物理小论文

2024年2月28日发(作者：董学源)

天空的立法者

首先作为在校高中生，我们以最真挚的感情向天空的立法者——约翰斯·开普勒致以崇高的敬意，并借助这篇物理科技论文探讨开普勒极其他的伟大成就。（特别指明让所有高中生又爱又恨的“开普勒三大定律”）。

自叛逆者哥白尼的出现打破谬论以来，长达数百年都无人敢于站出来支持“日心说”——这一较于托勒密更为简单而准确的模型。后来，两位天文学家——约翰斯·开普勒和伽利略·伽利雷开始公开支持哥白尼理论，尽管它所预言的轨道还不能完全与观测相符合，直到1609年亚里士多德和托勒密的理论才宣告死亡。

那一年，伽利略恰恰用刚发明的望远镜观测夜空。当他观测木星时，发现有几个小卫星或月亮围绕着它转动，这表明不像前人所设想的那样，并非所有东西都必须直接地围绕着地球转动，这正是与“地心说”相悖的。（当然，仍然可能相信地球是静止地处于宇宙的中心，而木星的卫星沿着一种极其复杂的轨道围绕地球转动。然而，哥白尼的理论却简单多了。）

同时，开普勒修正了哥白尼理论，开普勒认真地研究了第谷多年对行星进行仔细观察所做的大量记录，认为通过对第谷的记录做仔细的数学分析可以确定哪个行星运动学说是正确的：哥白尼日心说，古老的托勒密地心说，或许是第谷本人提出的第三种学说。但是经过多年煞费苦心的数学计算，开普勒发现第谷的观察与这种三学说都不符合，他的希望破灭了。最终开普勒认识到了所存在的问题：他与第谷、拉格茨·哥白尼以及所有的经典天文学家一样，都假定行星轨道是由圆或复合圆组成的。但是实际上行星轨道不是圆形而是椭圆形。提出行星不是沿着圆周而是沿着椭圆运动，从而最终使预言和观察互相一致了。于是，开普勒第一定律诞生。

开普勒第一定律：

每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

开普勒要解决的问题包括两方面：第一，用什么方法测定行星（包括地球）运动的“真实”轨道，如同观测者能从“天外”看行星绕太阳运行一样；第二，分析行星运动遵循什么样的数学定律。如今已很少有人想到，开普勒如何从行星的使人眼花缭乱的视行中推出它们的“真实”轨道？只要想到人们永远不可能看到行星的真实运动，而只能从运动着的地球上看到它们在天空的什么方向，就知道问题困难了。倘使行星所作的是简单的匀速圆周运动，从地球上看去，还比较容易地察觉这种运动该是怎样的；可是实际情形比这要复杂得多，而且地球本身同样是以某种未知方式绕太阳运动。这就使问题变得无比复杂和困难了。开普勒用一个绝妙方法把这种杂乱无章的现象理出一个完整清楚的头绪来。他同哥白尼一样，敏锐地领悟到，“要研究天，最好先懂得地”，他也把着眼点放在地球上，力图先摸清地球本身的运动，然后再研究行星的运动。但是这样做的时候，并没有排除行星存在的必要性。假如天空中只有太阳和恒星而没有别的行星存在，那要找出地球的“真实”轨道，还是办不到的。因为在那种情形下，除了太阳的周年视行外，其他就没有什么东西可以从经验上来确定。它虽然也能帮助我们确定地球绕太阳运行的方式，譬如地球向径 （日地连线）在一个相对恒星是静止的

平面（黄道面）上运动，这种运动的角速度在一年中呈现有规律的变化„„。但是，光知道这些并没有多大用处，关键是必须确定地球同太阳之间的距离在一年中是怎样变化的？只有当人们弄清这种变化后，才能确定地球轨道的真实形状及它的运行方式。其实，开普勒所用的方法就是普通的三角测量法，最终得到了“开普勒第一定律”。

就开普勒而言，椭圆轨道仅仅是想当然的，并且是相当讨厌的假设。缘由很简单，椭圆显然不如正圆那么完美。虽然他几乎偶然的发现椭圆轨道能很好地和观测相符合，这既是对老师第谷20年的观测数据的尊重与完美诠释，也是他基于科学道德发表第一定律的动力，但却不能把它和他的“磁力引起行星围绕太阳运动”的思想相互调和。只有到更晚的1687年，这一切才得到解释。这点后面再谈。

同时，他也在1609年发表的伟大著作《新天文学》中提出了开普勒第二定律。

开普勒第二定律：

在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

在高中学习中，老师简单的提及到这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒，并通过微积分的思想证明。

我们在网上找到一个看似相对简单的证明：

行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段 时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

因为所学的知识并不是很深，对于开普勒第二定律的引用范围在高中阶段也具有一定局限性，我们无法准确判断这个证明是否周密，现阶段也无法利用微积分的思想得出自己的结论，所以这个证明只供参考。

让我们来看一下开普勒证明他的第二定律的过程。行星轨道从经验中算出来了，下一步要弄清楚的问题是行星运动究竟遵循什么数学定律？乍看，第一个问题解决后，搞清楚第二个问题该是轻而易举的事。然而你马上就会看到，要从经验的数据里推出运动定律要比解决第一个问题艰巨得多。开普勒首先需要了解行星轨道所描出的曲线的几何特征是什么？为此，他必须先作某种假设，然后把它用到一大堆数字上去试试，看它是否能同第谷的数据吻合。如果不是，再找另外的假设进行探索，直到合乎观测事实为止。开普勒的目光首先盯住火星。这是因为第谷的数据中对火星的观测占有最大篇幅。恰好，就是这个行星的运行与哥白尼理论出入最大。开普勒按照传统的偏心圆来探求火星的轨道。他作了大量尝试，每次都要进行艰巨的计算。在大约进行了70次的试探之后，开普勒才算找到一个与事实相当符合的方案。使他感到惊愕的是，当超出他所用数据的范围继续试探时，他又发现与第谷的其他数据不符。火星还是不听他的摆布。开普勒诙谐地写道：“我预备征服战神马尔斯（Mars 火星的英语翻译），把它俘虏到我的星表中来，我已为它准备了枷锁。但是我忽然感到胜利毫无把握„„，这个星空中

狡黠的家伙，出乎意料地扯断我给它戴上的用方程连成的枷锁，从星表的囚笼中冲出来，逃往自由的宇宙空间去了。”开普勒计算出来的火星位置和第谷数据之间相差8分，即1.133度 （这个角度相当于表上的秒针在0.02秒瞬间转过的角度）会不会是第谷弄错了呢？或是寒冷的冬夜把第谷的手指冻僵了，以致观测失误了呢？不会！开普勒完全信赖第谷观测的辛勤与精密，即使是这样微小的数值，第谷也是不会弄错的。他说：“上天给我们一位像第谷这样精通的观测者，应该感谢神灵的这个恩赐。一经认识这是我们使用的假说上的错误，便应竭尽全力去发现天体运动的真正规律，这8分是不允许忽略的，它使我走上改革整个天文学的道路。”可见，这两位天文学大师的工作在当时已达到何等惊人的精确性！当开普勒意识到始终无法找出一个符合第谷观测数据的圆形轨道后，他就大胆摒弃这种古老的、曾寄希望的匀速圆周运动的偏见，尝试用别的几何曲线来表示所观测到的火星的运动。开普勒认为行星运动的焦点应在施引力的中心天体——太阳的中心。从这点出发，他断定火星运动的线速度是变化的，而这种变化应当与太阳的距离有关：当火星在轨道上接近太阳时，速度最快；远离太阳时，速度最慢。他并且认为火星在轨道上速度最快与最慢的两点，其向径围绕太阳在一天内所扫过的面积是相等的。然后，他又将这两点外面积的相等性椎广到轨道上所有的点上。这样便得出面积与时间成正比的定律。随后，开普勒看出火星的轨道有点像卵形（幸运的是，他首先选中火星，而火星轨道的偏心率在行星中比起来是相当大的），在连接极大与极小速度两点方向的直径似乎伸得长些。这样，终于使他认识到火星是在椭圆的轨道上运动。[ 转自铁血社区

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最终他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的联线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。

最值得高中生了解并应用率最高的应该是开普勒第三定律了。这个定律以一个看似简单的公式一并出现在教课书上及各类习题中，成为高中生又爱又恨开普勒极其他的三打定律的最主导原因。

开普勒第三定律：

各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

由这一定律不难导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。

世纪初期，人们还不知道六大行星与太阳之间的实际距离，即使是天文学家们，也只知道它们的“相对距离”，即与“日、地”距离（也就是天文学上所说的“天文单位”，现在我们知道一个天文单位差不多为149,600,000千米）的比值。开普勒先把行星与太阳的距离列了个表，搞了很久没有结果，于是他就又加上了六大行星绕太阳运行的公转周期，就有了下面的列表。（距离单位为“天文单位”，公转周期单位为年）

水星 与太阳距离0.3871 公转周期0.2408

金星 与太阳距离0.7233 公转周期0.6152

地球 与太阳距离1.0000 公转周期1.0000

火星 与太阳距离1.5237 公转周期1.8808

木星 与太阳距离5.2028 公转周期11.862

土星 与太阳距离9.5388 公转周期29.457

开普勒把这张表格抄了很多份，贴在他能看到的任何一块地方。他用各种可能的运算方法进行计算，加、减、乘、除、平方、立方，加完了乘，减完了除…………，就这样经过了好几年，他一直在做这样子的数学运算，甚至有人已经开始怀疑他的神经是否正常了。就这样过了九年，灵光突现，开普勒终于走出了迷宫。又要引那句被人们引用了无数次的诗了，“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”。结果真是简单，第一排相对距离的立方值刚好就是第二排公转周期的平方值，看看下面的表。

水星

与太阳距离0.3871（立方值0.05801）

公转周期0.2408（平方值0.05801）

金星

与太阳距离0.7233（立方值0.37845）

公转周期0.6152（平方值0.37846）

地球

与太阳距离1.0000（立方值1.0000）

公转周期1.0000（平方值1.0000）

火星

与太阳距离1.5237（立方值3.5375）

公转周期1.8808（平方值3.5375）

木星

与太阳距离5.2028（立方值140.83）

公转周期11.862（平方值140.70）

土星

与太阳距离9.5388（立方值867.92）

公转周期29.457（平方值867.70）

这就是开普勒行星运动第三定律，即任何行星的公转周期的平方同轨道半长径的立方成正比。这个定律也为后来牛顿发现万有引力奠定了基础。这条定律发表在前两条的十年后。开普勒对此运动性质的研究，我们可以看到万有引力定律已见雏形。开普勒在万有引力的证明中已经证到：如果行星的轨迹是圆形，则符合万有引力定律。而如果轨道是椭圆形，开普勒并未证明出来。照应前文，牛顿后来用很复杂的微积分和几何方法证出。牛顿曾说过：“如果说我比别人看得远些的话，是因为我站在巨人的肩膀上。”开普勒无疑是他所指的巨人之一。

在此，对于开普勒极其他的开普勒三大定律，我们的浅析到此为止。而作为高中生，我们更关注的是他在发现这三大定律背后的可贵精神。开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念，从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。

其次，开普勒定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的

一个先入之见，即天与地的本质差别，获得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。

第三，开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的（即开普勒所说的“和谐”）系统。这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。而在哥白尼体系中，太阳虽然居于宇宙“中心”，却并不扮演这个角色，因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的。

由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现，在科学史上是不少的。但像行星运动定律的发现那样，从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算，道路如此艰难，成果如此辉煌的科学合作，则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！

开普勒在完成三大定律时曾说道：“这正是我十六年前就强烈希望探求的东西。我就是为了这个目的同第谷合作的„„现在大势已定！书已经写成，是现在被人读还是后代有人读，于我却无所谓了。也许这本书要等上一百年，要知道，大自然也等了观察者六千年呢！”后世的科学家把他称为“天空的立法者”以此感谢他杰出的贡献，他的出现无疑使千万代的人更准确地认识我们自以为熟识的世界。

最后，再次向开普勒致敬。

高2013级22班

邱玥，韩福悦，陈烜左