第3章讲义(2010)

2024年1月8日发(作者：季方)

第三章

不确定项下的投资决策

风险和不确定性

风险、不确定性与确定的定义

金融决策是时序决策，它们包括：选择，选择的结果向将来延伸。由于将来是未知的，金融决策不可避免的在不确定条件下进行。为了开始我们对投资决策准则的研究，必须对“确定”、“风险”和“不确定”进行概念上的区分。在此基础上，我们然后才能构筑在不确定条件下决策的标准上层结构。

奈特（Knight）《风险、不确定性与利润》(1921) Frank H. Knight (1885-1972)

Knight不承认“风险=不确定性”，提出“风险(risk)”是有概率分布的随机性（randomness with knowable

probabilities） ，而“不确定性(uncertainty)”是不可能有概率分布的随机性(randomness with

unknowable probabilities )。

Knight 的观点被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别。

风险来自于未来结果的不确定性，但是风险又与不确定性不同。

确定性排除了任何随机事件发生的可能性,它是哲学意义上的前因后果必然关系的体现.

风险则意味着我们对未来可能发生的所有事件,以及他们发生概率的大小有准确地认识,但是对于究竟哪一种事件会发生一无所知.换句话说,我们知晓未来的概率分布,这种概率分布也许来自于经验或者客观事物本身的规律

不确定性意味着即便我们能够知道未来世界的可能状态(结果), 但是它们发生的概率仍然是不清楚的。

风险与不确定性在实际应用中的区别

对于风险形象的理解是：想象我们在掷一枚质地均匀的硬币，我们知道只会出现字或者花两种结果，而且其可能性各为50%，但是在硬币落地前，我们不会知道究竟哪一种结果会出现，这实际上是一个古典概率随机试验模型。注意到这与我们在日常生活中，赋予风险这个词的明显负面意义有所不同。

而不确定性则意味着：即便是我们能够知道未来世界的可能状态（结果），它们发生的概率大小仍然是不清楚的，但是如果引入主观概率（subjective probability），即人为的为每一种状态分配一个概率，则风险与不确定性的界限就变得模糊起来。特别是在进行动态决策时，几乎所有概率评价都呈现主观色彩，因而在行文中，我们往往会不加区分地交替使用这两个词。我们必须在这样一个存在各种不确定性的环境中做出决策。以下的任务就是把不确定性或者风险，植入我们在上一章中获得的关于理性决策的分析框架。

期望效用理论 (The Expected Utility Theorem)

不确定性下理性决策的原则讨论

（一） 几种决策准则

当我们考察一项项目的风险时，我们通常考察的是这项投资产生未来现金流量的不确定性。依赖于未来的不同状态，我们会得到不同的报酬。

例如考虑以下投资，其下一期的报酬如下表所示，并且两种报酬的状态具有等可能性。我们用1,2来表示两种状态，他们各自的概率用1和2表示。

在t=0时期的成本

在t=1时期的价值

1212

投资1

投资2

投资3

-1000

-1000

-1000

1

1050

500

1050

2

1200

1600

1600

“占优(dominance)”，投资3明显优于投资1和投资2，在所有状态下，它的报酬都至少和这两种投资一样多，且至少在一种状态下要严格多于它们。此处所示的各态占优(state-by-state dominance)是一

1

种最强的占优形式。这需要我们假定典型的投资者个体对消费是非满足的：只要在其他收入许可的范围内，其希望能消费更多的商品而不是更少。

但是由占优概念确定的排序是很不完备的，比较投资1和2，可以看出任一投资都不优于另一投资。虽然投资2在状态2要好一些，但在状态1下却差得多。若按占优的标准，则无法对二者排序。不同的未来状态需要从不同的角度加以描述，这就需要引入风险的概念。

就风险而言，我们都同意投资2和投资3要比投资1的风险相对较大。当然，对投资3而言，占优性意味着唯一的风险是向上风险，然而，按照上一章对平滑消费偏好的讨论，投资3在第2期报酬的较大波动是人们所不希望的。在比较投资1和投资2时，“风险大”这个词无疑适用于后者，在最糟状态下，投资2的报酬更差，而在最佳状态下，其报酬则又更好一些。

我们通过投资收益率来对上面的例子进行改写，如下表：

投资1

投资2

投资3

1

5%

-50%

5%

2

20%

60%

60%

从上表可以清楚的看出，所有理性的风险厌恶都更偏好投资3而不是投资1和2。但比较投资1和2时，就无法用占优来表述。

投资2的风险更大，但这一事实并不意味着所有理性的风险厌恶者都一定偏好投资1,风险并不是唯一的考虑因素，原则上，两个项目的排序取决于偏好。根据占优对未来前景加以排序通常是一种很不完备的方法。这就是我们转而用偏好来描述的原因。

2最广为人知的方法是用投资收益（即代表投资收益的随机变量）的均值Eri和方差i,i1,2,3来表示这样的投资收益分布。收益率的方差就自然而然的作为投资的“风险”的测度。对前述三项投资而言，我们有：

11(512.5)2(2012.5)27.52或17.5%22Er25%;255%Er112.5%;12Er332.5%;327.5%

如果我们仅仅用均值和方差来表示收益分布，则投资1明显比投资2更具有吸引力。按均值－方差的标准，投资1优于投资2：称投资1均方优于（mean-variance dominance）投资2。投资3均方优于投资2，但并不优于投资1，虽然按照各态占优的标准投资3优于投资1和2！这是令人吃惊的，这告诉我们在是用均方收益标准的时候要小心谨慎。由此，我们认为均方标准并不是普遍适用的，在使用时需要加上一定的限制条件。

均方占优的概念可以作为同等数量投资之间的一个选择标准，它在现代投资组合理论中具有突出的作用：

1、

2、

对于Er相同的投资，则选择最小者；

对于相同的投资，则选择Er最大者。

在现代投资组合理论的框架下，我们无法理解一个理性人会选择投资2而不是投资1。

然而，我们不能就此限制对占优概念的探索。均方占优提供的仅仅是在不确定前景下的一个不完全排序，如下表：

投资4

投资5

1

3%

2%

2

5%

8%

2

1212

Er44%;41%

Er55%;53%

在比较上述两种投资时，我们不能清楚的看出谁更好：没有哪一项投资是各态占优或均方占优的。只能取决于偏好来解决这一问题。

E假定对一个特定的个人，这种取舍可以通过指数（称为“夏普比率”）来很好的描述。此时投资4优于投资5。当然另一位投资者也许对风险不那么厌恶，他对同样的预期收益愿意承担更多的风险。1E3来表示，此时，他会将投资5排在投资4之前。 比如他的偏好通过所有这些考虑充分表明，我们必须采用一种一般化的观点来比较潜在的收益分布。

（二）“圣彼德堡悖论”

是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法则呢？

在带概率的不确定环境下的决策问题与概率论这门学科的历史一样古老。当时，这类问题大多用赌博的形式提出，既然是赌博问题，就不需要效用函数之类的概念，只需考虑局中人的输赢。赌博通常是不断重复的博弈游戏，各种事件反复出现使人们逐渐形成随机变量及其分布、均值（数学期望）、方差等概念。而期望收益很自然的就称为刻画赌博输赢的总体指标。期望收益为0的赌博，则意味着一场“公平赌博”。因此期望收益的大小是“理性赌徒”用来对赌博进行决策的主要依据。

然而，这样的决策判断很快就被质疑，这是由瑞士数学家尼古拉斯.贝努利（Nicolaus Bernoulli）与1713年提出的。这个问题由尼古拉斯.贝努利的堂弟、当时的圣彼得堡科学院院士丹尼尔.贝努利解决。而这个问题后来也以“圣彼得堡悖论”而著称。

圣彼得堡悖论——

18世纪的一个经典的例子——圣彼得堡悖论，这个例子告诉18世纪的学者期望收益最大化原则不是最合适的在不确定性下的决策原则。

1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。Daniel Bernoulli （1700-1782)



如果有一个掷硬币的游戏，出现正面奖励你1元，出现反面惩罚你1元。假如这个游戏是一个投资工具，那么这个游戏应该怎样定价（即花多少前来买这个游戏的参加权）？我们先看这个游戏的期望收益（硬币出现正反面的概率相同，各为1/2）：

期望收益=（1/2）×1+（1/2）×（-1）=0



现在，如果出现正面奖励2元，出现反面奖励1元，问该项游戏如何定价？

期望收益=（1/2）×2+（1/2）×1=1.5



对于一个风险厌恶型的投资者，而且又是理性投资者，投资的价格不能高于游戏的期望收益，即不能高于1.5元。如果低于1.5元，可能会赚钱；如果高于1.5元，就不太可能赚钱。如果价格定在1.5元，买卖双方来说就是一个公平游戏，按照公平游戏规则定价，就是一种均衡定价的思想。



有这样一场掷硬币的赌博：第一次赢得 2元，第一次输第二次赢得 4 元，前两次输第三次赢得 8 元，……一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得 2 的 n次方元。

3

请问你愿意先付多少钱来参加这个赌博？

第一次出现正面

1

2

3

4

„„

„„

„„

n

结果描绘

H（head）

（Tail）TH

TTH

TTTH

„„

„„

„„

((n-1)个T)H

结果的概率

1/2

1/4

1/8

1/16

„„

„„

„„

(½)n

奖励

2

4

8

16

„„

„„

„„

2n



如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！

但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏，人们愿意付出的金额在2-3之间。

Daniel Bernoulli （1700-1782)1738 年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。

贝努力提出期望效用准则方法：用期望效用作为最大化的目标，假设投资者关心的是期末财富的效用，从而成功解决了圣彼得堡悖论问题。

4

在不带不确定性的一般经济均衡的讨论中，经济活动者的行为是通过对他的效用函数的最大化来决策的。在带不确定性的一般经济均衡中，一种处理不确定性的办法是假定商品量都是随机变量，即它们的大小将以来于不确定的状态。如果仍然用原来的效用函数，那么效用函数的值也将依赖于状态的随机变量，使得人们无法直接通过效用函数的值来决策。在这种情况下，人们可以希望，只要对这样的效用函数求均值（数学期望）以后，就能比较效用的大小。也就是说，在所涉及的随机商品量x集合上直接定义效用函数u，它应该满足下列等式：

E(u(x))u(x)

期望效用函数（expected utility）

John von Neumann (1903-1957) Oskar Morgenstern (1902-1977)1944 年在巨著《对策论与经济行为》中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险。

第一步的任务是要明确：什么是在不确定性情况下，我们要讨论的“商品”和“商品空间”。这必须先构造一个后文中将反复使用的“抽奖”（lottery）模型。设想消费者参加一种抽奖活动，所有产生的结果（outcome）也用C 表示。这些“结果”可以为任何形式。例如它们可以是商品（束），也可以是一定数量的货币。为了简化分析，我们假定C 中的结果是有限的，我们用n=1，⋯， N 来标示这些结果。每一个结果发生具有一定的概率(P，不妨假定这些概率都是客观存在的（objective

i)iNprobability）。通常把一个简单抽奖（simple lottery）记为：

L(P1,...,PN;C1,...,CN),CiC,Pi0,Pi1i1N

由于我们特别地关注抽奖商品的概率分布，在不会出现误解的情况下，也常常把简单抽奖简记为：

L(P1,...,PN)比简单抽奖更复杂的结构是复合抽奖（compound lottery），它的抽奖结果是一个个的简单抽奖。复合抽奖记为：

(a1,...,aK;L1,...,LK),(ai)iK0,ai1i1n

kK其中LK(P是一个简单抽奖。对于每一个抽奖我们可以计算出一个引致抽奖1,...,PN),kK

5

（reduced lottery），它把复合抽奖简化为简单抽奖L(P。

1,...,PN)不同的抽奖商品之间，也应当存在着与普通商品之间类似的偏好顺序和关系。

定义1 连续性（continuity），对于任何L,L',L''L，下面的集合为闭集。

L''[0,1]和a[0,1]:L''aL(1a)L'[0,1]

a[0,1]:aL(1a)L'连续性假设将保证微小变化不会改变两个抽奖商品之间的偏好顺序。例如，如果消费者“快乐和安全的开车旅行”的偏好强于“待在家中”，那么他对于一个“快乐和安全的开车旅行”与一个具有充分小，但不为0的正概率的“发生车祸导致死亡”的混合结果的偏好，仍然要强于“待在家中”。同确定环境下

一样，连续性假设排除了对于某些具有0 概率的结果（这里就是“死于车祸”）的字典序偏好（安全第一）。

如果抽奖商品空间L上的偏好是理性的，并满足连续性假设，则存在一个序数效用函数:LR，使得：

uL'u(L)u(L')

L这种函数的另一种表述方式是：期望效用函数。所谓期望效用表述就是指：可以对一件抽奖商品的效用表示为对抽奖结果的效用函数的数学期望：

(L)Puui(Ci)

i1N:LR被称为冯.诺依曼－摩根斯坦效其中，u:CR是前面讲述的普通序数效用函数，而u)可以看成概率分布效用函数的一种特殊形式，用函数（von Neumann-Morgenstern utility function）。u(即：

(Pu1,...,PN)Pui(Ci)i1N

显然它是概率的线性函数。

所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”。

假定

数值为：

L(x,y,p)表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的抽奖机会，那么其期望效用函((x,y,p))pu(x)(1p)u(y)

u定理1 冯－摩效用函数的任何一个仿射变换，即乘以一个正数再加上一个实数，不改变原效用函数的性质。

定义2 独立性或者替代性。对于任何L,L',L"L和a[0,1]，要求有：

L'aL(1a)L"aL'(1a)L"

L

6

这个假设意味着：如果我们把两个抽奖同第三个抽奖放在一起考虑，则前面两者的偏好顺序是独立于特定的第三个抽奖的。理解它的方法是假设我们参加一种如图所示的符合抽奖活动：

独立性公理假设是不确定环境下决策理论的核心，它提供了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过独立性假设，消费者希望把复杂概率决策行为，分为相同和不同的两个独立部分，整个决策行为仅由其中不同的部分来决定。在确定环境下，没有理由相信消费者对商品C1、C2的偏好是独立于他所消费的其他特定商品的。但在这里，对于两种抽奖的偏好是独立于同时可能会出现的另一种结果。这实际上有一定的道理，因为L或者L'不是同另一种抽奖商品L’’同时消费的，它们之间是非此即彼的替代关系而非补充关系。此外根据独立性公理假定，容易证明对任意a[0,1]，有：

LL'aL(1a)L"aL'(1a)L"

LL'aL(1a)L"aL'(1a)L"

定理2 假定在抽奖商品空间L上的偏好关系具有完备性、自返性、传递性、连续性和独立性，则下式成立：

L'PuLi(Ci)Pi'u(Ci)

i1i1NN 期望效用函数的争论

Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济奖获得者。





期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“ Allais

悖论” (1953)。

由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。

 Allais 悖论

7

考虑下面四种可能的资产收益：

L1(10 000, 0, 0.1) L2(15 000, 0, 0.09)L3(10 000, 0, 1) L4(15 00, 0, 0.9)

当要求投资者对这些收益排序时，常会看到下列的排序：

L2L1和L3L4

然而有复合收益的结构可以容易的看到：

L1(L3, L0, 0.1)L2(L4, L0, 0.1)这里 L0(0, 0, 1)

由独立性公理可知，L1和L2之间的排序与L3和L4之间的排序应该是一样的。

8

不确定性下理性决策－Ast Pricing

风险与风险厌恶的度量——人们对风险的主观态度与风险度量







风险的客观度量

个体风险的主观态度

确定性等值和风险溢价

由于在各种状态下的收益出现的可能性是客观给定的，与行为人的偏好无关，如果期望效用形式想要具有风险厌恶概念的话，那么就必须对货币VNM（von Neumann-Morgenstern）效用函数U（）施加进一步的限制。下面我们将探讨风险厌恶的定义和货币效用函数U（）的含义。

 风险的客观度量

人们一般用离差、方差或标准差来对风险进行客观度量。

 个体风险的主观态度



公平赌博

公平赌博是指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个赌局的随机收益为ε，其变化均值为E(ε)=0的赌局。或者公平赌博是指一个赌博结果的预期只应当和入局费相等的赌博。



考虑一个博弈，它以概率p有一个正的回报h1,以概率（1-p）有负收益h2, 它称为一个公平的赌博是指ph1+(1-p)h2=0。

9

















如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变得公平。

或者说公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率平均意义上的应该是不输不赢。

思考：有这样一个赌局：抛硬币，Head为上你能得到200元，否则你什么都得不到。如果参加的本金分别为100，50，0，判断是否为公平赌博



个体风险的主观态度－风险厌恶

当一个体不愿意接受或者对任何公平的赌博都无所谓的时候，他通常被认为是风险厌恶的。严格风险厌恶是指这个个体不愿意接受任何公平的赌博。

考虑一个赌局，具有正的收益h1，其概率为p；其有负的收益为

当赌局的期望回报支付为0时，或者满足h2，其概率为

1p。

ph1(1p)h20，则称为公平赌博。

令u() 为一个个体的效用函数，从（严格）风险厌恶的定义我们有

u(W0)()pu(W0h1)(1p)u(W0h2)

这里W0 记为个体的初始财富。

利用公平赌博定义的式子ph1(1p)h20

u(W0)()pu(W0h1)(1p)u(W0h2)

可以将（严格）风险厌恶定义为式子改写为：u(p(W0h1)(1p)(W0h2))()pu(W0h1)(1p)u(W0h2)

上面的关系式证明了风险厌恶是一个凹的效用函数，严格的风险厌恶意味着一个严格的凹的效用函数。

10



上图说明了当且仅当效用函数是严格凹时，赌博行为的期望效用严格小于期望回报支付的效用。（期望收益的效用大于（各个状态下）效用的数学期望）

uEWEuW

风险厌恶也可以用无差异曲线表示。下图描绘了在两种自然状态下的一个简单例子。假如消费为C，即在状态1消费c1，状态2消费c2，Euk1表示其期望效用水平，并且消费c，即在状*态1消费c1，状态2消费c2可以达到同样的期望效用水平，那么凸向原点的无差异曲线恰当的表cc*示了严格凹效用函数，意味着由两种状态下的平均消费2产生的期望效用水平（k2）大于k1。

**



风险厌恶度量

我们需要一种方法来度量风险厌恶的程度，如果从函数的图像来看，自然是曲线向上弯得越厉害，对风险就越厌恶。曲线的弯曲程度可以用函数的二阶导数来刻画，但光是二阶导数还不行，因为它不符合线性变换具有不变性。虽然二阶导数不受效用函数换零点的影响，但是要受到效用函数换单位的影响。从而不同的人之间的风险厌恶程度就无法比较。为了使这个量不受换单位的影响，阿罗（Arrow，1971）和普拉特（Pratt，1964）建议风险厌恶程度用：

u''()绝对风险厌恶'RA()

u()TA()1 则称为风险容忍函数（值越大越能容忍风险，值越小越不能容忍风险），而RA()RR()RA()则称为相对风险厌恶函数。

u''()相对风险厌恶'RR()

u()根据风险厌恶的定义，为了让决策者参与一项公平赌博，必须给予决策者合适的风险溢价；假设表，即该赌博相当于一个确定性收益和一个公平示相应的风险溢价，则决策者参加赌博的事后收益为0时，即该公平赌博对财富水平的改变仅仅是局部而不是全局的影响时，赌博的复合赌博。于是，当

11

该风险溢价如何确定呢？

假设风险厌恶决策者的效用函数是u，财富水平是W，则上述表述等价于：

)

u(W)Eu(W)。如果假设决策者初始财富水平为，则假设W，则上式等价于u()Eu(u()表示决策者参加一个公平赌博的期望效用相当于期初财富水平减少般称为后的确定性效用，因此一的确定性等值。

112u'''(())3，其中()(0,1)。该等式运用了三u''()26因为u()u()u'()级泰勒展开公式。

又因为E0,且0，所以，

11)u()u''()E2Eu'''(())3Eu(

261)u()u''()Var(20，所以0，因此，又因为，u()u()u'()1u''()2，其中(0,1)。由于2u()u()u'()

)u()Eu(因此，

1)u'()u''()Var(2所以，。

即[12u''())]Var(u'()。

因此，如果公平博弈对财富水平的影响是局部的，则为了风险厌恶的决策者参与该公平赌博所需要支u''()付的风险溢价主要取决于两个因素：一是该公平赌博的方差——衡量了该公平赌博的风险；二是u'()项，一般用RA()表示，这一项称为阿罗－普拉特（Arrow－Pratt）绝对风险厌恶系数。

这里对随机风险厌恶系数做以下几点说明：1、该系数是一个局部概念，依赖于初始财富的绝对水平，0，即对财富水平只有局部影响的随机事件；2、该系数依赖于效用函数的形式，如果具因此只适用于有相同财富水平这具有不同的风险厌恶态度，即不同的效用函数，则他们在面临相同的公平赌博时，会要求不同的风险溢价补偿，因此该系数可以衡量不同决策者在特定财富水平下的风险厌恶程度，值越大说明风险厌恶度越高；3、该系数对效用函数的正仿射变换（正的线性变换）具有不变性，因为正仿射变换并没有所改变所描述的偏好关系，所以具有一致性。

一般而言，决策者对投资机会作出选择时，考虑更多的不是财富水平而是收益率水平，而风险溢价也相应转变为风险溢价率，则风险溢价率又与哪些因素有关呢？

表示公平赌博事后的随机净收益，则r假设溢价率，则根据上面的结论有：

表示公平赌博事后的随机收益率，令表示风险

12

[12u''()1u''())[]Var(]Var()u'()2u'()

u''()与风险溢价的决定因素相似，风险溢价率同样与两个因素有关：一是随机收益率的方差，二是u'()，一般用RR()表示，为阿罗－普拉特相对风险厌恶系数。

关于相对风险厌恶系数的理解：1、该系数依然是一个局部概念，其值依赖于特定的财富水平；2、该系数同样依赖于效用函数的形式，从而反应了决策者的风险厌恶程度；3、该系数是从相对水平（收益率水平）衡量决策者的风险厌恶程度，而绝对厌恶系数则是从绝对水平衡量决策

者的风险厌恶程度；4、该系数同样在正仿射变换条件下具有不变性。

金融理论者广泛使用的一个效用函数：

2资产组合的期望收益：E(r)，其收益方差为σ，其效用函数为：

UE(r)0.005A2

A为投资者的风险厌恶指数。A越大表示投资者的风险厌恶程度越高。



个体风险的主观态度－风险喜好



定义：如果投资者喜欢参与所有公平的赌博，即u(W0)≤pu(W0+ h1)+( 1-p) u(W0+ h2)，则称投资者是风险喜好。此时，效用函数u是一个凸函数，更一般的表示为：

u(E(W))

≤ E(u(W))



个体风险的主观态度－风险中性





定义：如果投资者对是否参与所有公平的赌博没有任何差别，则称投资者是风险中性型。此时，u(W0)=pu(W0+h1)+( 1-p) u(W0+ h2)，

效用函数u是一个线性函数，更一般的表示为：u(E(W))=E(u(W))

这时，投资者对风险采取完全无所谓的态度，不对风险资产要求任何风险补偿。投资者只是按照预期收益率来判断风险投资。风险的高低与风险中性投资者无关，这意味着不存在风险妨碍。对这样的投资者来说，资产组合的确定等价回报率就是预期收益率。



复合型风险偏好

13

 确定性等值和风险溢价



一个人为获得一个不确定性机会而愿意支付的最大确定数额的货币可定义为他对该风险机会前景的确定性等值（CE）；确定性等值与这一风险机会的预期值之间的差额就是对不确定收益风险溢价的测定。它代表投资者为避免进行风险投资或赌博而愿意付出的最大金额的货币。

)假定投资者的目前财富水平为w0，效用函数为u（），他有机会获得一项期望值为E(h的不确定投资h。下式可得这项风险投资h的确定性等值CE(w0,h)，以及相对应的风险溢价(w0,h)

)u(wCE(w,h))Eu(w0h00)(w,h))u(wE(h00

这意味着：

,w)Eh(w,h)CE(h00或者(w0,h)EhCE(h,w0)

下图我们对这些概念加以说明。

随机占优的概念

如果不知道每个投资者的具体特征，而仅仅知道其是不知满足的，并且是风险厌恶的，如何进行排序？

由于对基于均值和方差的排序的不满足性，一种在不确定性条件下具有更广泛适用性的选择理论已经发展起来。我们对之感兴趣，是因为它们可被定义为独立于个人效用函数所表示的特定项目间的权衡。

我们从一个例子开始说明。考虑两个可供选择的投资Z1和Z2，下表简要的描述了它们的特征。

备选样本投资

未来回报

Prob Z1

Prob Z2

10

0.4

0.4

100

0.6

0.4

2000

0

0.2

EZ1=64,z144

EZ2=444,z2779

首先，在均值－方差框架下，我们不可能对这两项投资进行排序。然而我们都清楚自己喜欢投资2，这是因为投资2至少与投资1相等，并且还有一个正的概率超过投资1。

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图2.1 一个随机占优的例子

让我们考虑与每项投资相联系的累积分布F1(Z)和F2(Z)，在图中，我们看到F1()总是位于F2()上方。这一观察导出了定义2.1

)，FB(x)分别代表两个随机变量的累积分布函数，不失一般性，我们假定现金流收益定义2.1 设FA(x)FB(x)时，)一阶随机占优)。在区间[a,b]上取值。对所有x[a,b]，当且仅当FA(x我们说，FA(x（FSD）于FB(x

实际上，分布A把更多的概率分派给了较高的x值。换句话说，就是获取高报酬的可能性更大。即分布函数A与B一般遵循如下模式：如果FA一阶随机占优于FB，那么FA处处位于FB的右下方，如下图所示，由这个标准，图中的投资A比投资B随机占优，从直觉来看，它应该更可取。定理2.1概括了我们的直觉。

图2.2 一阶随机占优：一个更一般的描述

A

[a,b]上的两个累积概率分布，对所有非递减效用函数U( )，)代表在随机收益x)，FB(x定理2.1 设F(x)一阶随机占优于FB(x)EBU(x)时，我们说FA(x)。 当且仅当EAU(x意义：当需要在具有不同风险偏好的个体（表现为不同的效用函数）组成的群体中比较若干个风险的话，如果这几个风险之间满足一阶随机占优关系，比较就可以顺利地进行。值得注意的是，这里仅要求每个个体的效用函数具有一阶导数大于0，至于二阶导数是正是负，完全没有要求。也就是说，这个群体中有的个体可能是风险厌恶的，另一些个体可能是风险喜好的。

尽管并不等价于各态占优，但FSD是一个极强的条件。与前者（各态占优）一样，这个概念是如此强烈以至于对不确定性前景，它仅能导出一个非常不完全的排序。我们能找到一个更广泛的比较度量方法吗？考虑下表中的两个独立的投资项目。

相互独立的两项投资

投资3 投资4

15

收益

4

5

9

概率

0.25

0.50

0.25

收益

1

6

8

概率

0.33

0.33

0.33

表中哪个投资要好些呢？从图2.3中显然无法确定哪项投资一阶占优于对方。与投资3相对应的概率分布函数并不是处处低于投资4的分布函数。但是，我们或许更喜欢投资3。我们能够正式的表述这一直觉吗？这一问题引出了一个较弱的随机占优的概念，通过它可以清晰的比较分布函数。

定义2.2 二阶随机占优（SSD）

)是定义在[a,b]上的随机收益的两个累积概率分布。)，FB(x设F(x对任意x，当且仅当[FB(t)FA(t)]dt0成Ax).

)二阶随机优于（SSD）FB(x立，我们说FA(x

图2.3 二阶随机占优

下表中的计算揭示了这样一个事实，即投资3二阶随机优于投资4（设fi(x),i3,4代表累积概率分布函数Fi(x)对应的密度函数）。用几何图形表示如图2.3，只要B区面积小于A区面积，情况就会如此。

如定理2.2所示，这个概念是有意义的，特别是对风险厌恶者。

的两个累积概率分布函数，对所有单调不减凹)，FB(x)是定义在[a,b]上的随机收益x定理2.2 设FA(x)二阶随机优于FB(x)EBU(x)时，FA(x)。 函数U( )，当且仅当EAU(x也就是说，所有具有风险厌恶的代理人将偏爱二阶占优资产。当然，FSD包括SSD：如果对于两项投资Z1和Z2，如果Z1 FSD Z2，那么Z1 SSD Z2 也是正确的。反之则不成立。

表：投资3二阶随机优于投资4

参考资料：《中级金融理论》

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