长沙一中2022届高三月考试卷(八)数学试题及答案

长沙市一中届高三月考试卷（八）

2022

数学

时量：分钟满分：分

120 150

注意事项：

1..

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上

2..

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上

.

无效

.

3..

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要

8540.

求的

.

1.P8mm

若角的终边过点（，），且，则的值为（）



3

tan



A. D. B. C.



3

4

33

22

11

22



2.M={123}a

已知集合，，，，若，则的值为（）

Nxx4xa0,aM

MN

A.1 B.2 C.3 D.12



2

或

3..2022

袋中装有大小相同的四个球四球上分别标有数字“”、“”、“”、“”，现从中随机选取三个球，则所选三

个球上的数字能构成等差数列的概率为（）

A. B. C. D.

2111

3324

4.2022

国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统

的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的

.

kt

污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（）与时间的关系为（为最

Nmg/Lt

NNe

0

N

0

初污染物数量）如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）小时

.420%64% .

A.3.6 B.3.8 C.4 D.4.2

5.pq

已知，为正实数且，则的最小值为（）

pq3

11



p2q1

C.A. B. D.

2579

3345

6.24.

第届冬奥会分北京、延庆、张家口三个赛区甲、乙、丙、丁、戊五名学生分别去这三个赛区担任志愿者，

1.

每个人只去一个赛区，每个赛区至少安排人学生甲不被安排到张家口赛区做志愿者的方法数为（）

A.150 B.100 C.92 D.64

7.8FFxA2P

已知等轴双曲线的焦距为，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为（，），为双

12

23

曲线右支上一动点，则的最小值为（）

PFPA

1

A. B. C. D.

222224422424

8.mnp

已知，，，则，，的大小关系为（）

23

m

32

n

522

p

B. C. D. A.

mpnpmnpnmmnp

二、选择题：本题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的

4520.

全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分

520.

9.

设，，为复数，下列命题中错误的是（）

ZZZ

123

A. B.

ZZ

11

2

2

ZZZZ

1212

D.C.

若，且，则若，则为纯虚数

ZZ

23

Z0ZZRZZ

11212

10.

下列命题中，真命题有（）

A.

“”是“”的必要不充分条件

x1

x1

Z

Z

2



3

ZZ

11

B.xy3

“若，则，中至少有一个大于”的否命题

xy6

C.

xR

0

，

2x

x

0

0

2

2

D.

命题“，”的否定是“，”

x0

xx20

2

x0

0

xx20

00



x2

,x0



x1

fx

11.m

已知为常数，函数，，若函数恰有四个零点，则





gxmx2yfxgx





lnx,x0



实数的值可以是（）

m

A. B. C. D.

21

11

32

ee

12.x.

“”表示不大于的最大整数例如，，，下列关于的性质：正确



x3.831.4244x

的有（）

A.



xyxy

B.

若，则



xyxy1

C.

若数列中，，则



b

n

bnn1

n









b2048

n1

63

n

2310



8888



D.6335

M





被除余数为



9999



三、填空题：本题共小题，每小题分，共分

4520.

13.A11=34=2=31

平面直角坐标系中，从点（，）出发，依次按向量（，），（，），（，）移动，则终

abc

5

点坐标为

________.

14.m________.

已知函数的图象关于直线（）对称，则的最大值为

fxsin3x





22







xm

0m



5

15.2t________.

若圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是



xty11

16.ABCDABCDAD=9AA=10ACD

已知长方体−中，，，过点且与直线平行的平面将长方体分成两部

11111



分，且分别与棱，交于点，

DDCCHM.

11

（）若，则三棱柱−外接球的表面积为；

iDH=DC=9ADHBCM________

（）现同时将两个球分别放入被平面分成的两部分几何体内在平面变化过程中，这两个球半径之和的

ii.



最大值为

________.

四、解答题：本题共小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

670..

17.10

（本小题满分分）

在△中，角，，所对的边分别为，，已知，且

ABCABCabc.

ab

cosAcosB3sinAcosA3sinBcosB

22

.

（）求角的大小；

1C

（）若，点为边的中点，，求的值

2DABCD=.

b3sinA

18.12

（本小题满分分）

若数列满足：对，都有（常数），则称数列是公差为的“准等差数列”



dd

nn

nN



ddd

n2n

d

（）数列中，，对，都有求证：数列为“准等差数列”，并求其通

1.



aa

nn

a2aa2n

1nn1

nN



项公式

a

n

.

13

2

n

（）数列满足：将（）中数列中的项按原有的顺序插入到数列中，使与之间

2.1



bab

nnn

b2

n

bb

kk1

插入项，形成新数列求数列前项和

2

k



CC

nn

.100.

S

100

19.12

（本小题满分分）

如图，已知在正三棱柱−中，，，，分别在与上，，

ABCABCAB=2AA=3DECCAAAE=2CD=1.

111111

（）在线段上找一点使得⊥平面，并写出推理证明过程；

1BEPDPABBA

11

（）求二面角−−的余弦值

2CBEA.

11

20.12

（本小题满分分）

冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮某校为了解全校学生“体

.

能达标”的情况，从高三年级名学生中随机选出名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”

100040

预测成绩小于分的为“不合格”，否则为合格若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级

60.5%

体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练现将这名学生

.40

随机分成甲、乙两个组，其中甲组有名学生，乙组有名学生经过预测后，两组各自将预测成绩统计分

2416.

析如下：甲组的平均成绩为，标准差为；乙组的平均成绩为，标准差为（数据的最后结果都精确到

704806.

整数）

（）求这名学生测试成绩的平均分和标准差；

140s

x

（）假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布（，），用样本平均数作为的估计值，用

2Nμμ



2

x



样本标准差作为的估计值利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；

s.





（）为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战每场挑战赛都

3.

采取七局四胜制积分规则如下：以：或：获胜队员积分，落败队员积分；以：或：获胜队

.4041404243

员积分，落败队员积分假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为

31.3

分的条件下，他前局比赛都获胜的概率

3.

附：

2

3

1

n

22

①个数的方差

n

s(xx)



i

n

i1

②若随机变量～（，），则，

ZNμ



2

PZ0.6826





P2Z20.9544P3Z30.9974





，

.

21.12

（本小题满分分）

平面内两定点（，），（，），点为坐标原点，动点满足的中点在⊙：

F0F0OPFPEO

122

66

xy9

22

上，点在上且

QFP.

1

QEFP0

2

（）求动点的轨迹的方程；

1QC

（）过点（，）分别作两条直线与轨迹交于点，点线段的中点为，线段的中点为，

2D30CAB.DAMDBN

若⊥，求证：直线过定点

OMONAB.

22.12

（本小题满分分）

已知函数，且

fx



aalnx

3

fx0



.

xxx

12

（）求实数的值：

1a

（）求证：存在唯一的极小值点，且

2.

fxefxe



x

0

0

（）设对，，

3.

FxxfxaGxxxbsinx



a1

2

x0,







x2

2

Fx1Gx



恒成立，求实数的取值范围

b.

1

xxlnx1

2



（参考结论：，）

x0

2

2

sinx

长沙市一中届高三月考试卷（八）

2022

数学参考答案

一、二、选择题

.

1.A A.

【解析】∵，∴，故选

tanm



331

8m42

2.C a123.C.

【解析】逐一取的位为，，即得故选

3

3.D 3

【解析】从四个球中任取个，共有种不同的取法，其中能成等差数列的三个数的情况只有一种，

C4

4

为“”、“”、“”所以概率为，故选

222.D.

1

4

4k4k

4.C .

【解析】由题意可得，可得设，可得

NeNe

00

2

44

4



Ne0.64NN

000

k



55



5

2

eee

k4k8k



，解得因此，污染物消除至最初的还需要小时故选

t8

.64%4.C.

5.A

【解析】由可知，

pq3p2q16



1111p2q111p2q1112



2



，当，

p2q1



p2q1p2q16636q1p2363







p1

即时，“”成立，故选





A.



q2

22



121

CC

42

A443256CC



；【解析】若只有人去张家口赛区做志愿者，

6.B 1



424

2

A



2

212

若恰有人去张家口赛区做志愿者，有；

2

CCA63236

432

32

若有人去张家口赛区做志愿者，有，

3

CA428

42

所以共有种安排法，故选

56368100

B.

7.D

【解析】如图，由双曲线定义得①，又由三角形三边关系可得②

PFPF2aPAPFAF

1222

（当点为与双曲线的交点时取到等号）得：，故

P.

AF

2

①②

PFPA2aAF

12



PFPA2aAF

D.

12

min

，由双曲线为等轴双曲线，且焦距为可得：，则，

8

ab8cab16

22222

223AF4

2

a22

，，，，则，故选

c4

F4,0

2



2



2



PFPA2aAF424

12

min

8.B

【解析】，

mlog3log3log22log22p

2445

plog22log8log8log2m

525273

，故选

B.

.AAC

【解析】由复数的性质和运算法则可得对于选项；取，可知错误；对于选项：取，

ZiZZ0

112

可知错误故选

C.AC.

A

【解析】对于选项，，所以不是充分条件；又，所以是

x1x1x1x1x1

必要不充分条件，选项正确；对于选项，“若，则，中至少有一个大于”的否命题为“若

ABxy3

xy6

xy6

，则，都不大于”这是个假命题，故选项错误；对于选项，取可知选项正确；

xy3.BCC

x1

0

命题“，”的否定是“，”，故不正确，故选

x0x0

xx20xx20

22

DAC.

.

【解析】为共一个零点当时，将化为，其中

x0x0

fxgx0mhx





1



,x0

x1



1



lnx2

hx,0x1





，要有三个零点，如图可得或，故选

em1

m

3

AC.

x

e





lnx2



x

,x1



ABC

【解析】由定义可知，选项、正确；对于选项：由可得

nnn1n1

2



2

nnn1n1



，∴，，故选项错误；对于选项：对任意自然

bn

n



b2016

n

n1

63



16363

2

CD

2k12k2k12k



8888

888

2k12k2k12k

8

2k1

181

，数，与均不是整数，且∴当，

k



k1

8

2k1

9999

999

9



时，，当时，

8177mod63

2k1



k1

k2

88648631863CC6363C63C631

2k1k11k2k12k352k2k



∴，∴，故选项正确：故选

817mod63M5735mod63

2k1



kk11k1k1

，



DABD.

三、填空题

13. 8.



9,1abc8,0A1,19,1

【解析】，所以从点出发，向右移动个单位，终点坐标为

14.







23



【解析】得函数图象的对称轴：

3xkkZ





fxsin3x





5



52

30

kk





mkZ kZx



，依题意，，而，于是得，当时，

0mk2



k0,1,2



103103

23



23



m

max

. m

，所以的最大值为

30

30

15.

22,00,22

【解析】与圆相交，则，得

xy4

22



x1y11

1t13

2



22

t22,00,22

.

16.i ii i

（）（）【解析】（）由，可将三棱柱补型成一

243DHDCDA9ADHBCM



1965

个棱长为的正方体，该正方体的体对角线长为，故外接球半径，所以外接球的表面积为

9

93

R



93

3

4R243



2

.

（）如图，这两个球在长方体左侧面上的投影为两个大圆，都与直线相切设两圆半径分别为，，

ii.

AH

r

1

r

2

r

HAD



，由得，同理，，得，由已

tan

1

r

1

29r

1











2

r

r51tan

2



tan

2

2



2



1tan

210r

2

2

9tan





知，，，，令，则，，构造函数

tan0,







9x9x



10

r51x

tanxrfx51x



x0



2

1

9

21x1x



9

2

则，，当时，，单调递增；当

fx50







1x

∴

x1

0

3



3

x0,1



fx0fx





5

5





33

x1,fxf11965



时，，∴单调递减，∴经检验，当

fx0fx







max

.



55



10

35

tan0,



tan1

时，，故的最大值为



rr

12

1965

.



9

25



四、解答题

17.

【解析】由题意得：，

1cos2A1cos2B33

sin2Asin2B

2222

∴，∴





3131

sin2Asin2B

sin2Acos2Asin2Bcos2B



.

66



2222

∵，∴，又，∴，

ab

AB

AB0,





2A2B



66



∴，∴……分

ABC

2





.5

33

2

9CB3CB

CACB

（）由可得，

2

CD

13



2

44

∴，∴

a3a4

2

a1

.

∴，即

c19231cos7

2



3

c7

.

17

21



.10

……分∴得

sinA



sinA

sin

14

3

18.1

【解析】（）∵，∴，

aa2n

nn1

aa2n1

n1n2



两式相减得，所以数列为“准等差数列”……分

aa2

n2n



a

n

.3

∵，∴，∴的奇数项成以为首项，为公差的等差数列，

a2a0

12



a

n

22

故，

a2k

2k1

kN



.

的偶数项成以为首项，为公差的等差数列，

02



a

n

故，，

a2k2

2k

kN



综上可得……分

a

n





n1,n为奇数,

6



n2,n为偶数.

（）由题意可知，在数列的前项中，数列一共有项，共中项为奇数项，项为偶数项，

2100944747



Ca

nn

数列一共有项……分



b

n

6.8

∴……分

Sbbbaaa

1001261294

10

47244544

212



6

122

4746

.12

……分

19.1PF

【解析】（）取的中点，的中点，连接，，，

BEABPDPF

CF

1

AEPF

，则，

2

所以，且，故四边形为平行四边形，所以，

PF∥CDPFCDPFCDDP∥CF

PF∥AE

由正三棱柱，知为等边三角形，则，……分

ABCABC

111

△ABCCFAB

3

因为平面，所以，又，、平面，

AAAAABBA

1111

ABC

AACFAAABA

11

AB

所以平面，所以平面，

CF

ABBAABBA

1111

DP

故当点为线段的中点时，使将平面……分

P.6

BEPD

ABBA

11

（）以为坐标原点，，，分别为抽，抽，抽正方向建立空间直角坐标系，

2Fxyz

FBFP

FC

则，，，，……分

B1,0,0E1,0,2



C0,3,3C0,3,0

1

7

则，，

BC1,3,3

1

BE2,0,2







由（）如，平面，所以平面的一个法向量，……分

18

FC

BEABEA

11

m0,1,0



设平面的法向量为，

CBE

1

nx,y,z







nBE0,





2x2z0,

则即





x3y3z0,







nBC0,



取，……分

n3,2,3



10

mn210

mn

cosm,n

，所以

5

1343

10

.12

……分又二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为

5

CBEACBEA

1111

70248016

74x

，……分【解析】

1 20.

40

1

222222





xx4x2470s

12124

；第一组学生的方差为



2.4

解得；

xxx241670

1224

第二组学生的方差为；

sx6xx1680

2252640

2222

222222

2222



1







16

解得

xxx163680

252630



.

22222222

这名学生的方差为

40

sxxxxxx40x

1





1224252640



40

241670163680407448

1





222

，



40

487s

.5

……分所以

（）由，，得的估计值，的估计值

2.

x74s7





74





7

P2X2P60X880.9544





，……分

6

10.9544

0.0228PX60PX88

.

2

从而高三年级名学生中，不合格的有（人），……分

10007

10000.022823

2350

5%

，所以高三年级学生体能达标为“合格”……分又

.8

10001000

∴



（）设王强在这轮比赛得分为事件，他以的比分获胜为事件，他以的比分获胜为事件

33A.

4:24:3

A

1

A

2



212160

则，

PAC



15





3333

3

53

32

6

320212

3



；

PAC



26



7



3333

所以，……分

P(A)PAPA



12

800

10

3

7

3552

设王强前局比赛获胜的事件为，

3B



21221264

则，…分

PAB





7

11



3333333

∣APB

所以分



PAB



642

.12

PA80025



21.1E

【解析】（）连接，∵，为的中点，

QFQEFPFP

222

∴，又，∴，

QFQPOE3PF6

21

∴

QFQF6

12

.

所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆……分

Q.3

F

1

F

2

∴，，∴，，

2a6a3

c6

b3

2

xy

22

∴轨迹的方程为……分

C.5

1

93

（）解法：①当直线的斜率存在时，设直线，

21

AB

AB:ykxm



ykym



22

222

3k1x6kmx3m90

，，∴





xy

1



39



设，，则，

Ax,yBx,y



1122

M,N,





x3yx3y

1122

,

2222



6km

3m9

2

∵，，……分

xx

12

2

xx

12

7

3k1

3k1

2

129km3



22

，

yy

12



yy

12

22

1kk

，∵，∴

x3x3

12



x3x3

12



22

OMON

OMON

3m96km

2

即，……分



k1km3m90

22

8



22

3k13k1

即，∴，

9k9km2m0

22



3k2m3km0

∴或……分

m3k

mk

3