什么人不能坐飞机经典层合板理论（CLPT）
杜宜坤
莫斯科国立大学力学数学系
仅以此文来复习整理一下复合材料理论的学习，水平有限，如有错误请指正。
1.前提假设
经典层合板理论是建立在基尔霍夫假设之上。基尔霍夫假设就三点。
1．变形前垂直于中面的直线在变形后仍保持直线。
2．这条垂直于中面的直线在变形过程中的长度不变。
3．这条垂直于中面的直线在变形后仍垂直于中面。
这三点说的是啥意思呢？我们可以想象一下，一块矩形板放在三维直角坐标系里，中面于XOY面重合，两条邻边分别和x轴，y轴重合。前两条的意思就是说板在z方向的法向应变为0，即εzz=0。第三条的假设导致板的横向剪切应变为0，即εxz=εyz=0
春节团拜会主持词其实这个理论如果放在梁理论里面就是欧拉-伯努利梁。不考虑横向的剪切应变。若考虑横向剪切应变的梁则为铁木辛柯梁理论，若应用在板则是一阶剪切变形层合板理论(The First-Order Shear Deformation Laminated Plate Theory)。这个以后我会整理。
2.点的位移
废话不说，直接上图(3.32)。
基于上述假设。我们可以得出板上任意一点（x,y,z）的位移。
u=u0−z ∂ω0∂x
v=v0−z ∂ω0∂y
w=ω0
注意：在经典层合板理论中，挠度ω是关于坐标z的函数。而在一阶剪切变形理论中，变形后的横向法线不再垂直于板的中面。因此挠度ω不再是关于z 的函数。
3.应变
位移方程写完了再来看应变。这里分两种情况，
情况1. 板的变形为小挠度，小变形。属于线弹性范围内。
直接用弹性力学中的公式给出（很轻松随意）
εx=∂u0
∂x
−z
∂ω02
∂x2
εy=∂v0
∂y
−z
∂ω02
∂y2
蓉子
γxy=∂u0
∂x
+
∂v0
∂y
−2z
∂ω02
∂x∂y
γxz=γyz=εz=0
情况2. 板的变形为大挠度，大变形。属于超弹性范围内。应变则用下式计算。
E xx
=∂u ∂x +12[(∂u ∂x )2+(∂v ∂x )2+(∂ω∂x )2] E xx
=∂v ∂y +12[(∂u ∂y )2+(∂v ∂y )2+(∂ω∂z )2] E zz
=∂ω∂z +12[(∂u ∂z )2+(∂v ∂z )2+(∂ω∂z
)2] E xy =12[∂u ∂y +∂v ∂x +∂u ∂x ∂u ∂y +∂v ∂x ∂v ∂y +∂ω∂x ∂ω
∂y ]
E xy =12[∂u ∂z +∂ω∂x +∂u ∂x ∂u ∂z +∂v ∂x ∂v ∂z +∂ω∂x ∂ω∂z ]
E yz =12[∂v ∂z +∂ω∂y +∂u ∂y ∂u ∂z +∂v ∂y ∂v ∂z +∂ω∂y ∂ω∂z
]
当然在这种方法里我们认为变形很小，略去高阶无穷小量以后即得到情况1中的小变形公式。
4. 层合板本构方程
婚礼新娘
我们得到了应变的方程，下面重点来喽。我们将写出板的内力{N}和板的弯（扭）矩{M}。针对于单层板写成张量形式：
令κIJ 0=−ω,IJ 0
σIJ =C IJKL εKL =C IJKL εKL 0+zC IJKL κKL 0
N IJ =∫
σIJ dz h 2
⁄−h 2
⁄=∫
C IJKL εKL 0dz +∫
zC IJKL κKL 0dz h 2
⁄−h 2⁄h 2
⁄−h 2⁄ M IJ =∫zσIJ dz h 2
描写风景优美的成语
⁄−h 2
⁄=∫
zC IJKL εKL 0dz +∫
z 2C IJKL κKL 0dz h 2
⁄
−h 2
⁄h 2
⁄−h 2
⁄
我们令
周记450字∫
C IJKL dz =A;∫
zC IJKL dz =B h 2
⁄−h 2
⁄h 2
自编故事
⁄
−h 2
中考英语复习资料
⁄;∫
z 2C IJKL dz =D h 2
⁄−h 2
⁄
因此我们得出
N IJ=AεKL0+BκKL0
M IJ=BεKL0+DκKL0
Aij 为拉伸刚度矩阵, Dij 为弯曲刚度矩阵, Bij 是弯曲-拉伸耦合刚度矩阵。
如果对于层合板来说就是把每一层的结果按层数和顺序加起来，但是要注意层合板每一层的刚度矩阵C IJKL因为纤维方向和主方向的差异而不同，因此需要将每一层的刚度矩阵转换到主方向上来，将每一层的参考系转换为选定的主方向。
