高中数学优秀教案模板(16篇)

2024年1月22日发(作者：杜惟馨)

高中数学优秀教案模板（16篇）

高中数学优秀教案 篇1

教学目标：

1、结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性；

2、学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；

3、并对简洁随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其互相关系。

教学重点：

通过实例理解分层抽样的方法。

教学难点：

分层抽样的步骤。

教学过程：

一、问题情境

1、复习简洁随机抽样、系统抽样的概念、特征以及适用范围。

2、实例：某校高一、高二和高三班级分别有同学名，为了了解全校同学的视力状况，从中抽取容量为的样本，怎样抽取较为合理？

二、同学活动

能否用简洁随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？

指出由于不同班级的同学视力状况有肯定的差异，用简洁随机抽样或系统抽样进行抽样不能精确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要留意总体中个体的层次性。

由于样本的容量与总体的个体数的比为100∶2500＝1∶25，

第 1 页

所以在各班级抽取的个体数依次是。即40，32，28。

三、建构数学

1、分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的状况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”。

说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；

②由于分层抽样充分利用了我们所把握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以依据详细状况实行不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着特别广泛的应用。

2、三种抽样方法对比表：

类别

共同点

各自特点

互相联系

适用范围

简洁随机抽样

抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的

从总体中逐个抽取

总体中的个体数较少

第 2 页

系统抽样

将总体均分成几个部分，按事先确定的规章在各部分抽取

在第一部分抽样时采纳简洁随机抽样

总体中的个体数较多

分层抽样

将总体分成几层，分层进行抽取

各层抽样时采纳简洁随机抽样或系统

总体由差异明显的几部分组成

3、分层抽样的步骤：

〔1〕分层：将总体按某种特征分成若干部分。

〔2〕确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比。

〔3〕确定各层应抽取的样本容量。

〔4〕在每一层进行抽样〔各层分别按简洁随机抽样或系统抽样的方法抽取〕，综合每层抽样，组成样本。

四、数学运用

1、例题。

例1〔1〕分层抽样中，在每一层进行抽样可用_________________。

〔2〕①教育局督学组到学校检查工作，临时在每个班各抽调2人参与座谈；

②某班期中考试有15人在85分以上，40人在60-84分，1人不及格。现欲从中抽出8人研讨进一步改良教和学；

第 3 页

③某班元旦聚会，要产生两名“幸运者”。

对这三件事，合适的抽样方法为

A、分层抽样，分层抽样，简洁随机抽样

B、系统抽样，系统抽样,简洁随机抽样

C、分层抽样，简洁随机抽样，简洁随机抽样

D、系统抽样，分层抽样，简洁随机抽样

例2某电视台在因特网上就观众对某一节目的宠爱程度进行调查，参与调查的总人数为12000人，其中持各种看法的人数如表中所示：

很宠爱

宠爱

一般

不宠爱

电视台为进一步了解观众的详细想法和看法，准备从中抽取60人进行更为具体的调查，应怎样进行抽样？

解：抽取人数与总的比是60∶12000＝1∶200，

则各层抽取的人数依次是12.175，22.835，19.63，5.36，

取近似值得各层人数分别是12，23，20，5。

然后在各层用简洁随机抽样方法抽取。

答用分层抽样的方法抽取，抽取“很宠爱”、“宠爱”、“一般”、“不宠爱”的人

数分别为12，23，20，5。

第 4 页

说明：各层的抽取数之和应等于样本容量，对于不能取整数的状况，取其近似值。

〔3〕某学校有160名教职工，其中老师120名，行政人员16名，后勤人员24名。为了了解教职工对学校在校务公开方面的某看法，拟抽取一个容量为20的样本。

分析：〔1〕总体容量较小，用抽签法或随机数表法都很便利。

〔2〕总体容量较大，用抽签法或随机数表法都比较麻烦，由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样。

〔3〕由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，所以应采纳分层抽样方法。

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1、分层抽样的概念与特征；

2、三种抽样方法互相之间的区分与联系。

高中数学优秀教案 篇2

教学目标：

(1)了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题.

(2)进一步理解曲线的方程和方程的曲线.

(3)初步把握求曲线方程的方法.

(4)通过本节内容的教学，培育同学分析问题和转化的力量.

教学重点、难点：求曲线的方程.

教学用具：计算机.

第 5 页

教学方法：启发引导法，商量法.

教学过程：

【引入】

1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线.

同学思索并回答.老师强调.

2.坐标法和解析几何的意义、基本问题.

对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点;用方程表示曲线，通过讨论方程的性质间接地来讨论曲线的性质，这一讨论几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：

(1)依据已知条件，求出表示平面曲线的方程.

(2)通过方程，讨论平面曲线的性质.

事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先讨论如何求出曲线方程，再讨论如何用方程讨论曲线.本节课就初步讨论曲线方程的求法.

【问题】

如何依据已知条件，求出曲线的方程.

【实例分析】

例1：设、两点的坐标是、(3，7)，求线段的垂直平分线的方程.

首先由同学分析：依据直线方程的学问，运用点斜式即可解决.

解法一：易求线段的中点坐标为(1，3)，

第 6 页

由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

①

分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决.可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线的方程?依据是什么，有证明吗?

(通过老师引导，是同学意识到这是以前没有解决的问题，应当证明，证明的根据就是定义中的两条).

证明：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

设是线段的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得

这说明点的坐标是方程的解.

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

设点的坐标是方程①的任意一解，则

到、的距离分别为

所以，即点在直线上.

综合(1)、(2)，①是所求直线的方程.

至此，证明完毕.回顾上述内容我们会发觉一个好玩的现象：在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最终得到式子，假如去掉脚标，这不就是所求方

第 7 页

程吗?可见，这个证明过程就说明一种求解过程，下面试试看：

解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合

由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

将上式两边平方，整理得

果真胜利，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满意.明显，求解过程就说明第一条是正确的(从这一点看，解法二也比解法一优越一些);至于其次条上边已证.

这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又特别自然，还表达了曲线方程定义中点集与对应的思想.因此是个好方法.

让我们用这个方法试解如下问题：

例2：点与两条相互垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程.

分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系，明显用已知中两条相互垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系.然后仿按例1中的解法进行求解.

求解过程略.

【概括总结】通过同学商量，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系;其次设曲线上任意一点;然后写出表示曲线

第 8 页

的点集;再代入坐标;最终整理出方程，并证明或修正.说得更精确一点就是：

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标;

(2)写出适合条件的点的集合

;

(3)用坐标表示条件，列出方程;

(4)化方程为最简形式;

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

一般状况下，求解过程已说明曲线上的点的坐标都是方程的解;假如求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以，通常状况下证明可省略，不过特别状况要说明.

上述五个步骤可简记为：建系设点;写出集合;列方程;化简;修正.

下面再看一个问题：

例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.

【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和样子，在运动改变的过程中查找关系.

解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是(如图2)，那么点属于集合

第 9 页

由距离公式，点适合的条件可表示为

①

将①式移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标(0，0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示.

【练习稳固】

题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、 、，且有，求点轨迹方程.

分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简洁，如图3所示.设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为.

依据条件，代入坐标可得

化简得

由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最终曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结：

(1)解析几何讨论讨论问题的方法是什么?

(2)如何求曲线的方程?

(3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应留意什么?

第 10 页

【作业】课本第72页练习1，2，3;

高中数学优秀教案 篇3

一、教学目标

1.学问与技能

(1)把握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

(2)采纳对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2.过程与方法

同学通过观看和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3.情感看法与价值观

(1)提高空间想象力与直观感受。

(2)体会对比在学习中的作用。

(3)感受几何作图在生产活动中的应用。

二、教学重点、难点

重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。

三、学法与教学用具

1.学法：同学通过作图感受图形直观感，并自然采纳斜二测画法画空间几何体的过程。

2.教学用具：三角板、圆规

四、教学思路

(一)创设情景，揭示课题

第 11 页

1.我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱

把实物圆柱放在讲台上让同学画。

2.同学画完后展现自己的结果并与同学沟通，比较谁画的效果更好，思索怎样才能画好物体的直观图呢?这是我们这节主要学习的内容。

(二)研探新知

1.例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由同学阅读理解，并思索斜二测画法的关键步骤，同学发表自己的见解，老师准时赐予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，由于多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

练习反馈

依据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让同学完成后，老师检查。

2.例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

老师引导同学与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。

老师组织同学思索、商量和沟通，如何构造出需要的一些点，

第 12 页

与同学共同完成例2并具体板书画法。

3.探求空间几何体的直观图的画法

(1)例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。

老师引导同学完成，要留意对每一步骤提出严格要求，让同学按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。

(2)投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体?并用斜二测画法画出它的直观图。老师组织同学思索，商量和沟通完成，老师巡察帮不懂的同学解疑，引导同学正确把握图形尺寸大小之间的关系。

4.平行投影与中心投影

投影出示课本P17图1.2-12，让同学观看比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。

5.稳固练习，课本P16练习1(1)，2，3，4

三、归纳整理

同学回顾斜二测画法的关键与步骤

四、作业

1.书画作业，课本P17练习第5题

2.课外思索课本P16，探究(1)(2)

高中数学优秀教案 篇4

一、教学目标

1.学问与技能

第 13 页

(1)把握画三视图的基本技能

(2)丰富同学的空间想象力

2.过程与方法

主要通过同学自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3.情感看法与价值观

(1)提高同学空间想象力

(2)体会三视图的作用

二、教学重点、难点

重点：画出简洁组合体的三视图

难点：识别三视图所表示的空间几何体

三、学法与教学用具

1.学法：观看、动手实践、商量、类比

2.教学用具：实物模型、三角板

四、教学思路

(一)创设情景，揭开课题

“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。

在学校，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、侧视图、俯视图)，你能画出空间几何体的三视图吗?

(二)实践动手作图

1.讲台上放球、长方体实物，要求同学画出它们的三视图，老

第 14 页

师巡察，同学画完后可沟通结果并商量;

2.老师引导同学用类比方法画出简洁组合体的三视图

(1)画出球放在长方体上的三视图

(2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图

同学画完后，可把自己的作品展现并与同学沟通，总结自己的作图心得。

作三视图之前应当细心观看，熟悉了它的基本结构特征后，再动手作图。

3.三视图与几何体之间的互相转化。

(1)投影出示图片(课本P10，图1.2-3)

请同学们思索图中的三视图表示的几何体是什么?

(2)你能画出圆台的三视图吗?

(3)三视图对于熟悉空间几何体有何作用?你有何体会?

老师巡察指导，解答同学在学习中遇到的困难，然后让同学发表对上述问题的看法。

4.请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学沟通。

(三)稳固练习

课本P12练习1、2P18习题1.2A组1

(四)归纳整理

请同学回顾发表如何作好空间几何体的三视图

(五)课外练习

第 15 页

1.自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。

2.自己制作一个上、下底面都是相像的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的三视图。

高中数学优秀教案 篇5

教学目标：

1、理解流程图的选择结构这种基本规律结构。

2、能识别和理解简洁的框图的功能。

3、能运用三种基本规律结构设计流程图以解决简洁的问题。

教学方法：

1、通过仿照、操作、探究，经受设计流程图表达求解问题的过程，加深对流程图的感知。

2、在详细问题的解决过程中，把握基本的流程图的画法和流程图的三种基本规律结构。

教学过程：

一、问题情境

情境：

某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为

其中〔单位：〕为行李的重量。

试给出计算费用〔单位：元〕的一个算法，并画出流程图。

二、同学活动

同学商量，老师引导同学进行表达。

第 16 页

解 算法为：

输入行李的重量；

假如，那么，

否则；

输出行李的重量和运费。

上述算法可以用流程图表示为：

老师边讲解边画出第10页图1-2-6。

在上述计费过程中，其次步进行了推断。

三、建构数学

1、选择结构的概念：

先依据条件作出推断，再确定执行哪一种操作的结构称为选择结构。

如图：虚线框内是一个选择结构，它包含一个推断框，当条件成立〔或称条件为“真”〕时执行，否则执行。

2、说明：

〔1〕有些问题需要按给定的条件进行分析、比较和推断，并按推断的不怜悯况进行不同的操作，这类问题的实现就要用到选择结构的设计；

〔2〕选择结构也称为分支结构或选取结构，它要先依据指定的条件进行推断，再由推断的结果确定执行两条分支路径中的某一条；

〔3〕在上图的选择结构中，只能执行和之一，不行能既执行，又执行，但或两个框中可以有一个是空的，即不执行任何操作；

第 17 页

〔4〕流程图图框的样子要规范，推断框必需画成菱形，它有一个进入点和两个退出点。

3、思索：教材第7页图所示的算法中，哪一步进行了推断？

高中数学优秀教案 篇6

一、教学目标

【学问与技能】

在把握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，把握方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的条件。

【过程与方法】

通过对方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的的条件的探究，同学探究发觉及分析解决问题的实际力量得到提高。

【情感看法与价值观】

渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高同学的整体素养，激励同学创新，勇于探究。

二、教学重难点

【重点】

把握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。

【难点】

二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。

三、教学过程

〔一〕复习旧知，引出课题

第 18 页

1、复习圆的标准方程，圆心、半径。

2、提问1：已知圆心为〔1，—2〕、半径为2的圆的方程是什么？

高中数学优秀教案 篇7

一、教学目标

学问与技能：

理解任意角的概念〔包括正角、负角、零角〕与区间角的概念。

过程与方法：

会建立直角坐标系商量任意角，能推断象限角，会书写终边相同角的集合；把握区间角的集合的书写。

情感看法与价值观：

1、提高同学的推理力量；

2、培育同学应用意识。

二、教学重点、难点：

教学重点：

任意角概念的理解；区间角的集合的书写。

教学难点：

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写。

三、教学过程

〔一〕导入新课

1、回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做

第 19 页

角。

②角的其次种定义是角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

〔二〕教学新课

1、角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

②角的名称：

留意：

⑴在不引起混淆的状况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；

⑵零角的终边与始边重合，假如α是零角α =0°；

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角。

⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度？

2、象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边〔端点除外〕在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例1、如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？

高中数学优秀教案 篇8

[学习目标]

第 20 页

〔1〕会用坐标法及距离公式证明Cα+β；

〔2〕会用替代法、诱导公式、同角三角函数关系式，由Cα+β推导Cα—β、Sα±β、Tα±β，切实理解上述公式间的关系与互相转化；

〔3〕把握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用简洁的三角变换，解决求值、化简三角式、证明三角恒等式等问题。

[学习重点]

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

[学习难点]

余弦和角公式的推导

[学问结构]

1、两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础。其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数〔证明过程见课本〕

2、通过下面各组数的值的比较：①cos〔30°—90°〕与cos30°—cos90°②sin〔30°+60°〕和sin30°+sin60°。我们应当得出如下结论：一般状况下，cos〔α±β〕≠cosα±cosβ，sin〔α±β〕≠sinα±sinβ。但不排解一些特例，如sin〔0+α〕=sin0+sinα=sinα。

3、当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形。留意两角和与差的三角函数是诱导公式等的基础，而诱导公式是

第 21 页

两角和与差的三角函数的特例。

4、关于公式的正用、逆用及变用

高中数学优秀教案 篇9

一、教学目标

【学问与技能】

把握三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。

【过程与方法】

经受三角函数的单调性的探究过程，提升规律推理力量。

【情感看法价值观】

在猜测计算的过程中，提高学习数学的爱好。

二、教学重难点

【教学重点】

三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围。

【教学难点】

探究三角函数的单调性以及三角函数值的取值范围过程。

三、教学过程

〔一〕引入新课

提出问题：如何讨论三角函数的单调性

〔四〕小结作业

提问：今日学习了什么？

引导同学回顾：基本不等式以及推导证明过程。

课后作业：

第 22 页

思索如何用三角函数单调性比较三角函数值的大小。

高中数学优秀教案 篇10

1.课题

填写课题名称〔高中代数类课题〕

2.教学目标

(1)学问与技能：

通过本节课的学习，把握......学问，提高同学解决实际问题的力量；

(2)过程与方法：

通过......〔商量、发觉、探究〕，提高......〔分析、归纳、比较和概括〕的力量；

(3)情感看法与价值观：

通过本节课的学习，增添同学的学习爱好，将数学应用到实际生活中，增加同学数学学习的乐趣。

3.教学重难点

(1)教学重点：本节课的学问重点

(2)教学难点：易错点、难以理解的学问点

4.教学方法〔一般从中选择3个就可以了〕

(1)商量法

(2)情景教学法

(3)问答法

(4)发觉法

第 23 页

(5)讲授法

5.教学过程

(1)导入

简洁表达导入课题的方式和方法〔例：复习、类比、情境导出本节课的课题〕

(2)新授课程〔一般分为三个小步骤〕

①简洁讲解本节课基础学问点〔例：奇函数的定义〕。

②归纳总结该课题中的重点学问内容，尤其对该留意的一些状况设置易错点，进行强调。可以设计分组商量环节〔分组推断几组函数图像是否为奇函数，并归纳奇函数图像的特点。设置定义域不关于原点对称的函数是否为奇函数的易错点〕。

③拓展延长，将所学学问拓展延长到实际题目中，去解决实际生活中的问题。

〔在新授课里面肯定要表下出讲课的`大体流程，但是不必太过具体。〕

(3)课堂小结

老师提问，同学回答本节课的收获。

(4)作业提高

布置作业〔尽量与实际生活相联系，有所创新〕。

6.教学板书

2.高中数学教案格式

一．课题〔说明本课名称〕

第 24 页

二．教学目的〔或称教学要求，或称教学目标，说明本课所要完成的教学任务〕

三．课型〔说明属新授课，还是复习课〕

四．课时〔说明属第几课时〕

五．教学重点〔说明本课所必需解决的关键性问题〕

六．教学难点〔说明本课的学习时易产生困难和障碍的学问传授与力量培育点〕

七．教学方法要依据同学实际，注意引导自学，注意启发思维

八．教学过程〔或称课堂结构，说明教学进行的内容、方法步骤〕

九．作业处理〔说明如何布置书面或口头作业〕

十．板书设计〔说明上课时预备写在黑板上的内容〕

十一．教具〔或称教具预备，说明帮助教学手段使用的工具〕

十二．教学反思：〔教者对该堂课教后的感受及同学的收获、改良方法〕

3.高中数学教案范文

【教学目标】

1.学问与技能

(1)理解等差数列的定义，会应用定义推断一个数列是否是等差数列：

(2)账务等差数列的通项公式及其推导过程：

(3)会应用等差数列通项公式解决简洁问题。

第 25 页

2.过程与方法

在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培育同学的观看、分析、归纳力量和严密的规律思维的力量，体验从特别到一般，一般到特别的认知规律，提高熟识猜测和归纳的力量，渗透函数与方程的思想。

3.情感、看法与价值观

通过老师指导下同学的自主学习、互相沟通和探究活动，培育同学主动探究、用于发觉的求知精神，激发同学的学习爱好，让同学感受到胜利的喜悦。在解决问题的过程中，使同学养成细心观看、仔细分析、擅长总结的良好习惯。

【教学重点】

①等差数列的概念;

②等差数列的通项公式

【教学难点】

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;

②等差数列的通项公式的推导过程.

【学情分析】

我所教学的同学是我校高一(7)班的同学(平行班同学)，经过一年的高中数学学习，大部分同学学问阅历已较为丰富，他们的智力进展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维力量和演绎推理力量，但也有一部分同学的基础较弱，学习数学的爱好还不是很浓，所以我在授课时注意从详细的生活实例动身，注意引导、启发、讨论和

第 26 页

探讨以符合这类同学的心理进展特点，从而促进思维力量的进一步进展。

【设计思路】

1、教法

①启发引导法：这种方法有利于同学对学问进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动同学的主动性和主动性，发挥其制造性.

②分组商量法：有利于同学进行沟通，准时发觉问题，解决问题，调动同学的主动性.

③讲练结合法：可以准时稳固所学内容，抓住重点，突破难点.

2、学法

引导同学首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种力量的同学引导熟悉多元的推导思维方法.

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

1、从0开头，将5的倍数按从小到大的挨次排列，得到的数列是什么?

2、水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的方法清理水库中的杂鱼.假如一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开头放水算起，到

第 27 页

可以进行清理工作的那天，水库每天的水位(单位：m)组成一个什么数列?

3、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.根据单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么根据单利，5年内各年末的本利和(单位：元)组成一个什么数列?

老师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数.

同学：

①0，5，10，15，20，25，….

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

(设置意图：从实例引入,实质是给出了等差数列的现实背景,目的是让同学感受到等差数列是现实生活中大量存在的数学模型.通过分析,由特别到一般，激发同学学习探究学问的自主性，培育同学的归纳力量.

二、观看归纳，形成定义

①0，5，10，15，20，25，….

②18，15.5，13，10.5，8，5.5.

③10072，10144，10216，10288，10360.

思索1上述数列有什么共同特点?

思索2依据上数列的共同特点，你能给出等差数列的一般定义

第 28 页

吗?

思索3你能将上述的文字语言转换成数学符号语言吗?

老师：引导同学思索这三列数具有的共同特征，然后让同学抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念.

同学：分组商量，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合肯定规律;这些数都是根据肯定挨次排列的…只要合理老师就要赐予确定.

老师引导归纳出：等差数列的定义;另外，老师引导同学从数学符号角度理解等差数列的定义.

(设计意图：通过对肯定数量感性材料的观看、分析，提炼出感性材料的本质属性;使同学体会到等差数列的规律和共同特点;一开头抓住：“从其次项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的精确表达.)

三、举一反三，稳固定义

1、判定以下数列是否为等差数列?若是，指出公差d.

(1)1,1,1,1,1;

(2)1,0,1,0,1;

(3)2,1,0,-1,-2;

(4)4,7,10,13,16.

老师出示题目,同学思索回答.老师订正并强调求公差应留意的问题.

留意：公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差，防止把

第 29 页

被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.

(设计意图：强化同学对等差数列“等差”特征的理解和应用).

2、思索4:设数列{an}的通项公式为an=3n+1，该数列是等差数列吗?为什么?

(设计意图：强化等差数列的证明定义法)

四、利用定义，导出通项

1、已知等差数列：8，5，2，…，求第200项?

2、已知一个等差数列{an｝的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢?

老师出示问题，放手让同学探究，然后选择列式具有代表性的上去板演或投影展现.依据同学在课堂上的详细状况进行详细评价、引导，总结推导方法，体会归纳思想以及累加求通项的方法;让同学初步尝试处理数列问题的常用方法.

(设计意图：引导同学观看、归纳、猜测，培育同学合理的推理力量.同学在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决方法，老师要逐一点评，并准时确定、赞扬同学擅长动脑、勇于创新的品质，激发同学的制造意识.鼓舞同学自主解答，培育同学运算力量)

五、应用通项，解决问题

1、推断100是不是等差数列2，9，16，…的项?假如是，是第几项?

2、在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an.

3、求等差数列3,7,11，…的第4项和第10项

第 30 页

老师：给出问题，让同学自己操练，老师巡察同学答题状况.

同学：老师叫同学代表总结此类题型的解题思路，老师补充：已知等差数列的首项和公差就可以求出其通项公式

(设计意图：主要是熟识公式,使同学从中体会公式与方程之间的联系.初步熟悉“基本量法”求解等差数列问题.)

六、反馈练习：教材13页练习1

七、归纳总结：

1、一个定义：

等差数列的定义及定义表达式

2、一个公式：

等差数列的通项公式

3、二个应用：

定义和通项公式的应用

老师：让同学思索整理，找几个代表发言，最终老师给出补充

(设计意图：引导同学去联想本节课所涉及到的各个方面，沟通它们之间的联系，使同学能在新的高度上去重新熟悉和把握基本概念，并敏捷运用基本概念.)

【设计反思】

本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥同学学习的主动性，增添同学学习数列的爱好.在探究的过程中，同学通过分析、观看，归纳出等差数列定义，然后由定义导出通项公式，强化了由详细到抽象，由特别到一般的思维过程，有助于提高同学分析问题和解决

第 31 页

问题的力量.本节课教学采纳启发方法，以老师提出问题、同学探讨解决问题为途径，以互相补充绽开教学，总结科学合理的学问体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率.

高中数学优秀教案 篇11

一、教学目标：

把握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯穿，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。

二、教学重点：

向量的性质及相关学问的综合应用。

三、教学过程：

〔一〕主要学问：

1、把握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯穿，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题。

〔二〕例题分析：略

四、小结：

1、进一步娴熟有关向量的运算和证明；能运用解三角形的学问解决有关应用问题，

2、渗透数学建模的思想，切实培育分析和解决问题的力量。

五、作业：

略

高中数学优秀教案 篇12

教学目标：

第 32 页

1、理解并把握曲线在某一点处的切线的概念；

2、理解并把握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；

3、理解切线概念实际背景，培育同学解决实际问题的力量和培育同学转化

问题的力量及数形结合思想。

教学重点：

理解并把握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法。

教学难点：

用“无限靠近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率。

教学过程：

一、问题情境

1、问题情境。

如何精确地刻画曲线上某一点处的改变趋势呢？

假如将点P四周的曲线放大，那么就会发觉，曲线在点P四周看上去有点像是直线。

假如将点P四周的曲线再放大，那么就会发觉，曲线在点P四周看上去几乎成了直线。事实上，假如连续放大，那么曲线在点P四周将靠近一条确定的直线，该直线是经过点P的全部直线中最靠近曲线的一条直线。

第 33 页

因此，在点P四周我们可以用这条直线来代替曲线，也就是说，点P四周，曲线可以看出直线〔即在很小的范围内以直代曲〕。

2、探究活动。

如下图，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线，

〔1〕试推断哪一条直线在点P四周更加靠近曲线；

〔2〕在点P四周能作出一条比l1，l2更加靠近曲线的直线l3吗？

〔3〕在点P四周能作出一条比l1，l2，l3更加靠近曲线的直线吗？

二、建构数学

切线定义： 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线。 随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P四周靠近曲线C，当点Q无限靠近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最靠近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线。这种方法叫割线靠近切线。

思索：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？

三、数学运用

例1 试求在点〔2，4〕处的切线斜率。

解法一 分析：设P〔2，4〕，Q〔xQ，f〔xQ〕〕，

则割线PQ的斜率为：

当Q沿曲线靠近点P时，割线PQ靠近点P处的切线，从而割

第 34 页

线斜率靠近切线斜率；

当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4。

从而曲线f〔x〕＝x2在点〔2，4〕处的切线斜率为4。

解法二 设P〔2，4〕，Q〔xQ，xQ2〕，则割线PQ的斜率为：

当？x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f〔x〕＝x2，在点〔2，4〕处的切线斜率为4。

练习 试求在x＝1处的切线斜率。

解：设P〔1，2〕，Q〔1＋Δx，〔1＋Δx〕2＋1〕，则割线PQ的斜率为：

当？x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2，从而曲线f〔x〕＝x2＋1在x＝1处的切线斜率为2。

小结 求曲线上一点处的切线斜率的一般步骤：

〔1〕找到定点P的坐标，设出动点Q的坐标；

〔2〕求出割线PQ的斜率；

〔3〕当时，割线靠近切线，那么割线斜率靠近切线斜率。

思索 如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？

解 设

所以，当无限趋近于0时，无限趋近于点处的切线的斜率。

变式训练

1。已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；

第 35 页

2。已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程；

3。已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程。

课堂练习

已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程。

四、回顾小结

1、曲线上一点P处的切线是过点P的全部直线中最接近P点四周曲线的直线，则P点处的改变趋势可以由该点处的切线反映〔局部以直代曲〕。

2、依据定义，利用割线靠近切线的方法， 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。

五、课外作业

高中数学优秀教案 篇13

一、课程性质与任务

数学是讨论空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。

数学课程是中等职业学校同学必修的一门公共基础课。本课程的任务是：使同学把握必要的数学基础学问，具备必需的相关技能与力量，为学习专业学问、把握职业技能、连续学习和终身进展奠定基础。

二、课程教学目标

1.在九年义务教育基础上，使同学进一步学习并把握职业岗位和生活中所必要的数学基础学问。

第 36 页

2.培育同学的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培育同学的观看力量、空间想象力量、分析与解决问题力量和数学思维力量。

3.引导同学逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学看法，提高同学就业力量与创业力量。

三、教学内容结构

本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三个部分构成。

1.基础模块是各专业同学必修的基础性内容和应到达的基本要求，教学时数为128学时。

2.职业模块是适应同学学习相关专业需要的限定选修内容，各学校依据实际状况进行选择和支配教学，教学时数为32~64学时。

3.拓展模块是满意同学独特进展和连续学习需要的任意选修内容，教学时数不做统一规定。

四、教学内容与要求

〔一〕本大纲教学要求用语的表述1.认知要求〔分为三个层次〕

了解：初步知道学问的含义及其简洁应用。

理解：懂得学问的概念和规律〔定义、定理、法则等〕以及与其它相关学问的联系。把握：能够应用学问的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。2.技能与力量培育要求〔分为三项技能与四项力量〕

第 37 页

计算技能：依据法则、公式，或根据肯定的操作步骤，正确地进行运算求解。计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。数据处理技能：按要求对数据〔数据表格〕进行处理并提取有关信息。观看力量：依据数据趋势，数量关系或图形、图示，描述其规律。

空间想象力量：根据文字、语言描述，或较简洁的几何体及其组合，想象相应的空间图形；能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系，或依据条件画出图形。

分析与解决问题力量：能对工作和生活中的简洁数学相关问题，作出分析并运用适当的数学方法予以解决。

数学思维力量：根据所学的数学学问，运用类比、归纳、综合等方法，对数学及其应用问题能进行有条理的思索、推断、推理和求解；针对不同的问题〔或需求〕，会选择合适的模型〔模式〕。

〔二〕教学内容与要求1.基础模块〔128学时〕

第1单元集合〔10学时〕

第2单元不等式〔8学时〕

第6单元数列〔10学时〕

第7单元平面对量〔矢量〕〔10学时〕

第8单元直线和圆的方程〔18学时〕

第10单元概率与统计初步〔16学时〕

2.职业模块

第2单元坐标变换与参数方程〔12学时〕

第 38 页

高中数学优秀教案 篇14

高中数学趣味竞赛题〔共10题〕

1 、撒谎的有几人

5个高中生有，她们面对学校的新闻采访说了如下的话：

爱：“我还没有谈过恋爱。” 静香：“爱撒谎了。”

玛丽：“我曾经去过昆明。” 惠美：“玛丽在撒谎。”

千叶子：“玛丽和惠美都在撒谎。” 那么，这5个人之中究竟有几个人在撒谎呢？

2、她们究竟是谁

有天使、恶魔、人三者，天使时刻都说真话，恶魔时时刻刻都说假话，人呢，有时候说真话，有时候说假话。

穿黑色衣服的女子说：“我不是天使。” 穿蓝色衣服的女子说：“我不是人。” 穿白色衣服的女子说：“我不是恶魔。”那么，这三人究竟分别是谁呢？

3、半只小猫

听说祖父家的波斯猫生了好多小猫，喜爱猫的我兴高采烈地来到祖父家。可是，只剩下1只小猫了。

“一共生了几只小猫呀？” “猜猜看，要是猜中了，就把剩下的这只小猫给你。四周的宠物店听说以后，立刻来买走了全部小猫的一半和半只。” “半只？”“是啊，然后，邻居家的老奶奶无论如何都要，所以就把剩下的一半和另外半只给了她。这就是只剩下1只小猫的缘由。那么你想想看，一共生了几只小猫呢？

第 39 页

4、被虫子吃掉的算式

一只爱吃墨水的虫子把下列图的算式中的数字全部吃掉了。当然，没有数字的部分它没有吃〔由于没有墨水〕。

那么，请问原来的算式是什么样子的呢？

5、巧动火柴

用16根火柴摆成5个正方形。请移动2根火柴，

使

正形变成4。

6、折过来的角

把正三角形的纸如图那样折过来时，角？的度数是多少度？

7、星形角之和

求星形尖端的角度之和。

8、啊！双胞胎？

丈夫临死前，给有身孕的妻子留下遗言说，生的是男孩就给他财产的 2/3 、假如生的是女孩就给他财产的 2/5 、剩下的给妻子。

结果，生出来的是孪生兄妹——双胞胎。这可难坏了妻子，3个人怎么分财产好呢？

9、赠送和降价哪个更好？

1罐100元的咖啡，“买5罐送1罐”和“买5罐廉价20%”这两种促销方法哪一种好呢？还是两种方法一样好？

10、折成15度

用折纸做成45度很简洁是吧。那么，请折成15度，你会吗？

第 40 页

高中数学优秀教案 篇15

教学目标：

1。通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进

同学全面熟悉数学的科学价值、应用价值和文化价值。

2。通过实际问题的讨论，促进同学分析问题、解决问题以及数学建模力量的提高。

教学重点：

如何建立实际问题的目标函数是教学的重点与难点。

教学过程：

一、问题情境

问题1把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大？

问题2把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之各最小？

问题3做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？

二、新课引入

导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法，可以求出实际生活中的某些最值问题。

1。几何方面的应用〔面积和体积等的最值〕。

2。物理方面的应用〔功和功率等最值〕。

第 41 页

3。经济学方面的应用〔利润方面最值〕。

三、学问建构

例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

说明1解应用题一般有四个要点步骤：设——列——解——答。

说明2用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极

值及端点值比较即可。

例2圆柱形金属饮料罐的容积肯定时，它的高与底与半径应怎样选取，才

能使所用的材料最省？

变式当圆柱形金属饮料罐的外表积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

说明1这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数。

说明2用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为：

S1列：列出函数关系式。

S2求：求函数的导数。

S3述：说明函数在定义域内仅有一个极大〔小〕值，从而断定为函数的最大〔小〕值，必要时作答。

例3在如下图的电路中，已知电源的内阻为，电动势为。外电

第 42 页

阻为

多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？

说明求最值要留意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必需有解。

例4强度分别为a，b的两个光源A，B，它们间的距离为d，试问：在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题〔照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比〕。

例5在经济学中，生产单位产品的本钱称为本钱函数，记为；出售单位产品的收益称为收益函数，记为；称为利润函数，记为。

〔1〕设，生产多少单位产品时，边际本钱最低？

〔2〕设，产品的单价，怎样的定价可使利润最大？

四、课堂练习

1。将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和___。

2。在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时，它的面积最大。

3。有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？

4。一条水渠，断面为等腰梯形，如下图，在确定断面尺寸时，盼望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l＝AB＋BC＋CD最小，

第 43 页

这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b。

五、回顾反思

〔1〕解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义。

〔2〕依据问题的实际意义来推断函数最值时，假如函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。

〔3〕相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简洁。

六、课外作业

课本第38页第1，2，3，4题。

高中数学优秀教案 篇16

猴子搬香蕉

一个小猴子边上有100根香蕉，它要走过50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，〔多了就被压死了〕，它每走1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里？

解答：

100只香蕉分两次，一次运50只，走1米，再回去搬另外50只，这样走了1米的时候，前50只吃掉了两只，后50只吃掉了1只，剩下48＋49只；两米的时候剩下46＋48只；...到16米的时候剩下〔50－2×16〕＋〔50－16〕＝18＋34只；17米的时候剩下16＋33只，共49只；然后把剩下的这49只一次运回去，要走剩下的33米，

第 44 页

每米吃一个，到家还有16个香蕉。

河岸的距离

两艘轮船在同一时刻驶离河的两岸，一艘从A驶往B，另一艘从B开往A，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距离较近的岸500公里处相遇。到达预定地点后，每艘船要停留15分钟，以便让乘客上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸100公里处重新相遇。试问河有多宽？

解答：

当两艘渡轮在x点相遇时，它们距A岸500公里，此时它们走过的距离总和等于河的宽度。当它们双方抵达对岸时，走过的总长度

等于河宽的两倍。在返航中，它们在z点相遇，这时两船走过的距离之和等于河宽的三倍，所以每一艘渡轮如今所走的距离应当等于它们第一次相遇时所走的距离的三倍。在两船第一次相遇时，有一艘渡轮走了500公里，所以当它到达z点时，已经走了三倍的距离，即1500公里，这个距离比河的宽度多100公里。所以，河的宽度为1400公里。每艘渡轮的上、下客时间对答案毫无影响。

变量交换

不使用任何其他变量，交换a，b变量的值？

分析与解答

a = a+b

b = a-b

a= a-b

第 45 页

步行时间

某公司的办公大楼在市中心，而公司总裁温斯顿的家在郊区一个小镇的四周。他每次下班以后都是乘同一次市郊火车回小镇。小镇车站离家还有一段距离，他的私人司机总是在同一时刻从家里开出轿车，去小镇车站接总裁回家。由于火车与轿车都非常准时，因此，火车与轿车每次都是在同一时刻到站。

有一次，司机比以往迟了半个小时动身。温斯顿到站后，找不到

他的车子，又怕回去晚了遭老婆骂，便急匆忙沿着大路步行往家里走，途中遇到他的轿车正风驰电掣而来，马上招手示意停车，跳上车子后也顾不上骂司机，命其立刻掉头往回开。回到家中，果不出所料，他老婆大发雷霆：“又到哪儿鬼混去啦！你比以往足足晚回了22分钟??”。温斯顿步行了多长时间？

解答：

假如温斯顿始终在车站等候，那么由于司机比以往晚了半小时动身，因此，也将晚半小时到达车站。也就是说，温斯顿将在车站空等半小时，等他的轿车到达后坐车回家，从而他将比以往晚半小时到家。而如今温斯顿只比平常晚22分钟到家，这缩短下来的8分钟是假如总裁在火车站死等的话，司机原来要花在从如今遇到温斯顿总裁的地点到火车站再回到这个地点上的时间。这意味着，假如司机开车从如今遇到总裁的地点赶到火车站，单程所花的时间将为4分钟。因此，假如温斯顿等在火车站，再过4分钟，他的轿车也到了。也就是

第 46 页

说，他假如等在火车站，那么他也已经等了30-4=26分钟了。但是惧内的温斯顿总裁究竟没有等，他心急火燎地赶路，把这26分钟全都花在步行上了。

因此，温斯顿步行了26分钟。

付清欠款

有四个人借钱的数目分别是这样的：阿伊库向贝尔借了10美元；

贝尔向查理借了20美元；查理向迪克借了30美元；迪克又向阿伊库借了40美元。碰巧四个人都在场，确定结个账，请问最少只需要动用多少美金就可以将全部欠款一次付清？

解答：

贝尔、查理、迪克各自拿出10美元给阿伊库就可解决问题了。这样的话只动用了30美元。最笨的方法就是用100美元来一一付清。

贝尔必需拿出10美元的欠额，查理和迪克也一样；而阿伊库则要收回借出的30美元。再冗杂的问题只要有条理地分析就会很简洁。养成常常性地归纳整理、摸索实质的好习惯。

一美元纸币

注：美国货币中的硬币有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元这几种面值。

一家小店刚开头营业，店堂中只有三位男顾客和一位女店主。当这三位男士同时站起来付帐的时候，消失了以下的状况：

〔1〕这四个人每人都至少有一枚硬币，但都不是面值为1美

第 47 页

分或1美元的硬币。

〔2〕这四人中没有一人能够兑开任何一枚硬币。

〔3〕一个叫卢的男士要付的账单款额最大，一位叫莫的男士要

付的帐单款额其次，一个叫内德的男士要付的账单款额最小。

〔4〕每个男士无论怎样用手中所持的硬币付账，女店主都无法找清零钱。

〔5〕假如这三位男士互相之间等值调换一下手中的硬币，则每个人都可以付清自己的账单而无需找零。

〔6〕当这三位男士进行了两次等值调换以后，他们发觉手中的硬币与各人自己原先所持的硬币没有一枚面值相同。

〔7〕随着事情的进一步进展，又消失如下的状况：

〔8〕在付清了账单而且有两位男士离开以后，留下的男士又买了一些糖果。这位男士原来可以用他手中剩下的硬币付款，可是女店主却无法用她如今所持的硬币找清零钱。于是，这位男士用1美元的纸币付了糖果钱，但是如今女店主不得不把她的全部硬币都找给了他。

如今，请你不要管那天女店主怎么会在找零上屡屡遇到麻烦，这三位男士中谁用1美元的纸币付了糖果钱？

解答：

对题意的以下两点这样理解：

〔2〕中不能换开任何一个硬币，指的是假如任何一个人不能

第 48 页

有2个5分，否则他能换1个10分硬币。

〔6〕中指假如A，B换过，并且A，C换过，这就是两次交换。

第 49 页