「歐先生」來華四百年
蕭文強
香港大學數學系
感谢家长的话1.眾所周知，五四運動（新文化運動）期間，中國出現了一位「德先生」（民主）和一位「賽先生」（科學）。相比之下，卻較少人注意，早此三個世紀，還有一位先行者「歐先生」來到古老中國的大地。我指的是歐幾里得（Euclid, c.325 B.C.- 265 B.C.），更確切地，是歐幾里得名著《原本》（Elements）所代表的西方數學──它的內容、思想和方法。
固然，把古代希臘世界的巨著《原本》代表西方數學，是一種過份簡單化的說法，猶如認為古代東方數學只有方法及計算，沒有解釋及證明，也同樣是一種過份簡單化的說法。況且，即使在當時（十七世紀）的西方，數學發展迅猛，已經超越古代希臘世界的成就。不過，際此盛會，紀念這一樁中西數學交融的重要歷史事績──利瑪竇與徐光啓合譯《幾何原本》四百週年紀念研討會，容許我斗膽採用一種簡單化但色彩較鮮明，表徵意味也較濃厚的說法，就以《原本》代表不遠千里，東渡而來的西方數學。
椰子的功效与作用
在意大利文藝復興期畫家拉斐爾（Raphael Santi, 1483-1520）的名畫「雅典學院」（School of Athens）中，我們可以在右下角找到歐幾里得和他的一群門徒（圖1）。老師彎著腰在地上的石板上以
圓規作圖，最年幼的一位門徒在旁邊聚精會神地聽，另外幾位年紀較長的門徒，一面觀看一面討論，學習氣氛既熱烈也融洽，充份表現師生之間的交流。在西方名畫出現這種場景，似乎可以說明《原本》──推而廣之，數學──在西方文化的重要地位。
的確，《原本》塑造的公理化思想體系，及以此為起點依循演繹邏輯推理的證明模式，成為西方數學的重要組成部份，尋且被視為西方數學的標誌，也是人類文化思想史上的一大貢獻。更有甚者，它對
西方文化別的領域有深遠影響，無怪乎卡比那（Judith V. Grabiner）在1986年世界數學家大會上作了一個講演，題目就是「數學在西方文化思想史上的中心地位」（The centrality of mathematics in the history of western thought ）［後來刊登於Mathematics
Magazine, 61 (1988), 220-230］；克萊因（Morris Kline）也在1953年寫了一本書，名為《數學與西方文化》（Mathematics in Western Culture, Oxford University Press, 1953），以眾多例子闡述數學在西方文化中擔當怎樣的角色。歐幾里得著述的《原本》十三卷，素被譽為西方經典巨著，影響西方文化至深，豈僅止於一本以數學著述可以概括其博大精深的內涵。
至1607年，經克拉維斯（Christopher Clavius, 1537-1612）改編和評註的十五卷本《原本》傳入中國，以耶穌會傳教士利瑪竇（Matteo Ricci, 1552 -1610）口譯，明代士大夫學者徐光啟（1562 -1633）筆授的方式合譯了前六卷，名為《幾何原本》（圖2）。
徐光啟別具慧眼，雖然只讀到前六卷，他已經洞察該書的精神及長處，有言：「由顯入微，從疑得信，蓋不用為用，眾用所基，真可謂萬象之形囿，百家之學海。」（譯《幾何原本》原序）。由此他
矢志會通中西之學，結合理論實踐，藉此推行傳統儒家經世致用的理想。有關徐光啟的傳記、貢獻和思想，西方傳教士在中國的工作及其影響，文獻多不勝數。有關《原本》的傳入對中國明清數學的影響，尤其清代兩度「西學東漸」的歷史因由與過程，也有多位數學史家作了精闢論述。至1857年英國傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie, 1815- 1887）與清代數學名家李善蘭（1811-1882）以同樣合作方式續譯《幾何原本》［但據別的改編版本］，於1857年刊行，惜不久即遇上太平兵變及英法聯軍入侵，版燬無傳。遞至曾國藩（1811-1872）駐守金陵（即今南京），李善蘭向曾國藩述及此書之重要，獲其出資重印該書，十五卷足本（前六卷乃明代利瑪竇與徐光啟合譯的刻本）終於在1895年出版（圖3），時距《原本》前六卷譯本面世相隔多於兩個半世紀矣！
血小板过低
數學史家劉鈍以「從徐光啟到李善蘭──以《幾何原本》之完璧透視明清文化」為題（刊登於《自然辯證法通訊》，11（3）（1989），55-63），詳盡地剖析這段史實。
以上經過，本文也就不贅，只在本文結尾列舉一些書本文章，供讀者參考。我只打算說一個故事，略述《原本》──推而廣之，數學──在西方文化中，以及它傳入中國後在中國文化中，所起的作用和影響。對不少讀者而言，這個故事也許已是耳熟能詳，無甚新意。但回顧「歐先生」來華四百年的足跡，念及現況，不無徐光啟「後之視今，猶今之視昔也」（《農政全書》）之感！
2.在古代希臘世界，數學被冠以崇高的地位。普羅克洛斯（Proclus, c.410- 485）評註《原本》卷一說了這樣一段話：「它的名字［數學（μαθηματική）──字的原義是指靠學習得來的知識］說明了這門科學的功用，它激發了我們與生俱來的知識，喚醒了我們的智慧，滌清了我們的理解，揭示了本來就屬於我們的概念，把一貫以來纏繞著我們的朦朧與無知除掉，把我們從非理性的束縛中釋放出來；…」（英譯本見諸G.R.Morrow, A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements, Princeton University Press,1970）。
十七世紀英國哲學家霍布斯（Thomas Hobbes, 1588 -1679）的傳記裡有這樣一段敘述：當時他已經是四十歲，從來沒有讀過幾何，某天在朋友的書房裡看到案頭有一本打開的書，不經意瞧了一眼，那一頁剛好是《原本》卷一的第四十七條定理（直角三角形斜邊上的正方是另外兩邊上的正方之和），他對自己說：「那怎可能呢？」為了滿足自己的好奇心他便讀下去，看它怎麼解釋。但書上的證明卻用了前面一條定理，於是他又翻查那條定理，看它怎麼解釋；那條定理的證明又用了再前面一條定理；於是他繼續追查下去，如此這般，他追查到卷一開首第一條定理（給定一線段，必可以該線段為邊構作正三角形），由是恍然大悟，對第四十七條定理深信不疑，並且由此愛上了幾何！
英國數學家、哲學家、文學家羅素（Bertrand Rusll, 1872-1970）碰上《原本》，卻有另一番體驗，但同樣使他印象深刻，終身受用。在自傳中他說：
海龟能活多少年「十一歲時我開始研習歐幾里得的巨著［《原本》］，由哥哥作指導。這是我
平生經歷的一件大事，令我目眩神迷，恍如初戀。……別人告訴我歐幾里得擅
長證明定理，但開始我只見公理，叫人大失所望。初時我拒絕接受這些公理，
除非哥哥給我一個好理由為何要接受它。哥哥說：「如果你不接受這些公理，
我們便沒法學下去。」我很想學下去，只好極不情願地暫時接受了它。」
心理教育主题班会徐光啓與利瑪竇合譯《幾何原本》時對這回事倒說到點子上，他們把第一條公理「自此點至彼點求作一直線」譯作「第一求」，並且附註曰：「求作者不得言不可作」。公理（axiom）一詞源自希臘詞axioma。有請求之意。匈牙利數學史家查保（Árpád Szabó）認為數學證明的產生，是受到希臘哲學，尤其是公元前五世紀的厄里亞辯證學派（Eleatic School）的推動。當時的人對辯時，雙方的論點乃基於某些大家都接納的命題為出發點，這些命題稱為「假說」，雙方均認為毋須對「假說」再加說明或證實。要是碰到有些命題並非雙方都願意接納的話，一方只好請求另一方先接納它作「假說」，以後一切論證均基於這些「假說」，也即是後來數學上稱作的公理。如果對方不接受這個請求，便有如羅素哥哥所言，雙方也就無從說下去了。
二十世紀的偉大物理學家愛因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）幼年時碰上歐幾里得幾何，又是另一番感受。在67歲時他寫了一篇自傳（刊登於P.A. Schilpp (ed.), Albert Einstein：Philosopher-Scientist, Tudor, 1949）提及他的童年學習經驗：报账流程
「十二歲時我經歷了平生中第二樁奇妙的事情，與第一樁的性質極不相同；學
期初我獲得一本小書，是講述歐幾里得平面幾何的［那是E.Heis, T.J.学生陈述报告>蝴蝶的卵
Eschweiler, Lehrbuch der Geometrie zum Gebrauch an höheren Lehranstalten, Du-
Mont & Schauberg, 1867］。」
他特別提到一條叫他著迷的定理，就是任意三角形的三條垂線必共點。他描述當時內心感到的興奮和愉悅：
「那種清晰與確定，給我的印象深刻得難以形容。…希臘人首次讓我們看到，
如何在幾何上憑著純理性思考達致這種程度的確定與純潔，實在叫人非常驚
訝。」
綜合以上所說，我們或能更好明白為何希臘哲學家柏拉圖（Plato, c.427 B.C.- 347 B.C.）在他的學院門上掛著「不諳幾何者不得進內」的牌子。他欲通過學習數學使年青人能憑藉純心智認識世界，使心靈本身更容易從暫存的世界過渡到真理和永恒。他的名著《理想國》（The Republic）詳細描述學院的課程，包括算術、幾何、天文和音樂，後來到了羅馬時代這四門學科被稱作「四道」（quadrivium），再加上「三道」（修辭學、辯證法和語法）便合成為中世紀歐洲博雅教育的七門學科（liberal arts，原意是適合自由人的教育，以解放思想，破除成見）。
固然，古代中國也有「六藝」的設置，《周禮‧地官司徒下》有言：「保氏，掌諫王惡，而養國子之道，乃教之六藝，一曰五禮、二曰六樂、三曰五射、四曰五馭、五曰六書、六曰九數」，最後一項便是數學。話雖如此，但看看公元三世紀中葉三國魏晉人劉徽（265年前後）注《九章算術》時在序言裡說的話：
「且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，其能窮纖入微，探測
無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量，可得而共，非特難為也。當今好之者
寡。故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。」
便知道數學在古代中國的教育地位，與西方並不一樣，數學活動只局限於少數的一群人而已。
西方到了十六世紀，數學的社會功能與教育價值雖然與古代希臘世界相比，已經有所轉變，但傳統依然；加上繼承了由中世紀伊斯蘭文化保存且發揚光大的古代東西方數學文化，更是如虎添翼，數學發展一日千里。這段時期的重鎮人物英人培根（Francis Bacon, 1561-1626）在他的散文《論學習》把數學與其他科目並列，讚曰：
“Histories make men wi; poets, witty; the mathematics, subtle;
natural philosophy, deep; moral, grave; logic and rhetoric, able to
contend.”
（這段文字很難翻譯得準確貼切，故原文照錄。）
法國哲學家、數學家笛卡兒（René Descartes, 1596-1650）撰寫了著名的《方法論》（Discours de la methode pour bien conduire sa raison, et chercher la verité dans les sciences, 1637），內中提到：
「幾何學家運用一連串長長但簡單易懂的推理去證明困難的結果，這令我想
到，一切事物都能用這種方法變成人類的知識。」
培根建議運用智性去考察事實資料尋求知識，是歸納的方法；笛卡兒建議運用數學的演繹方法進行這件工作。證諸後世發展，二者相輔相成，不可偏廢，兩人對科學思想都有重大貢獻。「數學化」的思想方式在十七世紀很受重視，德國哲學家、數學家萊布尼茲（Gottfied Wilhelm Leibniz, 1646-1716）甚至提出口號：「Calculemus，讓我們計算」，按照他說的，甚麼爭論都可以用計算擺平！德國文學家、哲學家諾華萊士（筆名Novalis, 1772-1801）說過一段耐人尋味的話：「全部知識都應該變為數學，但至目前為止，我們知道的數學只不過是真正科學精神所顯示出來最淺易的表達形式而已。」可惜諾華萊士早逝，在留下的文稿中不容易了解他心裡想的究竟是什麼。
也不是所有西方哲學家都認同這種樂觀的「數學化」思想，譬如意大利思想家維柯（Giovanni Battista Vico, 1668-1744）便認為數學乃產自人性的自我隔離，故無法用以了解人性；而法國數學家、哲學家帕斯卡（Blai Pascal, 1623-1662）在其《沉思錄》（Pensée, 1657/1658）寫下一句名
言：「人心有其理智，那是理智一無所知的（le cœur a s raisons que la raison ne connaît pas）」。博學之士德人歌德（Johann Wolfgang von Göthe, 1749-1832）對數學有頗為不客氣的批評：「我們常常聽到有人說數學是精確的學問，其實它並不比其他學問更精確。它是精確，只因為人們只把它用於可以確定知道答案的場合吧。」他也說：「數學不能消除偏見，不能減輕固執想法，不能緩和派別爭執：在道德領域裡數學沒有任何影響。」（見諸Simona Draghici, Maxims and Reflections of Johann Wolfgang von Göthe, Plutarch Press, 1997）。還是法國數學家柯西（Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857）在他的課本《分析課程》（Cours
d’analy, 1821）序言裡說得更中肯：「讓我們勤懇地發展栽培數學，但不要企圖把數學延伸至超越它的範疇。請不要以為我們可以運用公式去研究歷史，也不要以為我們可以用道德標準去認可代數或者微積分的定理。」
到了二十世紀五十年代末，英國科學家、文學家斯諾（Charles Percy Snow, 1905-1980）在劍橋大學給了一個著名的講演，題為「兩種文化」（The Two Cultures），討論科學家與人文學者之間本來不應該存在的鴻溝。「文化」一詞有兩種含意，一方面是「那些表徵人性本質和才能的和諧發展」［引用英國詩人柯爾律治（Samuel Taylor Coleridge, 1772-1834）的話］，另一方面是指「生活於同一環境，由共同習慣、想法和生活方式聯結起來的群體」。由此可以見到「文化」有其內外因素，認識到這一點，有助於了解不同文化交會或者衝擊時的歷史發展。德國哲學家史賓格勒（Oswald Spengler,
1880-1936）在他的名著《西方的沒落》（Der Untergang des Abendlandes, Vol.1, Verlag
Braumüller, 1918; Vol.2, Verlag C.H. Beck, 1922）論及歷史上各個文化均有興衰，如生物生長，也如季節轉變。當中他用了整整一章談及數學，因為他認為數學乃重要的文化表徵，不同文化裡數學的發展及風格是探討該文化的關鍵題材。二十世紀著名的英國歷史學家湯因比（Arnold Joph Toynbee, 1889-1975）窮廿年之力寫成《歷史研究》十二大卷（A Study of History, 12 volumes, Oxford University Press,1934-1961）。在自述中他提到高中時代的一件往事：十六歲時，他必需作出一項選擇，是學習微積分，還是完全放棄數學而專注於學習希臘文及拉丁文經典。他選擇了後者，多年後回頭看卻懊悔不已。他認為人人都需要認識一點微積分，因為它有如「一艘裝備齊全、揚帆出航的船，是現代西方偉大成就的一項表徵」。也就是說，他把數學視為人類智性追求的成就，非僅作為工具而已。十九世紀博物學家達爾文（Charles Robert Darwin, 1809-1882）也曾在自傳裡懊悔自己當年以為數學無用沒有把它學好，他認為懂一點數學基本要點的人，好像比別人多了一重感覺！
3. 《原本》確立了公理化的思想體系，在西方曾經被奉為以理性追求確定知識的圭臬，很多有名的著述都按照這種思想體系寫成。
最有名的例子當推牛頓（Isaac Newton, 1643-1727）的巨著《自然哲學之數學原理》（Philosophiæ Naturalis Prinicpia Mathematica, 1687），在書的開首他先列明三條有關運動的公理（圖 4），
