第2章-矩阵及其运算（熊维玲版）
《线性代数》教案(熊维玲.第一版）第二章矩阵及其其运算第二章矩阵
【教学章节】§2.1矩阵的概念§2.2矩阵的运算【教学内容】矩阵的概念,矩阵的运算.【教学学时】2学时
【教学目的】1.理解矩阵的概念;
2.了解单位矩阵、对角矩阵、零矩阵、上(下)三角矩阵及矩阵相等的概念;3.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及它们的运算规律;4.理解方阵的幂、方阵的行列式及其性质.
【教学重点、难点】矩阵的运算【教学方法、方式】课堂讲授【教学过程】
§2.1矩阵的概念
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引例
1，从i市到j市有一条单向航线例1四城市间的单线航线通航图如右图所示,令aij
0；从i市到j市没有单向航线则此航线图可用数表表示为
0111①②10011000
③④0010
例2若n个变量某1,某2,,某n与m个变量y1,y2,,ym之间有变换关系
y1a11某1a12某2a1n某ny2a21某1a22某2a2n某n
ya某a某a某m11m22mnnm称之为一个从n个变量某1,某2,,某n与m个变量y1,y2,,ym的线性变换,其中aij为常数,显然该线性变换的系数可构成一个数表A(aij)mn表示.一滴水的旅行
例3线性方程组
a11某1a12某2a1n某nb1a21某1a22某2a2n某nb2a某a某a某bn22nnnnn11的解取决于未知量的系数aij及常数项bj.将它们按在原方程中的位置排列可得到一个数表:
信息与计算科学系韦振中第1页2022-4-28
《线性代数》教案(熊维玲.第一版）第二章矩阵及其其运算a11a21am1a12a22am2a1na2nammb1b2bm
称这一数表为矩阵,在数表两侧加上括号表示为
a11a21am1a12a22am2a1na2nammb1b2bm综上所述：所以例子中出现的数表，都是一些数按照一定的规律摆放在一起构成的一个数表阵列，统称矩阵。
一、矩阵的定义
定义1由mn个数aij排成的m行n列的数表
a111aa1222aan1n2
a2
眼镜怎么清洗最好am1am2amn称为m行n列矩阵,简称mn矩阵,记为
a11a21Aam1a12a22am2a1na2n.amn这mn个数称为矩阵A的元素,也简称为元,元素aij位于矩阵的第i行第j列,称为矩阵A的(i,j)元,矩阵A也记为Amn或(aij)mn.
注1矩阵和行列式是不同的概念,具体体现在以下几个方面:
处女座和天秤座(1)矩阵是一个数表,而行列式是一个实数;
(2)矩阵的行数和列数通常不一样,而行列式的行数和列数总是一样;(3)表示方法不一样,矩阵用表示,而行列式用表示.
二、矩阵的有关概念
1、方阵：行数与列数相等的矩阵称为n阶方阵,常记为An.
2、行矩阵和列矩阵
行矩阵——只有一行的矩阵A(a1a2an),又称行向量,也记为A(a1,a2,,an).
b1b列矩阵——只有一列的矩阵B2bn,又称列向量,也记为Bb1b2bnT.地球奥秘
信息与计算科学系韦振中第2页2022-4-28
《线性代数》教案(熊维玲.第一版）第二章矩阵及其其运算3、同型矩阵行数和列数均相等的两个矩阵称为同型矩阵.4、矩阵的相等
若A、B为同型矩阵,且对应元素相等,即aijbij(i1,2,,m；j1,2,,n),则称矩阵A与B相等,记作A=B.5、零矩阵
元素均为零的矩阵称为零矩,记为O.要注意不同型的零矩阵是不相等的.6、对角矩阵
主对角线上的元素分别为1,2,,n,其余元素为0的n阶方阵称为对角矩阵,记为
Adiag(1,2,,n).
7、单位矩阵
主对角线上的元素为1,其余元素为0的n阶方阵,记为En.
0a11a12a1na11a22a2n0a21a228、上三解阵：A；下三角阵：A0a0annn1an29、实矩阵和复矩阵
实矩阵——元素均为实数的矩阵;复矩阵——元素中有复数的矩阵.
§2矩阵的运算
一、矩阵的加、减运算
定义2.2.1设有两个mn矩阵A(aij),B(bij),称矩阵
a11b11aa21b21aam1bm1amb12b2221200annaann222bmamnb1nb2nbmn2为矩阵A与B的和,记为AB.
注1同型阵之间才能进行加法运算.
注2称矩阵A(aij)为矩阵A的负矩阵,利用负矩阵的概念可定义矩阵的减法运算:爱国情怀作文
ABA(B).
注3矩阵的加法运算满足以下运算律
①交换律——ABBA;②结合律——(AB)CA(BC);③A(A)O;AOA.OAA二、矩阵的数乘运算
花木兰怎么玩a11a21定义2.2.2称矩阵am1a12a22a1na2nam2amn为数与矩阵A的乘积,记为A或A.信息与计算科学系韦振中第3页2022-4-28莫迪是什么种姓
《线性代数》教案(熊维玲.第一版）第二章矩阵及其其运算注矩阵的数乘运算满足以下运算律①结合律——()A(A)(A);②分配律——()AAA;(AB)AB.
三、矩阵的乘法运算
引例
设有两个线性变换
y1a11某1a12某2a13某3(1)ya某a某a某2112222332某1b11t1b12t2某2b21t1b22t2(2)某bb32t231t13要求从变量t1,t2到变量y1,y2的线性变换,只需将(2)代入(1):
y1(a11b11a12b21a13b31)t1(a11b12a12b22a13b32)t2(3)y2(a21b11a22b21a23b31)t1(a21b12a22b22a23b32)t2线性变换(3)是先作线性变换(2),再作线性变换(1)的结果,在线性变换中称线性变换(3)是线性变换(2)与线性变换(1)的乘积,从矩阵的角度分析看:线性变换(3)的矩阵C是由线性变换(1)的矩阵A与线性变换(2)的矩阵B按下面给出的运算规则得到:
cij左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.即
a11aa21a1222b11b12a131a2b21ab11a1b1bb2122a2b2a2b213bab21a11b3231a1bab11a1b3312a2bab21a1b331212.22222213233232将由这一运算规则而得到的矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积.
