半径为R，带电量为q的均匀带电圆环，可以看成许许多多线元的叠加，而任一线元在轴线上一点产生的电场强度为一矢量，方向沿径向ˆ）（k，根据其电场的对称性分析知场强只有沿轴向分量，因而将矢量叠加退化成标量叠加，由电荷的场强公式叠加求积分得轴线上一点的场强为Eqz40(Rz)2232ˆk(1.1)若求轴线上一点电势则可直接将点电荷电势公式求积分而得U1402qzR2(1.2)我们在应用叠加原理解决电场、磁场问题时，要注重思维的发散性，方法的

小论文21灵活性，体现叠加的灵魂与思想。如用上述方法求得均匀带电的圆弧在其中心4点产生的电场强度为Eˆˆij40R40R(1.3)其中为电荷线密度，如图所示：yEOO(a)E图1.1(b)叠加原理应用的灵活性(c)xxEEExyEy则均匀带电半圆环y轴分量相互抵消，中心点的E零，由公式（1.1）令z=0同样得E0。ˆi；均匀带电圆环E为20R若把均匀带电圆盘看成是一个个细圆环的叠加，则由公式（1.1）积分得圆盘轴线上一点的场强为E(120zRz22)(1.4)若许许多多这样的圆盘叠加起来可以组成一个均匀带电球体，亦可求积分得其产生的场的分布。广而推之这样的叠加思想可以用下面的积分公式统一表示，1dlˆr(为电荷线密度)Ee2l40r1dSˆr(为电荷面密度)EeSr2401dVˆr(为电荷体密度)Ee2V40r2.磁感应强度的分析计算（1.5）无穷长导线载有电流I，在中间弯成一半径为R的半圆弧，其余部分则与圆的轴线平行，如图所示，圆弧中心OI2zROyx图1.2载流导线的磁感应强度

小论文3的磁感应强度B等于两半无穷长直线与半圆电流在圆心处产生的磁感应强度[3]的叠加。根据Biot-Savart定律和对称性，两段直线电流在O点产生的磁感应强度大小相等，方向相同，都沿图中z轴方向。每一段所产生的B1大小为B100Idl0IRRdl40(l2R2)4(l2R2)l2R232IR0Il04R2l2R2l04R（1.6）l半圆电流在O点产生的磁感应强度B2方向沿x轴负方向。其大小为B2R00Idl0I0IR4R4R24R2（1.7）于是得所求的磁感应强度为0Iˆ0Iˆ0Iˆ2ˆˆBiˆB2B1kik(ik)24R2R4R（1.8）B与x轴的夹角为arctan2（1.9）类似的问题有许多，我们不再重复，而叠加原理作为一种基本方法其在应用中的简洁性、技巧性同样值得我们深刻灵活的加以理解应用。3.叠加原理的应用技巧电偶极矩为pql的电偶极子，在空间任一点产生电场强度的计算，若在球坐标下由点电荷场强公式与叠加原理去计算，数学化解过程相当复杂，用到的数学知识也有一定的难度，但若将原来电偶极子在P点产生的电场强度E，看成是两个相互垂直的电偶极子（电偶极矩分别为p1和p2）在P产生的电场强度Er和E的叠加，则可极大的简化计算过程降低计算难度。如图所示，P点到电偶极子中心的距离为r,r与l的夹角为,其中p1pcosp2psinP1EQPEEl(1.10)-qP2+q这样就可以利用电偶极子延长线和中垂线图1.3电偶极子的场强上的场强公式进行计算。其中延长线上离电偶极子中心O为r处的电场强度大小为3

小论文4E2rP12P402l2240r3(r)41140P(r2l)4232(1.11)中垂线上离电偶极子中心O为r处的电场强度大小为EP40r31(1.12)电偶极矩为p1的电偶极子在P点产生的电场强度Er沿r方向上，大小为Er2p12pcos40r340r31(1.13)电偶极矩为p2的电偶极子在P点产生的电场强度E沿垂直r方向上，大小为EP点的合成电场强度E的大小为EEr2E2p40r3p2psin40r340r31(1.14)4cos2sin2p40r33cos21(1.15)Esin1E与r的夹角为arctgarctgarctg(tg)Er2cos2(1.16)4.线性电路中电流电压的计算求解线性电路时，一般应用电路分析的基本定律基尔霍夫定律求解，但对于一些有几个电源共同作用的线性电路，应用叠加原理求解更易理解且可简化计算。应用叠加原理时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。考虑任一独立源单独作用下,其它独立源应视为零值,即独立电压源用短路代替,独立电流源用开路代替,而全部受压源则应该保留。应用叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号]。用基尔霍夫定律和叠加性求解电路问题各有其优缺点，用基尔霍夫定律求解根据回路个数列方程便于求解回路个数较少的电路，而用叠加原理求解根据独立源个数列方程，对于独立源较少而回路个数较多的复杂电路用叠加原理求解更简便。若计算如图2.1所示电路中各支路电流。已知E1=10V，E2=6V，R1=10R2=90，R3=0.1，R4=0.2。通常由基尔霍夫方程联立求解：4，

小论文5I1I2I30I1(R1R4)I2R2E1IRIRE33222（2.1）得各支路电流或电压，这样解方程组数学运算较复杂，尤其是对于支路回路数较多的复杂电路就更复杂了，一旦数学计算上出错，则全盘皆输。I3R2+R1I1E1R4I2R3R1Iˊ1E1R4Iˊ2Iˊ3R2R3I1"R1I3"I2"R2+R3E2-（a）R4（b）（c）E2-图2.1原电路及电源单独作用时的电路而由叠加原理，E1和E2单独作用时的电路，如图2.1（b）、（c）所示。根据图（b）可由电路欧姆定律求得E1单独作用时各支路的电流，即I1RR3R4R12R2R3E110900.10.210900.10.97A（2.2）根据图（c）可由欧姆定律得I30.647A由分流公式求得E2单独作用时各支路的电流，即I1R290I30.6470.581AR1R4R210.290（2.3）由叠加原理得：I1I1I10.970.5810.389A同理可求得：I2I2I20.067AI3I3I30.322A（2.4）（2.5）由上述分析可联想到对于有较少电源作用的复杂线性电路只需求某一支路的电流时，应用叠加原理及基本电路定律就可便洁地解决问题。5.叠加原理的数学基础（1）电磁场方程由麦克斯韦方程组知：5

小论文60E（其中0为自由电荷体密度）0（6.1）又因为EU则电势满足泊松方程UB0（6.2）00（6.3）若在没有自由电荷的地方，电势满足拉普拉斯方程U0（6.4）可见（6.1）、（6.2）式为一阶线性偏微分方程，（6.3）、（6.4）式为二阶线性偏微分方程，即静电场、静磁场的数学模型是线性的。（2）线性电路方程如图2.1的直流线性电路，由电路分析的基本定律基尔霍夫定律列出的方程是线性代数方程，若为交流动态涉及储能元件C、L的电路，由基尔霍夫定律列出的方程是一阶线性常微分方程，如最简单的RC串联电路的放电过程，如图6.1，a+U0-SbuC+-RiC列出的方程：RCducuc0dt（6.5）为一阶线性常微分方程。图6.1RC串联电路与相关专业的联系：以支路电流为求解对象，直接应用KCL和KVL分别对结点和回路列出所需的方程组，然后，解出各支路电流。电路中的叠加原理，在一个线性电路中，如果有多个电源同时作用时，任一支路的电流或电压，等于这个电路中各个电源分别单独作用时，在该支路中产生的电流或电压的代数和，一般适合求解电源较少的电路。戴维宁定理是先求出有源二端网络的开路电压和等效内阻，然后，将复杂的电路化成一个简单的回路，一般适合于求解某一支路的电流或电压。支路电流法、叠加原理、戴维宁定理是分析复杂电路最常用的三种方法。参考文献：[1]邱方,李艳芳.叠加原理在物理学中的应用例析[J].南昌高专学报,2000,(4):52-54.[2]郑民伟.均匀带电半圆环的电场和电势[J].广州航海高等专科学校基础部,2001,16(1)：66-69.6

小论文7[3]何红雨.载流圆弧导线圆心处磁感应强度的计算[J].广西右江民族师范专科学校1999,20(1):22-23.[4]唐小愚.叠加原理在含受控源的线性电路中的应用[J].贵州工业学,2000,18(1):88-89.[5]孙维兴.关于叠加原理的思考[J].电工教学,1994,16(03):67-68.[6]梁昆淼,刘法,缪国庆.数学物理方法[M].北京:高等教育出版社,180—221.[7]关洪.关于量子力学中态叠加原理的讨论[J].中山大学物理系2007,26(1):7-9.[8]周世勋.量子力学教程[M].北京:高等教育出版社,1979.[9]马秀艳,韩国松.叠加原理的数学基础及其在物理上的应用[J].安阳师范学院学报，2006(5):24-26.[10]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2007,294-341.7