第一章 序论
一、内容提要
本章主要讲述了数字信号的定义、特点和处理方法，并且简要地回顾了我们后面所涉及的一些常用的模拟信号知识。
1．数字信号定义、特点和方法
信号可定义为传递信息的函数，或者信息的物理表现形式。各种信号在数学上可表示为一个或者几个独立变量的函数。如果我们以信号的时间为独立变量，则时间变量既可以是连续的，也可以是离散的，从而信号可以分为模拟信号（或称为连续时间信号）和离散信号（或称为离散时间信号）。模拟信号除了是时间的连续函数外，它在一定的时刻都有理论上无限精确的数值（幅值），且此值在一定的范围内随时间连续变化，即模拟信号表现为时间连续，幅度连续。而离散信号定义在离散时间上的信号，只在特定的时间上有精确的数值，在其他时间上数值为零或未知。若离散信号的幅值是连续的，则取样数据信号；若将离散信号的幅度也进行离散化处理（量化），然后将离散幅度值编码为二进制数码序列，则为数字信号，其特点是时间和幅度都是离散的。所以说数字信号是离散信号的特例，是离散信号最重要的子集。
数字信号处理是研究如何用数字或符号序列来表示信号以及如何对这些序列进行处理的一门学科。信号处理是对信号进行某种变换（处理），包括滤波、变换、分析、估计、检测、压缩、识别等，从而更容易获得人们所需要的信息。信号处理系统按所处理信号的种类分为：模拟系统、时域离散系统、数字系统。与模拟信号处理相比，数字信号处理具有精度高、可靠性高、灵活性强、便于大规模集成化、易于加密、易于处理低频信号等显著特点。 数字信号处理实际上就是进行各种数学函数运算，许多数字信号处理算法都是在时域和频域两个域中进行，实现的方法有软件、硬件和软硬结合。
2．傅立叶变换的定义
傅立叶变换的表达式为：
()()1()()2j t j t H h t e dt
h t H e d πqq邮箱的正确写法
∞
烫发原理-Ω-∞
∞
Ω-∞
Ω==
ΩΩ
⎰
⎰
傅立叶变换是信号处理中最重要的工具之一，它主要用于分析信号的频谱。一个信号
h(t) 的傅立叶变换存在的充分、非必要条件是满足绝对可积的条件，即
∞<⎰∞
∞
-dt t h )
(，
也就是讲信号h(t)在区间（-∞，∞）内能量有限。或者虽然信号h(t)能量无限，但功率有限，即极限：∞<⎰-∞
→dt t h T T
T T 2
2
/2)(1lim
存在，则此信号仍可以进行傅立叶变换。
3．常用几个模拟信号 1）单位阶跃函数
00000,()1/2,1,t t a a t t t t u a a a t t a a ⎧⎫<⎪⎪⎪⎪
-⎪⎪==⎨⎬⎪
⎪⎪⎪>⎪⎪⎩⎭
这里a 为标尺因子，a ≠0。t 0 是时间的移位。
过去的英语
2）矩形函数
00000,2()1/2,
21,2a t t a
t t rect t t a a
t t ⎧->
⎪⎪
-⎪=-=⎨⎪
⎪-<
⎪⎩
这里 a ≠0。 3）sinc 函数
000sin ()/sin ()/t t t t a c a t t a ππ--⎛⎫=
⎪-⎝⎭
4）δ 函数（冲击函数）
⎩⎨
⎧=∞≠=-0
00,
,
0)(t t t t t t δ
5）梳状函数
∑∞
-∞
手机打码=-=
n n t t Comb )()(δ，即由δ函数周期延拓而成。
它更一般形式定义为：
∑∑∞-∞=∞
-∞
=--=--=-n n nT t t T n T t t T t t Comb )
()()(00
0δδ
第一章 习题
1.1 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。 (1) f(t)
无壳鸡蛋
(2) g(t) = f(t-1) (3) h(t) = f(t)u(t) (4) f(t/2) 解： （1）()t f
（2）()()1-=t f t g
（3）()()()t u t f t h =
t
（4）()2t
f
1.2 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明： (1) 000()(
)()()t f t a f t a
t t t δδ-=-
(2) 0001
()()()()f t at f t a a a
t t t δδ-=- (3) 00
0()(
)()()
n t f t comb T
f nT t nT T
t t
t δ∞
=-∞
-=--+∑ （题目有错误）
应该改为：00
0()(
)()()n t f t comb T
f nT t nT T
t t
t δ∞
=-∞走成语
-=+--∑
t
t
解： （1）
()()()()()()()()0
0t t t f a t t t f a t t a t f t f a
t t -=-=-=-δδδδ
(2)
()()()()()()()()
0001
01
1t a a t a
a t t a
a
a
f t at t f t t f t t f t δδδδ-=-=-=
- （3）
()()()(
)
()
(
)
()
()()()()()
0000
0t t t t t t nT T
T
T
n n n n n f t comb
f t n f t T f t t t
nT T
f t t t
nT T
f t
nT t t nT δδδδδ∞
∞
----=-∞
=-∞
∞
=-∞
∞
∞
=-∞
=-∞
=-==--=--=+--∑∑∑∑∑
1.3
(1) 如 f(t) F(Ω)，证明：
e
e
e
t
j t
y j t
j t f dy y F F Ω-∞
∞
--Ω-Ω-==*Ω⎰)(2)()()(π
(2) 用 （1） 的结果，证明频域卷积定理
12121
()()()()2f t f t F F π
↔Ω*Ω （证明频域卷积定理的方法很多，但是本
题要求要利用（1）的结论，很多同学的证明过程，根本没用到（1）的结论。
另外有一些同学在证明第（2）问的时候，自己假设()()1f t f t =，
()2j t
f t e
-Ω=然后再利用第（1）问的结论证明。这种方法证明频域卷积定理
不具有一般性！） 证明： （1）
()()()()()()2j y t
j t
j t jyt j t jyt j t
F e
F y e
dy F y e e dy
e F y e dy
小班儿歌
f t e π∞
电磁学知识点总结∞
-Ω--Ω-Ω-∞
-∞
∞-Ω-Ω-∞
Ω*====⎰⎰⎰
（2）
