数学悖论与数学危机
数学悖论与数学危机
【摘要】数学⼀向以逻辑严谨著称，但数学的发展也不是⼀帆风顺的，总是不时的发⽣各式各样的危机.其突出的表现就是出现悖论.数学史上共出现了三次⼤的数学危机，且都与悖论有关.本⽂主要描述了这三次数学危机的发⽣、发展和解决过程，详细讨论了分别与它们相伴的希帕索斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论，特别是介绍了数学⼤师们在解决这些悖论和危机的过程中⽽做的艰⾟努⼒以及取得的⼀系列的重⼤成就.因此，数学悖论的产⽣和危机的出现并不可怕，它们尽管会在⼀定时间内给⼈们带来⿇烦和迷茫，但危机的解决也会促进数学观念的突破和创新从⽽极⼤的推动数学科学的发展.
【关键词】数学悖论；数学危机；希帕索斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论
Mathematical Paradoxes and Mathematical Cris 【Abstract】Mathematics has always been known as strict, but the development of mathematics was not easy and it was always full of a wide range of cris. Its outstanding performance is the emergence of the paradox. There were three major mathematical cris in the history of mathematics which are all related to some kind of paradox. This paper describes the origin, development and ttlement process of the three mathematical cris, and discuss ed the Pythagoras paradox, Berkeley paradox,Rusll paradox respectively. It was especially i
ntroduced the hard work and a ries of great achievements in addressing the paradoxes by mathematical masters. So, the appearance of the mathematical paradox and mathematical crisis was not terrible, although it will lead to trouble and confu to us in a period of time, the resolution of the paradox will also promote the mathematical concept innovation and greatly promoted the development of mathematical sciences. 【Key Words】Mathematical paradox; Mathematical crisis; Pythagoras paradox; Berkeley paradox; Rusll paradox
⽬录
1 引⾔ (1)
2 第⼀次数学危机与希帕索斯悖论 (1)
2.1 第⼀次数学危机的产⽣和解决 (1)
2.2 第⼀次数学危机的影响 (3)
3 第⼆次数学危机与贝克莱悖论 (3)
3.1 第⼆次数学危机的产⽣和解决 (3)
3.2 第⼆次数学危机的影响 (5)
4 第三次数学危机与罗素悖论 (5)
4.1 第三次数学危机的产⽣ (6)
4.2 第三次数学危机的发展 (6)
4.3 第三次数学危机的影响 (8)
5 结论 (8)
参考⽂献 (9)
致谢 (10)
数学悖论与数学危机
1 引⾔
悖论是⼀种认识⽭盾，常常以逻辑推理为⼿段，深⼊到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论体系
中潜藏着的⽆法回避的⽭盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机. 科学危机的产⽣，往往是科学⾰命的前兆和强⼤杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开始进⼊新阶段的重要标志. 数学悖论作为悖论的⼀种，主要发⽣在数学研究中. 数学⼀向以严谨著称，但依然存在着悖论. “现在我说的是⼀句假话. ”这句话是真是假？假定它为真，将推出它的假；假定它为假，将推出它为真. 这个以“说谎者悖论”⽽闻名的命题⾃公元前4世纪就开始流传，迄今为⽌仍然以其特有的美丽吸引着为数众多的⼈们. 悖论的吸引⼒可见⼀斑. 历史上⼀连串的数学悖论动摇了⼈们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发⽣了三次数学危机. 第⼀次数学危机源于希帕索斯悖论，它的出现促使⼈们去认识和研究⽆理数. 第⼆次数学危机源于贝克莱悖论，许多数学家从不同的⾓度进⾏研究、探索，进⼀步完善了微积分体系. 第三次数学危机源于罗素悖论，他指出集合论是不完善的，时⾄今⽇，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决. 然⽽，⼈们正向根本解决的⽬标逐渐接近
[1].
本⽂主要介绍了三次数学危机产⽣的原因，具体的发展，最后如何解决以及它给数学带来的影响. 通过这三次数学危机，让⼈们了解到数学的发展历程，更认识到悖论对数学的巨⼤推动作⽤.
2 第⼀次数学危机与希帕索斯悖论
2.1第⼀次数学危机的产⽣和解决
第⼀次数学危机的产⽣和勾股定理密切相关，现在先介绍勾股定理的发现者毕达哥拉斯. 毕达哥拉斯⽣活在公元前六世纪，是古希腊著名数学家，他的⼀⽣极富传奇⾊彩，年轻时他曾游历东⽅，去过许多国家，年近半百回到故乡开始讲学. 在⼴收门徒后，毕达哥拉斯建⽴起来⼀个组织严密，带有宗教⾊彩的学派. 在毕达哥拉斯的领导下，该学派进⾏了多⽅⾯的研究⼯作. 毕达哥拉斯学派倡导的是⼀种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐. 他们认为万物皆数，⽽数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的⽐），除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数. 毕达哥拉斯学派在数学上的⼀项重⼤贡献是证明了毕达哥拉斯定理，也就是⼈们所说的勾股定理.
希帕索斯是毕达哥拉斯的学⽣，当他在研究勾股定理时突然发现正⽅形的边长和其对⾓线的⽐值既不是⼀个整数，⼜不是⼀个分数. 也就是说，它不是⼀个有理数. 现在我们知道，希帕索斯发现了了第⼀个⽆理数2.这⼀发现直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之⼤为恐慌. 许多建⽴在任何量可公度理论上
的论断居然被2推翻了！⽐如，在证明“等⾼的三⾓形的⾯积之⽐等于底边长度之⽐”的时候，就是这样证明的：
如图，ABC ?和ADE ?，他们的底BC 和DE 在阿同⼀条直线MN 上．两三⾓形等⾼．毕达拉斯学派依据任何两个长度可公度理论，设BC 和DE 的公度单位为d ，BC nd =，DE md =. 把BC 分为n 等分，等分点分别与定点相连，则将ABC 分为n 个底边长度为d 的⼩三⾓形；同样把ADE 为m 个底边长度为d 的⼩三⾓形. 这些⼩三⾓形等底等⾼，因⽽⾯积相等，记为s ,⽽ABC S ns ?=，ADE S ms ?=. 故:::ABC ADE S S
ns ms BC DE ??==. 命题得证[2].
由于不可度量的发现，这⼀证明就完全失效了. 因为建⽴在证明之上的基础已经坍塌了. 于是，建⽴在“任何两条线段都可通约”的基础上的数学结论失去了根基，所有那些建⽴在这⼀假设基础之上的证明都被粉碎了，已经确⽴的⼏何学的许多定理不得不随之⽡解了. ⽽最为令⼈尴尬的是，⼈们是相信这些定理的正确性的，只是随着不可公度量的发现，他们拿不出有⼒的证据来⽀持他们的观点. 这就是⼈们有时所谓的希腊⼏何的“逻辑耻辱”.
实际上，这⼀伟⼤发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击. 对于当时所有古希腊⼈的观念这都是⼀个极⼤的冲击. 这⼀结论的悖论性表现在它与⼈们的直觉相冲突. 它简直把以前所知道的事情根本推翻了. 更糟糕的是，⾯对这⼀荒谬⼈们竟然毫⽆办法，因为连毕达哥拉斯也找不出这⼀论断的⽑病. 这就
在当时直接导致了⼈们认识上的危机，从⽽导致了西⽅数学史上⼀场⼤的风波，史称“第⼀次数学危机”.
这个问题⼀直没有得到很好的解释，直到⼆百年后，才华横溢的欧多克索斯建⽴起⼀套完整的⽐例论. 欧多克索斯的巧妙⽅法可以避开⽆理数这⼀“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的⼀些结论，从⽽解决了由⽆理数出现⽽引起的数学危机. 欧多克索斯的解决⽅案其中⼼概念⽤现代符号可简述为：::a b c d =就是指对任何正整
数学悖论与数学危机
数,m n ：只要ma nb >，就有mc nd >；只要ma nb =，就有mc nd =；只要ma nb <，就有mc nd <；
可以⽤欧多克索斯的思想证明“等⾼的三⾓形的⾯积之⽐等于底边长度之⽐”，就避免了这些问题. 这⾥不再证明. 欧多克索斯的解决⽅式，是借助⼏何⽅法，通过避免直接出现⽆理数消除了由悖论引起的第⼀次数学危机. 但这就⽣硬地把数和量肢解开来. 在这种解决⽅案下，对⽆理数的使⽤只有在⼏何中是允许的，合法的，在代数中就是⾮法的，不合逻辑的. 或者说⽆理数只被当作是附在⼏何量上的单纯符号，⽽不被当作真正的数. ⼀直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是⽆理数时，拥护⽆理数存在的⼈才多起来. 到⼗九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建⽴起来后，⽆理数本质被彻底搞清，⽆理数在数学中才真正扎下了根. ⽆理数在数学中合法地位的确⽴，⼀⽅⾯使⼈类对数的认
人员架构识从有理数拓展到实数，另⼀⽅⾯也真正彻底、圆满地解决了第⼀次数学危机.
2.2 第⼀次数学危机的影响
第⼀次数学危机的影响是巨⼤的，它极⼤的推动了数学及其相关学科的发展. ⾸先，第⼀次数学危机让⼈们第⼀次认识到了⽆理数的存在，⽆理数从此诞⽣了，之后，许多数学家正式研究了⽆理数，给出了⽆理数的严格定义，提出了⼀个含有有理数和⽆理数的新的数类——实数，并建⽴了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础. 再者，第⼀次数学危机表明，直觉和经验不⼀定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊⼈开始重视演绎推理，并由此建⽴了⼏何公理体系[3]. 欧⽒⼏何就是⼈们为了消除⽭盾，解除危机，在这时候应运⽽⽣的. 第⼀次数学危机极⼤地促进了⼏何学的发展，使⼏何学在此后两千年间成为⼏乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的⼀次巨⼤⾰命.
3 第⼆次数学危机与贝克莱悖论
3.1 第⼆次数学危机的产⽣和解决
第⼆次数学危机源于对微积分⼯具的使⽤. 伴随着⼈们科学理论与实践认识的提⾼，⼗七世纪⼏乎在同⼀时期，微积分这⼀锐利⽆⽐的数学⼯具为⽜顿、莱布尼兹各⾃独⽴发现. 这⼀⼯具⼀问世，就显⽰出它的⾮凡威⼒. 许许多多疑难问题运⽤这⼀⼯具后变得易如翻掌. 但是不管是⽜顿，还是莱布尼兹
所创⽴的微积分理论都是不严格的. 两⼈的理论都建⽴在⽆穷⼩分析之上，但他们对作为基本概念的⽆穷⼩量的理解与运⽤却是混乱的. 因⽽，从微积分诞⽣时就遭到了⼀些⼈的反对与攻击. 其中攻击最猛烈的是英国⼤主教贝克莱.
贝克莱主教1734年以“渺⼩的哲学家”之名出版了⼀本标题很长的书，在这本
书中，贝克莱对⽜顿的理论进⾏了攻击. 例如他指责⽜顿，为计算⽐如说 2x 的导
数，先将x 取⼀个不为0的增量x ?，由，得到22()x x x ?+? ，后再被x ?除，得到2x x +? ，最后突然令 0x ?= ，求得导数为2x .这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”. 因为⽆穷⼩量在⽜顿的理论中⼀会⼉说是零，⼀会⼉⼜说不是零.
2x x +? ，最后突然令 0x ?= ，求得导数为2x . 这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”. 因为⽆穷⼩量在⽜顿的理论中⼀会⼉说是零，⼀会⼉⼜说不是零.
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”. 笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“⽆穷⼩量究竟是否为0 ”的问题：就⽆穷⼩量在当时实际应⽤⽽⾔，它必须既是0，⼜不是0. 但从形式逻辑⽽⾔，这⽆疑是⼀个⽭盾. 贝克莱是利⽤微积分来为神学辩解，妄图证明数学是建⽴在不稳定的基础上，并以此来维护宗教哲学. 然⽽不可否认的是，他的抨击将微积分在概念、基础⽅⾯的缺陷和漏洞来了个⼤曝光. 这⼀问题的提出在当时的数学界引起了⼀定的混乱，由此导致了第⼆次数学危机的产⽣.
针对贝克莱的攻击和嘲讽，⽜顿与莱布尼兹都曾试图通过完善⾃⼰的理论来解决，但虽经多次尝试，最终都没有获得完全成功. 这使数学家们陷⼊了尴尬境地. ⼀⽅⾯微积分在应⽤中⼤获成功，另⼀⽅⾯其⾃⾝却存在着逻辑⽭盾，即贝克莱悖论. 这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？经过⼀个多世纪的漫漫征程，⼏代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗⽇、贝努利家族、拉普拉斯以及欧拉等⼈的努⼒，微积分理论获得了空前丰富. 复变函数，微分⼏何，解析⼏何，变分法，⽆穷级数等都是在18世纪成长起来的，并逐渐形成了称为“数学分析”的⼴⼤领域，与代数、⼏何并成为数学三⼤学科.
然⽽，与此同时⼗⼋世纪不严密的⼯作也导致了谬误越来越多的局⾯，不和谐的声⾳开始震惊数学家们. 问题的严重性在于当时分析中任何⼀个⽐较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、⾼阶微分的使⽤以及微分⽅程解的存在性……都⼏乎⽆⼈过问. 尤其到⼗九世纪初，傅⽴叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露. 下⾯仅举⼀⾮常有名的⽆穷级数为例：
⽆穷级数1111S =-+-+ 到底等于什么？
当时⼈们认为⼀⽅⾯(11)(11)0-+-+= S=；另⼀⽅⾯，
1(11)(11)1+-+-+= S=；
再有就是 S=1-(1-1+1-1+1)=1-S ，
所以12S =.
那么岂⾮0112＝＝？这⼀⽭盾竟然使傅⽴叶那样的数学家困惑不解，甚⾄连被后⼈称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下错误[4]. 他在得到 23111n X X X X X ++++++=- 后，
令 1X =-，得出 1111112S =-+-+-= ；
数学悖论与数学危机
令2X =，得出1124816112+++++==--
⽽这样的荒谬结果欧拉也接受了.
奋不顾身造句使分析基础严密化的⼯作由法国著名数学家柯西迈出了第⼀⼤步. 柯西于1821年开始出版了⼏本具有划时代意义的书与论⽂.其中给出了分析学⼀系列基本概念的严格定义. 如他开始⽤不等式来刻画极限，使⽆穷的运算化为⼀系列不等式的推导. 这就是所谓极限概念的“算术化”. 后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的⼈们⽬前所使⽤的“εδ- ”⽅法. 另外，在柯西的努⼒下，连续、导数、微分、积分、⽆穷级数的和等概念也建⽴在了较坚实的基础上. 不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建⽴起来，所以柯西的极限理论还不可能完善. 柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德⾦、康托尔各⾃经过⾃⼰独⽴深⼊的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七⼗年代各⾃建⽴了⾃⼰完整的实数体
系. 魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德⾦建⽴了有名的戴德⾦分割；康托尔提出⽤有理“基本序列”来定义⽆理数. 1892年，另⼀个数学家创⽤“区间套原理”来建⽴实数理论. 由此，沿柯西开辟的道路，建⽴起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基⼯作.数学分析的⽆⽭盾性问题归纳为实数论的⽆⽭盾性，从⽽使微积分学这座⼈类数学史上空前雄伟的⼤厦建在了牢固可靠的基础之上. 重建微积分学基础，这项重要⽽困难的⼯作就这样经过许多杰出学者的努⼒⽽完成了. 微积分学坚实牢固基础的建⽴，结
束了数学中暂时的混乱局⾯，同时也宣布了第⼆次数学危机的彻底解决.
3.2 第⼆次数学危机的影响
第⼆次数学危机由⼈们对⽆穷量的探索⽽起，⽽贝克莱悖论是这⼀危机的直接导⽕索. 这⼀危机的产⽣、发展和解决造就了18世纪分析学的辉煌，18世纪因⽽被称为“分析时代”. ⼀代代数学先驱为将数学分析建⽴在严格坚实的基础之上⽽不懈奋⽃，直到1889年，⽪亚诺给出了举世闻名的⾃然数公理，建⽴起⾃然数的⽪亚诺公理系统，在⾃然数公理的基础上简明扼要地建⽴起了⾃然数系. 数学分析基础依赖于实数，实数依赖于有理数，⽽有理数最终依赖于⾃然数. ⼀旦对⾃然数的逻辑处理完之后，实数的基本问题也就宣告完备了[5]. 再经过这样⾃上⽽下的基础重建⼯程后，数学分析完全建⽴在实数理论基础之上了. 于是，随着分析的算术化，建⽴在⼗数理论之上的微积分理论有了严格的基础. 微积分学⽆论在基本概念，还是逻辑严密性，形式严谨性上，都有如欧⼏⾥得⼏何学⼀般的令⼈惊叹.
4 第三次数学危机与罗素悖论
4.1 第三次数学危机的产⽣
⼗九世纪下半叶，康托尔创⽴了著名的集合论，在集合论刚产⽣时，曾遭到许多⼈的猛烈攻击. 但不久这⼀开创性成果就为⼴⼤数学家所接受了，并且获得⼴泛⽽⾼度的赞誉. 1903年，⼀个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的. 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论.
把所有集合分为2类，第⼀类中的集合以其⾃⾝为元素，第⼆类中的集合不以⾃⾝为元素，假令第⼀类集合所组成的集合为P，第⼆类所组成的集合为Q，于是有：
{}
=∈
|
P A A A
{}
=?
Q A A A
|
那Q P
∈？
∈还是Q Q
若Q P
∈，但是Q中任何集合∈，那么根据第⼀类集合的定义，必有Q Q
都有A A
的性质，因为Q Q
∈，根据第⼀类
，
引出⽭盾. 若Q Q
∈，所以Q Q
集合的定义，必有Q P
，还是⽭盾.
∈，⽽显然P Q
=，所以Q Q
这就是著名的“罗素悖论”. 罗素悖论还有⼀些较为通俗的版本，如理发师悖论等，这⾥不再详细叙述.
4.2 第三次数学危机的发展电邮格式
罗素的悖论发表之后，许多以前古⽼悖论进⼊了数学家们的视野，⼀连串的悖论相继提出并产⽣了第三次数学危机后，众多数学家开始分析悖论产⽣之因，并寻求消除悖论的解决⽅案.
对悖论做出分析，并从原则上确定消除悖论的⽅法是通向解决的第⼀步. 下⼀步是如何在数学中贯彻相应的原则，完善集合论，改造数学. 这⾥介绍⼀种被证实极为有效的途径：集合论的公理化⽅案.190
8年，数学家策梅罗做出了第⼀次成功的尝试.那年，他发表了⼀篇名为《关于集合论基础的研究》建⽴了集合论公理体系，他给出了7条公理：外延公理、初等集合公理、分离公理、幂集合公理、并集合公理、选择公理、⽆穷公理[2].
在策梅罗的这种处理下，集合论变成⼀个完全抽象的公理化理论，在这样⼀个公理化的理论中，集合这个概念不加定义，它是满⾜上述7条公理的条件的“对象”. 1930年，策梅罗采纳了弗兰克尔、斯科朗和冯诺依曼的建议，对原公理体系加以严格处理及补充，从⽽得到更为严谨的集合论公理系统，并取策梅罗、弗兰克尔的名字的⾸字母记做ZF. 这⼀公理化集合系统很⼤程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷. 如果在ZF系统中再加上选择公理，就构成ZFC系统，只要这个系统⽆⽭盾，那么严格的微积分理论就能在ZFC公理集合论上建⽴起来. 然⽽ZFC系统本⾝是否
数学悖论与数学危机
保证不会出现新的⽭盾呢?这也是任何公理系统必须解决的相容性问题，但⽬前尚⽆证明.危楼高百尺是什么诗
集合论公理化运动是假定了数学运⽤的逻辑本⾝不成问题，但数学家们对于这⼀前提陆续提出了不同观点，并形成了关于数学基础的三⼤学派，即以英国哲学家兼数学家罗素为代表的逻辑主义学派，以荷兰数学家兼哲学家布劳威尔(L·E·Brouwer)为代表的直觉主义学派和以德国数学家希尔伯特(D·Hilbert)为代表的形式主义学派.
逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的《数学的原理》中已有⼤概的轮廓，罗素后来与怀特⿊德(A·Whitehead)合著的《数学原理》是逻辑主义的权威性论述. 罗素认为,“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来. 尽管逻辑主义学派在数学上不能⾃圆其说，但逻辑主义以纯粹符号形式实现逻辑的彻底公理化揭⽰了数学和逻辑的关系，对于当今计算机的研制和⼈⼯智能的研究有重⼤现实意义. 特别是罗素、怀特⿊德《数学原理》⼆、三卷提出的“关系算术理论”建⽴了完整的命题演算与谓词演算系统，这⼀切构成了对现代数理逻辑的重⼤贡献. 另外，罗素的类型论对于排除悖论具有重要的意义.
团委工作职责直觉主义特别强调⼈的直觉对数学概念的作⽤. 其基本思想是：数学独⽴于逻辑，数学的基础是⼀种能使⼈认识“知觉单位”以及⾃然数列的原始直觉. 坚持数学对象的“构造性”定义，是直觉主义哲学的精粹. 今天直觉主义提倡的构造性数学已成为数学科学中⼀个重要的学科体系，并与计算机科学密切相关. 直觉主义的缺陷是严格限制使⽤排中律，使古典数学中⼤批受数学家珍视的东西成为牺牲品.
ps钢印形式主义纲领的要旨是将数学彻底形式化为⼀个系统. 在这个形式系统中,⼈们必须通过逻辑的⽅法来进⾏数学语句的公式表述，并⽤形式的程序表⽰推理：确定⼀个公式——确定这个公式蕴含另⼀个公式——再确定这第⼆个公式，依此类推，数学证明便由这样⼀条公式链构成. 在这⾥，语句只有逻辑结构⽽⽆实际内容，从公式到公式的演绎过程不涉及到公式的任何意义，这是形式主义与逻辑主义的重要区别. 对于任何形式系统确⽴其相容性是形式主义纲领的⾸要任务. 希尔伯特提出了⼀套直接证明
形式系统相容性的设想，这套设想被称之为“证明论”或“元数学”，它是形式主义纲领的核⼼. 1931年奥地利数学家哥德尔证明的⼀条定理出乎意料的揭⽰了形式主义⽅法的内在局限，明⽩⽆误地指出了形式系统相容性在本系统内不能证明，从⽽使希尔伯特纲领受到了沉重的打击. 这就是著名的“哥德尔不完全性定理”. 希尔伯特的形式主义计划虽然没全部实现，但是，他创造的“元数学”(对“对象系统”进⾏研究时所⽤到的数学理论)已成为⼈类的重要数学宝藏. “证明论”(把数学证明作为对象进⾏研究)这样新兴数学分⽀的产⽣，使数学研究达到了⼀个新的⾼度. 公理化思想也对现代数学和物理学的许多分⽀产⽣了深刻的影响[6-8].
上述关于数学基础的三⼤学派论战，都未能对数学基础问题做出令⼈满意的解
答，没有得到明确的结论. 但他们各⾃发展了⼀套精致⽽深奥的理论，推动了数学的发展，将⼈们对数学基础的认识引向了空前的深度. 三⼤学派在基础问题上积累的深刻的结果，都被纳⼊数理逻辑研究的范畴⽽极⼤地推动了现代数理逻辑的形成与发展，并产⽣了⼀批现代数学家.
瑜伽球怎么充气4.3 第三次数学危机的影响
搽的意思然⽽，第三次数学危机的解决也留给数学家们⼀些令⼈困惑的问题. 例如在消除悖论时⽤到了重要的选择公理，然⽽⽤选择公理也可以证明出⼀些荒唐的结论[9]；且每⼀种选择都会导致⽆法控制的后果，这种选择使数学家在数学基础研究中陷⼊了新的困境. 问题还在于⽆论如何选择都意味着集合论
可以有许多发展⽅向，⽽在集合论基础上建构的数学，⼈们就有了多种不同的作法. 在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟. 然⽽，⽭盾和⼈们意想不到的事仍然不断出现，⽽且今后仍然会这样. 这表明，⼈们可以构造出多种数学. 数学的确定性是否就此丧失了呢？数学的真理性是否已经划上句号了呢？这是否证明数学具有不可靠性？第三次数学危机表⾯解决了，实质上以更深刻的其他形式延续着.
5 结论
本⽂介绍了历史上的三次数学悖论，并探讨由此引发出的三次数学危机：⽆理数的危机、微积分的危机、集合论的危机. 虽然前两次危机已经解决，可第三次危机⾄今还没有完美解决，数学的发展还在继续. 数学危机不仅不会引起数学研究的萧条，反⽽刺激数学学科本⾝的发展和⼀些原有数学观念的突破和创新. 数学中悖论和危机的历史也说明了这⼀点：已有的悖论和危机
