《高等代数专题研究》作业参考答案
高等代数专题研究作业1
一、单项选择题：1-5：BCBDB
二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 是A到B的双射。
4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足： EMBED Equation.DSMT4 如果 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 。则M含有一切自然数，即 EMBED Equation.DSMT4 。
5、对于一个与自然数有关的命题T，若i：若n=1时命题T正确；ii：假设命题T对n<k正确，就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。
三、计算题
1、解： EMBED Equation.DSMT4 到 EMBED Equation.DSMT4 的映射一共有 EMBED Equation.DSMT4 个，它们是：
EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4
2、解： EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4
3、解：1）在G中， EMBED Equation.DSMT4 ，并且 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 可表为两个不相交的轮换的乘积： EMBED Equation.DSMT4 。
2） EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4
3） EMBED Equation.DSMT4
四、证明题
1、证明： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
2、证明：则于 EMBED Equation.DSMT4 是由a与b惟一确定的（即 EMBED Equation.DSMT4 不会得出以上不同的结果），且为实数，所以“ EMBED Equation.DSMT4 ”是一个代数运算。
EMBED Equation.DSMT4 ，六安瓜片是什么茶
EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即“ EMBED Equation.DSMT4 ”满足结合律。
3、证明：当n=2时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=2正确。
当n=4时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=4正确。
同理可推出命题对 EMBED Equation.DSMT4 ，都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立。
设命题对n=k正确，令 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，由归纳假设命题对n=k正确，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所发 EMBED Equation.DSMT4 ，
即 EMBED Equation.DSMT4 ，命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。
4、当n=2时，上述不等式成立，假设 EMBED Equation.DSMT4 ，
则 EMBED Equation.DSMT4
于是对一切 EMBED Equation.DSMT4 的自然数n来说， EMBED Equation.DSMT4 。
五、简述题
1、答： EMBED Equation.DSMT4 ，给予证明如下：
任取 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 是单射。
复前行任取 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 为奇数，则有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 与之对应；
若 EMBED Equation.DSMT4 为偶数，则
有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 与之对应，所以有 EMBED Equation.DSMT4 是满射。
所以 EMBED Equation.DSMT4 是从Z到N的双射。
2、答：空集合的幂集不是空集合。应为 EMBED Equation.DSMT4 。
高等代数专题研究作业2
一、单项选择题：1-5：DACCB
二、填空题：
1、 EMBED Equation.DSMT4 2、 EMBED Equation.DSMT4 3、 EMBED Equation.DSMT4
4、 EMBED Equation.DSMT4 5、 EMBED Equation.DSMT4
三、计算题
1、解： EMBED Equation.DSMT4
所以原不等式的解集为 EMBED Equation.DSMT4 。
2、解： EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。
其中当且仅当 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 成立，
解得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 取极大值， EMBED Equation.DSMT4 。
3、解：这是一个求具有约束条件 EMBED Equation.DSMT4 的极值问题，由于它有三个变量 EMBED Equation.DSMT4 ，因而不能用消元法来解，但
EMBED Equation.DSMT4 ，只有当 EMBED Equation.DSMT4 时等式成立。
所以只有当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 取最小值 EMBED Equation.DSMT4 。
四、证明题
1、证明： EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，
因 EMBED Equation.DSMT4 都是正数，上式变为 EMBED Equation.DSMT4 ，得证。
2、证明：令 EMBED Equation.DSMT4 ，
再令 EMBED Equation.DSMT4 ，得 EMBED Equation.DSMT4 的一元二次方程： EMBED Equation.DSMT4 ，由于 EMBED Equation.DSMT4 ，所以
EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。华美商盟
3、证明：因为 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列，则 EMBED Equation.DSMT4 ，则均值不等式，得
EMBED Equation.DSMT4 ，
又： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，
所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故结论得证。
五、简述题
1、答：设函数 EMBED Equation.DSMT4 在某区间上定义，对于区间上的任意两点 EMBED Equation.DSMT4 ，都有黑足雪貂
EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 ，则称 EMBED Equation.DSMT4 在该区间上是下凸函数。
2、答：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。
高等代数专题研究作业3
一、单项选择题：1-5：BDDAC
二、填空题
1、1，3，5，7 2、如果d是a与b的公因式，且有 EMBED Equation.DSMT4 ，均有 EMBED Equation.DSMT4 。 3、代数
4、1 5、-4，2（重根）
三、计算题
1、证：1）若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMB
ED Equation.DSMT4 ，
且 EMBED Equation.DSMT4 ，故 EMBED Equation.DSMT4 是有单位元素1的数环，因而是整环。
2） EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 中全部可逆元素。 EMBED Equation.DSMT4 为奇素）为 EMBED Equation.DSMT4 中全部不可约元素。
2、解： EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的可逆元素。
EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的可逆元素。
因此， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的全部可逆元素。
四、证明题
1、证明：首先 EMBED Equation.DSMT4 是整环，零理想是主理想，设 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的任一非零理想， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 中次数最低的多项式，则对任意 EMBED Equation.DSMT4 有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4
或 EMBED Equation.DSMT4 的次数< EMBED Equation.DSMT4 的次数，由 EMBED Equation.DSMT4 知 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 的次数< EMBED Equation.DSMT4 的次数，这与 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 中次数最低的多项式矛盾，故必有 EMBED Equation.DSMT4 ，从而 EMBED Equation.DSMT4 ，这就证明了 EMBED Equation.DSMT4 是由 EMBED Equation.DSMT4 生成的主理想。
2、证：若 EMBED Equation.DSMT4 之中有零或单位，易见结论成立。
不妨设 EMBED Equation.DSMT4 都既非零也非单位，因为 EMBED Equation.DSMT4 ，所以有 EMBED Equation.DSMT4 ，将 EMBED Equation.DSMT4 都分解为不可约元素的乘积，若 EMBED Equation.DSMT4 非单位也将其分解： EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，由因式分解的惟一性，每个 EMBED Equation.DSMT4 都与等式左边的一个因子相伴，因为 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 不与任何一个 EMBED Equation.DSMT4 相伴，适当调整因子的次序，不妨设 EMBED Equation.DSMT4 分别与 EMBED Equation.DSMT4 相伴，于是可知 EMBED Equation.DSMT4 。
3、证：由 EMBED Equation.DSMT4 可知， EMBED Equation.DSMT4 ，因 EMBED Equation.DSMT4 是本原多项式，所以
EMBED Equation.DSMT4 ，由上第2题结论知： EMBED Equation.DSMT4 。
4、证：设 EMBED Equation.DSMT4 ，若从代数观点出发 EMBED Equation.DSMT4 ，则它们相应系数有以下关系： EMBED Equation.DSMT4 ，显然它们在任意点的函数值也相同，即从函数论观点出发 EMBED Equation.DSMT4 。
反之，若从函数论观点出发 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，这时域 EMBED Equation.DSMT4 中所有元素都是 EMBE
D Equation.DSMT4 的根。但是 EMBED Equation.DSMT4 是一个次数不超过 EMBED Equation.DSMT4 的多项式，在 EMBED Equation.DSMT4 中至多有 EMBED Equation.DSMT4 个根，而前述 EMBED Equation.DSMT4 有无限多个根，这个矛盾证明必有 EMBED Equation.DSMT4 ，即从代数观点有 EMBED Equation.DSMT4 。
五、简述题
1、答：定义 EMBED Equation.DSMT4 ：设 EMBED Equation.DSMT4 是一个整环，如果 EMBED Equation.DSMT4 中每一个不等于 EMBED Equation.DSMT4 的非单位元素 EMBED Equation.DSMT4 均可写成：
EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 是不可约元素，并且如果还有 EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 也是不可约元素，则必有 EMBED Equation.DSMT4 ，且适当调整 EMBED Equation.DSMT4 的顺序后，有 EMBED Equation.DSMT4 ，则称 EMBED Equation.DSMT4 是因式分解惟一环。
2、答：定理 EMBED Equation.DSMT4 ：任何实系数 EMBED Equation.DSMT4 次多项式至少有一个复数根。
高等代数专题研究作业4粗鲁是什么意思呢
一、单项选择题：1-5：BDCAA
二、填空题
1、 EMBED Equation.DSMT4 2、 EMBED Equation.DSMT4 3、 EMBED Equation.DSMT4
4、 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 5、 EMBED Equation.DSMT4
三、计算题
1、解：把 EMBED Equation.DSMT4 辆小轿车视为一辆，与 EMBED Equation.DSMT4 辆大卡车排队有 EMBED Equation.DSMT4 种方法，而小轿车又有 EMBED Equation.DSMT4 种停放方法，所以一共有
EMBED Equation.DSMT4 种停放方法。
2、解：用相同元素的重复排列公式： EMBED Equation.DSMT4 ，不同的摆法有： EMBED Equation.DSMT4 种。
3、解：展开合并同类项后共有：展开后每一项都是5次多项式，它的不同项实际上是从6个元素中取5个元素的方法数 EMBED Equation.DSMT4 项，而 EMBED Equation.DSMT4 的系数为：从3元素 EMBED Equation.DSMT4 中取2个a，2个b，1个c，即为
EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 的系数为30。
执法如山4、解：设 EMBED Equation.DSMT4 表示能被 EMBED Equation.DSMT4 整除而不大于2000的自然数集合 EMBED Equation.DSMT4 ，这时 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4 ，
根据定理 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4
5、解：用递推公式： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，
对楼梯作归纳：当 EMBED Equation.DSMT4 ，只有一个台阶，只有一种走法 EMBED Equation.DSMT4 ；
当 EMBED Equation.DSMT4 ，可以一步一阶，也可一步两阶， EMBED Equation.DSMT4 ；
当 EMBED Equation.DSMT4 ，可一步一阶，也可一步两阶一阶或一阶两阶， EMBED Equation.DSMT4
；
EMBED Equation.DSMT4 ，酱螃蟹
EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4 。
6、解：设 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，
1）至少参加一项比赛的人数：
EMBED Equation.DSMT4
2）只参加四百米比赛的人数：
EMBED Equation.DSMT4 。
四、证明题
1、证明：因 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，
形容忘记的成语EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 。
令 EMBED Equation.DSMT4 ，上式化为 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，当 EMBED Equation.DSMT4 时，有
EMBED Equation.DSMT4 。
2、证明：因 EMBED Equation.DSMT4 ，两边对 EMBED Equation.DSMT4 求导一次，得到 EMBED Equation.DSMT4 ，上式两边乘以 EMBED Equation.DSMT4 ，再对 EMBED Equation.DSMT4 求导，得 EMBED Equation.DSMT4 ，令 EMBED Equation.DSMT4 ，整理得 EMBED Equation.DSMT4 。
五、简述题
答：抽屉原理 EMBED Equation.DSMT4 ：如果把 EMBED Equation.DSMT4 件东西装入 EMBED Equation.DSMT4 个抽屉，则至少有1个抽屉里的东西不少于2件。
抽屉原理 EMBED Equation.DSMT4 ：设 EMBED Equation.DSMT4 都是正整数；和进有 EMBED Equation.DSMT4 件东西放进 EMBED Equation.DSMT4 个抽屉，则第1个抽屉至少有 EMBED Equation.DSMT4 件东西，或第2个抽屉至少有 EMBED Equation.DSMT4 件东西，……，或第 EMBED Equation.DSMT4 个抽屉至少有 EMBED Equation.DSMT4 件东西，其中至少有一条必成立。
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