等比数列练习 含答案

2024年2月26日发(作者：石云生)

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课时作业9 等比数列

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．已知a、b、c成等比数列，且a＝2，c＝6，则b为( )

A．23

C．±23

【答案】 C

【解析】 由b2＝ac＝2×6＝12，得b＝±23.

2．公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为( )

A．－4

1C.4

【答案】 D

【解析】 设等差数列{an}的公差为d，由题意知d≠0，

2且a23＝a2a7，即(a1＋2d)＝(a1＋d)(a1＋6d)，

B．－23

D．18

1B．－4

D．4

2化简，得a1＝－3d.

21∴a2＝a1＋d＝－3d＋d＝3d，

14a3＝a2＋d＝3d＋d＝3d，

a3∴a＝4，故选D.

21 / 81 / 81 / 8

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3．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.

【答案】 2

【解析】 设{an}的公比为q，则a4＝a2q2，a3＝a2q.

a4－a3＝a2q2－a2q＝4，又a2＝2，

得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.

又{an}为递增数列，则q＝2.

4．在等比数列{an}中，

(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；

(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q.

【分析】 (1)(2)问直接利用等比数列通项公式的变形来求解．

【解析】 (1)a7＝a4·q7－4＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.

a42842(2)由已知得a＝q，即q＝18＝9，

2222a218∴q＝3或q＝－3.当q＝3时，a1＝q＝2＝27.

32a218当q＝－3时，a1＝q＝2＝－27.

－3a1＝27，综上2q＝3

a1＝－27，或2q＝－3.

4【规律方法】 该题易出错的地方在于由q2＝9求q时误认为q>02 / 82 / 82 / 8

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2而漏掉q＝－3的情况，导致错解．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

9121．若等比数列的首项为8，末项为3，公比为3，则这个数列的项数为( )

A．3 B．4

C．5

【答案】 B

912192n－1【解析】 由a1＝8，an＝3，q＝3，即3＝8·(3)，

∴n＝4.

12．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝4，则公比q＝( )

1A．－2

C．2

【答案】 D

143a53113【解析】 由已知得a＝q，故2＝q，即q＝8，解得q＝2.故选2D.

13．等比数列{an}中，a1＝8，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )

A．±4

1C．±4

B．4

1D.4

3 / 83 / 83 / 8

D．6

B．－2

1D.2

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【答案】 A

1n－1n－4【解析】 由an＝8·2＝2知，a4＝1，a8＝24，

其等比中项为±4.

4．已知等比数列{an}中，a2 008＝a2 010＝－1，则a2 009＝( )

A．－1

C．1或－1

【答案】 C

2【解析】 ∵a2 008，a2 009，a2 010成等比数列，∴a2 009＝a2 008·a2 010B．1

D．以上都不对

＝1，∴a2 009＝1或－1.

55．已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝4，则等比数列{an}的公比q＝( )

1A.4

C．2

【答案】 B

51【解析】 a4＋a6＝a1q3＋a3q3＝(a1＋a3)，q3＝10·q3＝4，∴q＝2.故选B.

6．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后3min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________min，该病毒占据64MB(1MB＝210KB)．( )

A．45

C．51

【答案】 A

4 / 84 / 84 / 8

1B.2

D．8

B．48

D．42

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【解析】 设病毒占据64MB时自身复制了n次，由题意可得2×2n＝64×210＝216，解得n＝15.从而复制的时间为15×3＝45(min)．

7．(2013·江西理)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )

A．－24

C．12

【答案】 A

【解析】 本题考查等比数列的定义．

由等比中项公式(3x＋3)2＝x(6x＋6)

即x2＋4x＋3＝0.

∴x＝－1(舍去)或x＝－3.

∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.

18．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，2a3,2a2成等差数a9＋a10列，则等于( )

a7＋a8A．1＋2

C．3＋22

【答案】 C

【解析】 设等比数列{an}的公比为q，

1∵a1，2a3,2a2成等差数列，

∴a3＝a1＋2a2.

∴a1q2＝a1＋2a1q.

B．1－2

D．3－22

B．0

D．24

5 / 85 / 85 / 8

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∴q2－2q－1＝0.

∴q＝1±2.

∵各项都是正数，∴q>0.∴q＝1＋2.

a9＋a10∴＝q2＝(1＋2)2＝3＋22.

a7＋a8二、填空题(每小题10分，共20分)

9．(2013·广东文)设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.

【答案】 15

【解析】 a1＝1，q＝－2，则|a2|＝2，a3＝4，|a4|＝8，

∴a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝15.

10．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，a1＋a3＋a9则的值为__________．

a2＋a4＋a1013【答案】

16

2【解析】 a3＝a1a9，(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，

3a1＋10d13∴a1＝d，＝＝16.

a2＋a4＋a103a1＋13d三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}S2的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝b.求数列{an}26 / 86 / 86 / 8

a1＋a3＋a9

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与{bn}的通项公式．

【分析】 设出等差数列的公差，根据已知条件列出关于公差d与公比q的方程组求解出公差d与公比q，然后代入通项公式即可求得通项公式．

【解析】 设{an}的公差为d.

b2＋S2＝12，因为S2q＝b2，

q＋6＋d＝12，所以6＋dq＝q，

解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3，

故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1.

1 12.已知等比数列{an}的通项公式为an＝3(2)n－1，若数列{bn}的通项为bn＝a3n＋a3n－1＋a3n－2(n∈N＋)，求证数列{bn}为等比数列．

bn＋1【分析】 要证明数列{bn}为等比数列，只需证b＝常数即可．

nbn＋1a3n＋3＋a3n＋2＋a3n＋1【解析】

b＝

na3n＋a3n－1＋a3n－213n＋213n＋113n32＋32＋32＝1

11323n－1＋323n－2＋323n－313n12132[2＋2＋1]＝1

11323n－3[22＋2＋1]131＝(2)＝8(常数)．

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所以数列{bn}是等比数列．

【规律方法】 等比数列是特殊的函数，用指数函数的方法来研究等比数列，一定要抓住指数函数的性质和运算方法，这是解题的关键．

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