北航基础物理研究性实验报告

基础物理实验研究性报告

双电桥法测低值电阻

目录

摘要................................................................ 2

Abstract ............................................................. 2

一、实验目的........................................................ 2

二、实验原理........................................................ 3

三、实验仪器........................................................ 6

四、实验内容........................................................ 6

五、数据处理........................................................ 8

1、原始数据记录.................................................................................................. 8

（1）电阻测量原始数据：.......................................................................... 8

（2）铜杆直径测量原始数据：.................................................................. 8

2.对数据进行线性回归求解................................................................................ 8

3.不确定度的计算.............................................................................................. 10

（1）b的不确定度的计算......................................................................... 10

（2）d的不确定度计算............................................................................. 11

（3）电阻率不确定度的合成.................................................................... 11

六、误差分析....................................................... 12

2.检流计以及电源电压的选择.......................................................................... 16

3.增加电路保护装置.......................................................................................... 16

九、实验总结与实验感想............................................. 17

1.实验思考与总结.............................................................................................. 17

（1）对开尔文双电桥的认识与理解........................................................ 17

（2）实验过程中对动手能力以及应变能力的考察................................ 17

（3）数据处理............................................................................................ 18

2.实验感想.......................................................................................................... 18

十、附录........................................................... 19

摘要

本报告依托北航基础物理实验1042双电桥法测低电阻，介绍了双电桥法测

低电阻的实验原理、所需实验仪器等信息，并展示了详尽的数据处理过程，针

对本实验提出了讨论以及注意事项，根据在实验过程中出现的问题提出了对实

验改进的建议。

Abstract

This report relies on Beihang basic physics experiment 1042 double bridge method to measure the low resistance,

introduces the experimental principle of the double bridge method to measure the resistance, the required experimental

equipment and other information, and shows the detailed data processing, Discussion and precautions, according to the problems

in the process of experiment propod improvements to experimental equipment.

一、实验目的

1、掌握电桥平衡的原理——零示法与比较法。

2、学习用正反接法来消除系统误差。

3、学习灵敏度的概念，了解影响电桥灵敏度的因素。

4、掌握电学实验操作规程，严格规范操作。

5、学习QJ19型单双电桥以及相关测量电阻仪器的正确使用和箱式电桥仪器

误差公式。

6、了解双电桥测低电阻的原理，以及它对惠斯通电桥的改进。

7、对一元线性回归法的进一步巩固并且学会对误差进行正确的分析。

8、了解测量线性导电材料（铜丝）电导率的测量方法。

二、实验原理

惠斯通电桥（单电桥）测量的电阻，其数值一般在10~10欧姆之间，为中电

6

阻。对于10欧姆以下的电阻，例如变压器的电阻、金属材料的电阻等，惠斯通

电桥测量线路的附加电阻（导线电阻和端钮处电阻的总和为10~10欧姆）不能

-4-2

忽略，普通惠斯通电桥难以胜任。双电桥是在单电桥基础上发展起来的，可以

消除（或减少）附加电阻对测量结果的影响，一般用来测量10~10欧姆之间的电

-5

阻。

如图1所示，用单电桥测低电阻时，附加电阻R’与R’’和Rx是直接串联的，

当R’和R’’的大小与被测电阻Rx大小相比不能忽略时，用单电桥测电阻的公式

Rx=（R3/R1）RN就不能准确地得出Rx的值；再则，由于Rx很小，如R1≈R3，电阻

RN也应该是小电阻，其附加电阻（未在图中具体标出）的影响也不能被忽略，

这也是得不出Rx准确值的原因。

开尔文电桥是惠斯通电桥的变形，在测量小阻值电阻时能给出相当高的准

确度。它的电路原理图如图2。其中R1、R2、R3、R4均为可调电阻，Rx为被测低

电阻，RN为低值标准电阻。

与图1相比，开尔文电桥作了两点主要的改进：

1、增加了一个由R2和R4组成的桥臂。

2、RN和Rx由两端接法改为四端接法。其中P1P2构成被测低电阻Rx，P3P4是

标准电阻RN，P1、P2、P3、P4常被称为电压接点，C1、C2、C3、C4称为电流接点。

图 1 图 2

在测量低电阻时，RN和Rx都很小，所以与P1-P4、C1-C4相连的八个接点的附

′′

′′

加电阻（引线电阻和端钮接触电阻之和）R—R、R，RN和Rx间的

P1P4C1C4

—R

′′′

连线电阻R，P1C1间的电阻R，P2C2间的电阻R，P3C3间的电阻R，P4C4

′

LPC1PC2PC3

间的电阻R，均应该予以考虑。于是，开尔文电桥就可以等效成为如图3所

′

PC4

′′′′

示的电路图。其中R远小于R3，R远小于R4，R远小于R2，R远小于R1，

P1P2P3P4

′′′′

均可忽略。R、R、R、R可以并入电源内阻，不影响测量结果，也不

C1PC1C4PC4

′′′′

′

予考虑。需要考虑的只有跨线电阻R=R+R+R+R+R。按照这种方式可

′

C2PC2PC3C3L

以对如图3所示电路进行极大地简化，简化结果如图4。

图 3 图 4

调节R1、R2、R3、R4使电桥平衡。此时，𝐼=0，𝐼=𝐼，𝐼=𝐼，𝐼=𝐼，𝑉=𝑉，

𝑔132456𝐵𝐷

且有

三式联立解得：

可见，双电桥的平衡条件比单电

桥的多一个修正项△。当保持一定的辅助条件时，可以比较准确地测量低的电

阻值。表面上看起来只要保证（R3/R1）=（R4/ R2），即可有Rx=R3RN/R1，附加电阻

的影响即可略去。然而绝对意义上的（R3/R1）-（R4/R2）=0实际上做不到，但是

修正项中，再加上跨线电阻足够小即𝑅

′

≈0，就可以在测量精度允许的范围内忽

略△的影响。

通过这两点改进，开尔文电桥将RN和Rx的接线电阻和接触电阻巧妙地转

移到了电源内部和阻值很大的桥臂电阻中，又通过（R3/R1）=（R4/R2），和𝑅

′

≈

0的设定，消除了附加电阻的影响，从而保证了测量低电阻时的准确度。

为保证双电桥的平衡条件，可以有两种设计方式：

（1） 选定两组桥臂之比为M==,将RN做成可变的标准电阻，调节RN使电桥

𝑅1𝑅2

平衡，则计算Rx的公式为Rx=MRN。式中，RN称为比较臂电阻，M为电桥

倍率系数。

（2） 选定RN为某固定阻值的标准电阻并选定R1=R2为某一值，联调R3与R4使

电桥平衡，则Rx的公式换算为：

Rx=

𝑅𝑁𝑅𝑁

𝑅1𝑅2

𝑅3𝑅4

𝑅3或者Rx=𝑅4

此时，R3或R4为比较臂电阻，（RN/R1）或(RN/R2)为电桥倍率系数。本实验中

由实验室提供的QJ19型单双电桥采用的是（2）中所描述的方式。

电阻率是半导体材料的重要的电学参数之一，它的测量是半导体材料常规

参数测量项目。本实验的一个基本目的就是通过铜棒电阻的测量间接测得铜的

电阻率。

通常把待测材料加工成粗细均匀的线性材料，这样的材料其电阻和长度成

正比，与材料的横截面积大小成反比。与材料电阻率成正比，并有如下公式：

R= 𝜌，又因为铜棒的直径为d，所以R=

𝑆 𝜋𝑑

2

𝜌；

式中R为电阻，L为接入电路的电阻丝的长度，d为丝线的直径，因此可得

电阻率的测量方法：

𝜋𝑑

2

𝜌=R

4𝐿

实验中只要测出接入铜棒的电阻，长度以及直径，便可以确定电阻率。最

终的数据处理要用到一元线性回归法。

已知电阻的计算公式为R= 𝜌。令x=L，y=R,并设一元线性回归方程y=a+bx,其

𝑆

中b=ρ/S。由一元线性回归法的计算公式b=,可求出b，进而求得电

阻率ρ=b*S。

∑∑∑

𝑥𝑦−𝑘𝑥𝑦

𝑖𝑖𝑖𝑖

(∑)

𝑥−𝑘𝑥

𝑖𝑖

22

∑

𝐿

𝐿 4𝐿

三、实验仪器

QJ19型单双电桥，FMA型电子检流计，滑线变阻器（48Ω, 2.5A），换向开关，

直流稳压电源（0~3A），四端钮标准电阻（0.001Ω），待测低电阻（铜杆），电

流表（0~3A），游标卡尺。

四、实验内容

1.检查实验仪器并作相应的准备工作。

（1）检查仪器数目是否足够，有无缺失；

（2）检查仪器有无明显损坏，能否正常使用；

（3）将有开关的仪器均调至关闭状态，滑线变阻器调至电阻最大处，调节电源

电动势为15V。

2.参照如图5所示的电路图，正确连接电路。调节R1R2为某一定值。打开电源开

关，合上S，调节Rp使电流表指示为1A，打开电子检流计，调零并预热一段时

间。

3.调节滑动变阻器Rp使电流表示数为1A左右。

4.先将单双电桥调至粗测状态，即跃接粗调开关，调节R3和R4至电子检流计示

数基本为零。

5.然后跃接细调开关，调节R3和R4电子检流计示数为零，读取QJ19型单双电桥

的电阻示数并做记录。

6.利用换向开关改变电流至相反方向，重复4,5,6三步操作。

7.等距改变接入的铜丝长度，重复4,5,6,7四步操作。共获得8组数据。

8.测量铜丝直径：在铜杆接入电路的的不同接入点分别测量，记下测量结果。

9.测量结束，整理实验仪器，并进行数据处理。

实验仪器电路图如下：

图 5

五、数据处理

1、原始数据记录

原始数据列表如下：

R1=R2=100Ω RN=0.001Ω △

仪

=0.02mm

（1）电阻测量原始数据：

长度

/mm

正测

R3/Ω

反测

R3/Ω

均值/

Ω

50 100 150 200 250 300 350 380

34.65 64.22 93.12 123.15 154.13 191.22 222.12 234.32

35.25 62.22 93.65 124.57 154.82 184.62 212.12 232.62

34.95 63.22 93.385 123.86 154.475 187.92 217.12 233.47

表一

（2）铜杆直径测量原始数据

：

序号

1 2 3 4 5 6 7 8

3.98 4.00 4.02 4.01 3.99 4.00 4.00 4.02

表二

铜杆直径

d/mm

i

2.对数据进行线性回归求解

由表二可得铜杆直径平均值：

∑

8

1

𝑑

𝑖

𝑑=

8

4.02+3.98+4.00+4.02+4.01+3.99+4.00+4.00

=

8

=4.0025𝑚𝑚

根据电阻公式R可得：

𝑋𝑥3

=𝜌=𝜌𝑙以及电阻之间的关系式𝑅=𝑅

𝑆𝜋𝑑𝑅

2

𝐿4𝜌𝑅

𝑁

1

𝑅=𝑙

3

4𝜌𝑅

1

𝜋𝑑𝑅

2

𝑁

4𝜌𝑅

𝑁

此时不妨设R=y , l=x，则对应的一元线性回归方程y=a+bx中b=.列表可得：

3

𝜋𝑑𝑅

2

1

序号

1 50 2500 34.95 1221.5025 1747.5

2 100 10000 63.22 3996.7684 6322

3 150 22500 93.385 8720.758225 14007.75

4 200 40000 123.86 15341.2996 24772

5 250 62500 154.475 23862.52563 38618.75

6 300 90000 187.92 35313.9264 56376

7 350 122500 217.12 47141.0944 75992

8 380 144400 233.47 54508.2409 88718.6

x x^2 y y^2 xy

由表格可知：

∑

8

1

𝑥

𝑖

𝑥̅=

8

50+100+150+200+250+300+350+380

=

8

=222.5

8

2

∑

1

𝑥

𝑖

2

̅̅̅

𝑥=

8

2500+1000+22500+40000+62500+90000+122500+14400

=

8

=61800

∑

8

1

𝑦

𝑖

𝑦̅=

8

34.95+63.22+93.385+123.86+154.475+187.92+217.12+233.47

=

8

=138.55

̅̅̅

𝑦=

2

2

∑

8

1

𝑦

𝑖

8

1221.5025+3996.7684+8720.758225+15341.2996+23862.52563+35313.9264

=

8

47141.0944+54508.2409

+

8

=23763.26451

∑

8

1

𝑥𝑦

𝑖

̅̅̅=𝑥𝑦

8

1747.5+6322+14007.75+24772+38618.75+56376+75992+88718.6

=

8

=38319.325

由线性回归算法可知：

b===0.609411286

4𝜌𝑅

𝑁

𝑥̅𝑦̅−𝑥𝑦̅̅̅222.5∗138.55−38319.325

22

̅̅̅

49506.25−61800

𝑥̅−𝑥

即=100,R=10代入方程可求出电阻率𝜌的值：

𝜋𝑑𝑅

2

1

=0.609411286，将d=4.0025,R

1N

-3

𝜋𝑑𝑅

2

𝑁

ρ=𝑏

4𝑅

1

=7.66766∗10𝛺/𝑚𝑚

−5

=7.766766∗10𝛺/𝑚

−8

r=

2222

−𝑦−𝑥̅)(𝑦(𝑥̅)

̅̅̅̅̅̅

√

̅̅̅−𝑥̅𝑦𝑥𝑦̅

=

38319.325−222.5∗138.55

√

()()

61800−49506.2538319.325−19196.1025

=0.999837619

因此R和l线性相关强烈，但线性相关性未被严格遵守，可能是因为R的测量存

33

在的误差造成。

3.不确定度的计算

（1）b的不确定度的计算

由线性回归方程式可知在相关系数已算出的情况下b的不确定度计算公式如

下：

11

ub=sb=b(−1)=0.004484049

()()

√

𝑘−2𝑟

（2）d的不确定度计算

d的不确定度分为两部分，一部分是由于仪器误造成的B类不确定度，另一部分

是由统计方法造成的A类不确定度。

A类不确定度的计算：

∑

(𝑑−𝑑)

𝑖

2

u𝑑==0.0049099𝑚𝑚=4.9099∗10𝑚

𝑎

()

√

−6

𝑘(𝑘−1)

B类不确定度的计算：

u𝑑===0.011547𝑚𝑚=1.1547∗10𝑚

𝑏

()

不确定度的合成：

ud=𝑢(𝑑)+𝑢(𝑑)=0.0125475∗10𝑚

()

√

𝑎𝑏

22

−5

（3）电阻率不确定度的合成

△

仪

𝐾

0.02

√

3

−5

𝑢𝜌2𝑢𝑑𝑢𝑏

()()()

√

=()+()

𝜌𝑑𝑏

22

2∗0.0125475∗100.004484049

−5

2

=()+()

√

4.00250.609411286

=0.007358

uρ=ρ∗=5.64187∗10𝛺/𝑚

()

𝑢𝜌

()

−10

𝜌

2

所以电阻率的最终结果表述为：

ρ±uρ=7.67±0.05∗10𝛺/𝑚

()()

−8

六、误差分析

1.由于铜杆接入电路长度不精确引起的误差

在本实验中铜杆是通过鳄鱼夹的加持而接入电路的，并且接入电路的铜杆

长度是由肉眼读出铜杆自带刻度盘上的数据而确定的。首先我们发现许多鳄鱼

夹在多次使用之后便以发生部分变形，其夹持部位不精准，由此会造成对铜杆

测量长度的不精确的误差。同时用肉眼判断的方法由于肉眼判断位置不精确并

且在实际测量过程中人眼的视线未必严格和刻度线垂直从而造成读数位置不精

确对铜杆长度的测量结果带来较大的测量误差。

2.电桥灵敏度引起的误差

（1）电桥灵敏度引起的误差

电桥测量电阻时，精确度主要取决于电桥的灵敏度，当电桥平衡时，若使

比较臂被R改变一微小值ΔR，则电桥将偏离平衡位置，电流计偏转ｎ个格，则

00

电桥的灵敏度Ｓ为：

S=

(ΔR/R)

00

𝑛

由上式看出，电桥的灵敏度越高（Ｓ 越大），灵敏度引入的误差就越小，这也

可以用实验数据进行验证。

（2）影响电桥灵敏度的因素

通过理论和实验可以证明，电桥灵敏度与几种因素有关：电桥灵敏度与电

流计本身的灵敏度有关；与电源电压的大小有关；与四个桥臂的搭配及桥路电

阻值的大小有关；与限流电阻的阻值有关；还与电源所接的位置等因素有关。

因此它并不是定值，需随上述因素的变化而进行具体测定。

由图6可知,当电桥平衡时,电流计两端的电势相等,因此R和R 通过相等的电

12

流I ,，R，R 通过相等的电流I ，R，R 通过

1342xs

相等的电流I. 根据基尔霍夫定律可得出如

3

下3个方程

𝐼𝑅=𝐼𝑅+𝐼𝑅

11233𝑋

{

𝐼𝑅=𝐼𝑅+𝐼𝑅

12243𝑠

𝐼(𝑅+𝑅)=(𝐼−𝐼)𝑟

23432

图6

联立求解得：

𝑅=

𝑥

𝑅𝑅

𝑅𝑅𝑟𝑅𝑅

1413

𝑅+|−|

𝑠

𝑅𝑅+𝑅+𝑟𝑅𝑅

23424

42

若实验中保证条件( 1)

𝑅𝑅

13

−≡0; ( 2) 桥臂电阻R1、R2、R3、R4比较大,则接线

电阻和接触电阻r可忽略不计.于是

𝑅=

𝑥

𝑅

1

𝑅

𝑅

2

𝑠

由双电桥电路图6可知,由于r 很小,双电桥电路可视为单电桥的检流计支路

中串联了一个R3 和R4并联的等效电路. 于是, 可得到双电桥灵敏度的理论关系：

S=

2

SI

10

𝑅𝑅𝑅+𝑅+𝑅+𝑅𝑅+𝑅+𝑅+𝑅

3412𝑥𝑠12𝑥𝑠

[𝑅+][]+Δ[]

𝑔

𝑅+𝑅𝑅𝑅

1𝑠34

𝑅𝑅(𝑅+𝑅)(𝑅+𝑅)

1𝑠12𝑥𝑠

Ⅰ电桥灵敏度与电流计灵敏度有关

电桥灵敏度与电流计的灵敏度有关，电桥灵敏度与电流计电流灵敏度S成

G

正比。S越大电桥的灵敏度越高（Ｓ越大）。但是S越大，电桥就不易稳定，

GG

电桥的平衡点调节就比较困难。反之S值小，电桥的测量精确度就低。因此在

G

实验中可以根据实验的要求，选用适当电流计灵敏度S是很重要的。

G

Ⅱ电桥灵敏度与电源电压有关

电源电压的值大，电路中的电流越大，电桥的灵敏度就高；反之电桥灵敏

度就小，因此电桥灵敏度与电源电压成正比。但是电路中电源电压的增大要受

到电阻允许功率限制，不能无限制地增大。

Ⅲ电桥灵敏度与电流计内阻有关

由上式可以看出：检流计的内阻Ｒ越小，电桥的灵敏度Ｓ就越高；反之，

内

电桥的灵敏度就越低。由此看出，电桥灵敏度与检流计的内阻有关。

七、注意事项以及故障排除

1.注意事项

（1）滑动变阻器接入电路时要保证滑动变阻器处于阻值最大处。

（2）连接电路过程中要保证开关处于断开状态防止损坏检流计。

（3）检流计使用前必须先调零防止出现较大误差。

（4）接线过程中靠近短粗导线的两个电压端必须接2和3.

（5）为保护检流计，每次都应在粗调结束基本调为0之后再使用细调。

（6）重复测量时随着时间的推移电阻会由于温度升高而阻值发生改变，因此应

尽快完成实验。

2.故障排除

（1）首先检查电路是否连接正确，并且检查各个接头处是否出现断路情况。

（2）检查电源开关是否打开，尤其是OUTPUT指示灯是否处于亮起状态。

（3）若在调节过程中出现检流计指针几乎不动的情况，首先检查检流计电源开

关是否打开，电路中是否有短路情况，然后检查QJ19型电桥左下部位的拨钮是

否处于“断”档位检流计档位选择是否过大以及电路中的电流大小是否合适等

等。

（4）若怀疑导线出现问题，可使用元件替换法，另用一根导线检查是否仍出现

同样的问题，若仍出现则不是导线的问题，若故障消失则可能是导线断路等故

障。

（5）故障发生时要注意对仪器的保护。例如检流计剧烈偏转，应立即切断电

源。为了确认故障发生的原因，有时需要让仪器带故障运行，这时更要强调安

全。在本实验中，可以采取的措施包括在降低电源电压的情况下进行操作，暂

时断开检流计支路，必须接通时应串接加大电阻保护电路，至少要严格采用短

时的跃接法等。

八、实验改进建议

1.铜杆长度测量装置的改进

在误差分析中已经提到，在本实验的实验过程中鳄鱼夹夹持部位不精确以

及鳄鱼夹独特的结构使得精确读数变得异常困难，难以读出较为精确的长度

值，会给实验带来较大的误差。因此，我们首先想到的就是改变夹持仪器的结

种情况下铜杆及其自带的刻度盘可以看作是一种导轨，而弧形夹就是在导轨上

移动的器具，使得读数稳定且较为精确。并且由于弧形夹与刻度盘较近易于读

数，读数时可以统一读两个弧形夹同侧边缘的刻度，两个刻度相减即是两个弧

形夹之间的距离。需要注意的是两个弧形夹大小规格需相同，否则两个弧形夹

同侧边缘读数可能会造成附加误差。

2.检流计以及电源电压的选择

在误差分析部分提到，电桥的灵敏度与检流计灵敏度、检流计内阻以及电

源电压也即是电路电流大小有关。检流计灵敏度越高则电桥灵敏度也越高，检

九、实验总结与实验感想

1.实验思考与总结

（1）对开尔文双电桥的认识与理解

开尔文双电桥是惠斯通电桥的变形，在测量小阻值电阻时能给出相当高的

准确度。之所以会有开尔文双电桥的产生，是因为测量小阻值时电路中的附加

电阻以及接触电阻与被测电阻相差不大，若将附加电阻以及接触电阻忽略不计

则会对实验结果即电阻的测定造成较大的误差使得测量结果的可靠性大大降

低，不能得出被测电阻的准确值。因此原本的惠斯通电桥在测量小阻值的情况

下已经不再适用。而开尔文电桥则针对这个问题做出了改进。开尔文电桥法通

过增加了一组桥臂并且将待测电阻与标准电阻接入电路的方式由两端接法改为

四端接法从而使得在R/R=R/R的情况下能够精确地测定出待测电阻的阻值，虽然

3142

实际操作中不可能严格的做到R/R=R/R，但是二者的差值可以做到相当小，使得

3142

其成为一个可以忽略的修正值，保证了测量低电阻时的准确度。

（2）实验过程中对动手能力以及应变能力的考察

能够动手正确并清晰地连接电路是电学实验的基本要求，在实验过程中应

当时刻注意电源正负极，红线接正黑线接负，否则在导线繁多的情况下很容易

出现发生故障时自己都看不懂自己连接的电路图的情况，并且在连线过程中要

将电源断开，防止电路中电流超过实验器材的额定电流而对实验器材造成损

坏。实验过程中发生故障时要冷静思考，不能自乱阵脚，失去了分析解决问题

的勇气。故障发生时首先从电路原理入手思考是否有电路连接错误各仪器是否

已经处于工作状态电源是否开启入手，然后采取措施，或重接部分线路或替换

元件达到排除故障的目的。

（3）数据处理

在数据处理过程中要保持一颗清醒的头脑，每一步的意义是什么，每一个

数据的含义是什么，并且要时刻注意数据的单位，在本实验中尤其需要注意长

度单位是毫米，做数据处理时千万不可将其单位忽略计成国际单位制米来计

算。单位如果发生错误，则实验数据结果没有任何意义，在数据处理过程中也

要保持严谨的态度不能大意。

2.实验感想

通过本次实验，我们掌握了除了中学时期所学的伏安法等方法意外的一种

测量电阻的方法：电桥法。并且了解了单电桥的缺陷以及由此而产生的双电桥

法。学习了平衡电桥的原理：零示法。并且在实验过程中通过换向开关的使用

了解了消除系统误差的交换测量法，亲手连接并调试了电路，增进了对电路以

十、附录

实验原始数据记录表

参考文献

[1]李朝荣，徐平，唐芳，王慕冰.基础物理实验（修订版）[M].北京：北京航空航

天大学出版社.2010.9.

[2]张平,詹士昌,陈斌.工作电流对双电桥灵敏度影响的实验研究[J].杭州师范学院学

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[3]金聪颖.双电桥测低电阻的方法分析[J].连云港职业大学学报,1999(03):30-31.

[4]张真,黄成强,杨莎.探讨惠斯通电桥的灵敏度与几种因素有关[J].考试周刊,2017(77):1

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[5]乐建新.用双电桥测量低值电阻及其灵敏度的研究[J].南昌师范学院学报,2015,36(06):

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