等比数列知识点总结及练习(含答案)

2024年2月26日发(作者：束星北)

等比数列

1、等比数列的定义：2、通项公式：

anqq0n2,且nN*，q称为公比

an1ana1qn1a1nqABna1q0,AB0，首项：a1；公比：q

qnm推广：anamq3、等比中项：

qnmanaqnmn

amam2Aab或Aab （1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列an是等比数列an2an1an1

4、等比数列的前n项和Sn公式：

（1）当q1时，Snna1

（2）当q1时，Sna11qn1qa1anq

1qa1a1qnAABnA'BnA'（A,B,A',B'为常数）

1q1q5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n，都有an1qan或等比数列

（2）等比中项：an2an1an1(an1an10){an}为等比数列

（3）通项公式：anAB6、等比数列的证明方法：

依据定义：若nan1q(q为常数，an0){an}为anAB0{an}为等比数列

anqq0n2,且nN*或an1qan{an}为等比数列

an17、等比数列的性质：

（2）对任何m,nN，在等比数列{an}中，有anamq**nm。

（3）若mnst(m,n,s,tN)，则anamasat。特别的，当mn2k时，得

anamak2 注：a1ana2an1a3an2

（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{an}为等比数列，每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列

（6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列

（7）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列

（8）若{an}为等比数列，则数列a1a2an，an1an2a2n，a2n1a2n2a3n成等比数列

ak}，{kan}，{ank}，{kanbn}，{n}（kbnana10，则{an}为递增数列（9）①当q1时，a10，则{an}为递减数列

{a10，则{an}为递减数列{②当0

③当q1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当q0时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{an}中，当项数为2n(nN*)时，二 例题解析

【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（ ）

A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列

B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列

【例2】

已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

S奇1

S偶q【例3】 等比数列{an}中，(1)已知a2=4，a5＝－1，求通项公

2式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

【例4】 求数列的通项公式：

(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

三、 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列an满足anan1n2，a1134，则a4_________．

32、在数列an中，若a11，an12an1n1，则该数列的通项an______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

2、若a、b、c成等比数列，则函数yaxbxc的图象与x轴交点的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．不确定

23、已知数列an为等比数列，a32，a2a4考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

20，求an的通项公式．

3291的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）

383A．3 B．4 C．5 D．6

1、若公比为2、已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项an_________________．

3、若an为等比数列，且2a4a6a5，则公比q________．

4、设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1a2的值为（ ）

2a3a411 C． D．1

2815、等比数列{an}中，公比q=且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.

2 A．B．考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

1

4

1、在等比数列an中，如果a66，a99，那么a3为（ ）

316 C． D．2

292、如果1，a，b，c，9成等比数列，那么（ ）

A．b3，ac9 B．b3，ac9

C．b3，ac9 D．b3，ac9

A．4 B．3、在等比数列an中，a11，a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于（ ）

A．81 B．27527 C．3 D．243

4、在等比数列an中，a9a10aa0，a19a20b，则a99a100等于（ ）

b9b10bbA．8 B． C．9 D．

aaaa5、在等比数列an中，则a2a4a6的值为（ ）

a3和a5是二次方程xkx50的两个根，2910A．25 B．55 C．55 D．55

6、若an是等比数列，且an0，若a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于

考点五：公式anS1,(n1)的应用

SnSn1,(n2)1的等比数列

21、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是( )

A.公比为2的等比数列 B.公比为C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

n2、等比数列前n项和Sn=2-1，则前n项的平方和为( )

A.(2-1)n2

B.1n2 n1n(2-1)C.4-1 D.(4-1)

33n3、设等比数列{an}的前n项和为Sn=3+r，那么r的值为______________.

*4、设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N都有Sn=2an-3n.

(1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an);

(2)求{an}的通项公式;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.

等比数列

一、选择题：

1．{an}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为

2①{an}也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列

③{（ ）

1}也是等比数列

an④{lnan}也是等比数列

A．4 B．3 C．2 D．1

2．等比数列{a n

}中，已知a9

=－2，则此数列前17项之积为 （ ）

1616 1717 A．2 B．－2 C．2 D．－2

3．等比数列｛an｝中，a3=7，前3项之和S3=21， 则公比q的值为 （ ）

A．1 B．－1

2C．1或－1 D．－1或

D．2

1

2（ ） 4．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于

A．4 B．3

2C．16

95．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）

22A．x－6x＋25=0 B．x＋12x＋25=0

22C．x＋6x－25=0 D．x－12x＋25=0

6．某工厂去年总产a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是（ ）

4 565A．1.1 a B．1.1 a C．1.1 a D． (1＋1.1 )a

7．等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于 （ ）

b9A．8

ab9

B．()ab10C．9

a D．(b10)

a8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ）

A．32 B．313 C．12 D．15

9．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 （ ）

A．n

11B．11n C．12n1 D．11n1

10．已知等比数列an中，公比q2，且a1a2a3等于 （ ）

a30230，那么a3a6a9a30

A．2 B．2 C．2 D．2

11．等比数列的前n项和Sn=k·3＋1，则k的值为

A．全体实数 B．－1 C．1

二、填空题：

12．在等比数列{an}中，已知a1=n10201615

D．3

（ ）

3，a4=12，则q=_____ ____，an=____ ____．

2

13．在等比数列{an}中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，则该数列的公比q=___ ___．

14．在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10＝ ．

15．数列｛an｝中，a13且an1an(n是正整数)，则数列的通项公式an ．

三、解答题：

16．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*) (1)求证数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．

17．在等比数列｛an｝中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．

18．在等比数列｛an｝中，a1＋an=66，a2·an－1=128，且前n项和Sn=126，求n及公比q．

2

参考答案

一、选择题： BDCAD BACDB BC

15n1二、填空题：13.2， 3·2n－2． 14.2．．16.32．

三、解答题：

17.(1)证明： 由an＋1=2an＋1得an＋1＋1=2(an＋1)

又an＋1≠0 ∴an11a=2

n1即{an＋1}为等比数列．

(2)解析： 由(1)知an－1n＋1=(a1＋1)q

即an－1n－11=2nn=(a1＋1)q－1=2·2－－1

18.解析： 由an1＋a2＋…＋an＝2－1 ①

n∈N*知a1＝1

且an－11＋a2＋…＋an－1＝2－

由①－②得an－1n＝2，n≥2

又a＝2n－11＝1，∴an，n∈N*

a2n1(2n)2a2(2n1)2＝

n即｛a2n｝为公比为4的等比数列

2∴a2＋a22a12＋…＋an＝1(14n)1n143(41)

19.解析一： ∵S2n≠2Sn，∴q≠1



a1(1qn)①

根据已知条件1q48a(1q2n)60

1

1q②

②÷①得：1＋qn＝54即qn＝14

③代入①得a11q＝64

∴Sa3n＝11q (1－q3n)＝64(1－143)＝63

解析二： ∵｛an｝为等比数列

∴(S－S22nn)＝Sn(S3n－S2n)

③④

(S2nS2n)2(6048)2∴S3n＝＋60＝63

S2nSn4820.解析：当x=1时，Sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n

23n－1当x≠1时，∵Sn=1＋3x＋5x＋7x＋…＋(2n－1)x， ①

等式两边同乘以x得：

234nxSn=x＋3x＋5x＋7x＋…＋(2n－1)x． ②

①－②得：

2n－2nn(1－x)Sn=1＋2x(1＋x＋x＋…＋x)－(2n－1)x=1－(2n－1)x＋22x(xn11)，

x1(2n1)xn1(2n1)xn(1x)∴Sn=．

(x1)221.解析：∵a1an=a2an－1=128，又a1＋an=66，

2∴a1、an是方程x－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，

∴a1=2，an=64或a1=64，an=2，显然q≠1．

若a1=2，an=64，由∴q=2，由an=a1qn－1a1anq=126得2－64q=126－126q，

1q得2n－1=32， ∴n=6．

1，n=6．

21综上所述，n的值为6，公比q=2或．

2若a1=64，an=2，同理可求得q=22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{an}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11

1052则a11=50×1．01=50×(1．01)≈55.125(万)，

又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}：b1=16×50=800，d=30，n=11

2∴b11=800＋10×30=1100(万米)

2因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m)