数学机密，20张数学原理的动图送给你，看完惊呆了！
01. 被简单证明的勾股定理。
02. 勾股定理的⾯积证明法。
03. 周长和直径的π点⼩事。
04. 圆的⾯积=2πr?
05. 圆周率π
06. 椭圆画法。
07. 正切值曲线。
08. 圆规和正⽅形的爱恨纠缠。
09. ⼀弧度就是长度刚好等于半径的⼀段圆弧所对的圆⼼⾓。左邻右舍造句
10. 正切线。
11. 将⼀个公式从笛卡尔坐标转换成轴坐标。
12. 画抛物线。
13. 将双曲线表现成3D形式，也许你不相信，它完全是⽤直线画成的。
14. 考赛因和赛因的你追我赶。
15. 多边形的外⾓之和总是等于360度。
16. 使⽤“FOIL”轻松的解决⼆项式乘法。
小米云服务17. 矩阵转置的技巧。
金钱英语18. 谢尔宾斯基三⾓形。
19. 得到永⽣的证明。
蛋挞
20. 最后，放⼀张数学家很会玩之胖⼦超⼈的诞⽣，咦！这不是⼤⽩吗？
物理的尽头是数学，数学的尽头是哲学，哲学的尽头是神学。
罗素的 “⼤罪” 《数学原理》
罗素
卢昌海 / ⽂
擅写短诗的古希腊诗⼈卡利马科斯 (Callimachus) 曾经⾔道： “⼀部⼤书便是⼀项⼤罪” [1]。 1959 年，英国哲学家罗素(Bertrand Rusll) 在《西⽅的智慧》(Wisdom of the West) ⼀书中引⽤了这句话，并 “谦虚” 地表⽰， “以罪⽽论，这是⼀部⼩书” (as evils go, this book is a minor one)； 1982 年，印度裔美国科学史学家梅拉 (Jagdish Mehra) 在《量⼦理论的历史发展》 (The Historical Development of Quantum Theory) ⼀书中也引述了这句话，且跟罗素⼀样 “谦虚”，表⽰以罪⽽论，他那部也是⼩书。
其实，梅拉那部书是很⼤的， 6 卷 9 册 5,000 多页，恐怕是有史以来最⼤的科学史专著，照卡利马科斯的说法，罪是⼩不了的。倒是罗素的 “谦虚” 还稍有些道理，因为《西⽅的智慧》并不是他最⼤的书，他有⼀部⼤得多的书叫做《数学原理》(Principia Mathematica)， 3 卷近 2,000 页，那才是 “⼤罪”。不过那恐怕不是书之罪，⽽是书带给作者的罪——那部⼤书着实让作为主要作者的罗素受了 “⼤罪”。
那 “⼤罪” 从写作之初就开始了。
罗素年轻时雄⼼勃勃，⼆⼗出头就⽴下宏愿，要写两个系列的 “⼤书”：⼀个涵盖所有的科学领域；另⼀个涵盖所有的社会学领域。他并且畅想：⼀个系列将从抽象出发，逐渐向应⽤靠拢，另⼀个系列则从应⽤出发，逐渐向抽象靠拢，最终交融成⼀个巨⽆霸系列。罗素后来确实算得上著作等⾝，但年轻时的这个宏愿实在是远远超出了任何个⼈的能⼒，终其⼀⽣也未能实现，⽽只在某些局部领域中取得过局部成果。如果要在其中找出⼀个努⼒得最系统的，那恐怕是数学。
1897 年， 25 岁的罗素撰写了⼀本关于⼏何的书：《论⼏何的基础》(An Essay on the Foundations of Geometry)，随后⼜开始构思⼀本有关数学基础的书：《数学的原理》(The Principles of Mathematics)。这本中译名仅⼀字之差，英⽂名也有些相近的书是《数学原理》的前⾝。仿佛在预⽰《数学原理》将要让罗素受 “罪”，《数学的原理》⼀起头就不顺利，⼏次努⼒都⽌于⽚断。这⼀局⾯直到 1900 年 8 ⽉罗素在巴黎国际哲学⼤会 (International Congress of Philosophy) 上遇见意⼤利数学家⽪亚诺 (Giuppe Peano) 才有了被他称为 “智⼒⽣活转折点” (a turning point in my intellectual life) 的改变 [2]。
⽪亚诺是研究数学基础的先驱⼈物之⼀，在思维⽅式乃⾄所采⽤的数学符号等⽅⾯都对罗素有着巨⼤影响。在这种影响下，《数学的原理》的写作⼤为 “提速”。那年的最后三个⽉，罗素⼏乎以每天 10 页的速度推进着，年内就完成了数⼗万字的⽂稿 [3]。在那段被他称为 “智⼒蜜⽉” (intellectual honeymoon) 的时期⾥，他不仅写作神速，⽽且每天都感觉到⽐前⼀天多领悟了⼀些东西。
但好景不长， “智⼒蜜⽉” 随着新世纪的到来很快就终结了： 1901 年春天，罗素发现了著名的罗素悖论 (Rusll's paradox) [4]。这个以他名字命名的悖论如今已是罗素头上的⼀道光环，当时却着实让⼈消受不起，对撰写中的《数学的原理》，乃⾄对整个数学基础研究都造成了冲击。罗素在剑桥⼤学三⼀学院 (Trinity College) 时的⽼师、著名哲学家怀特海 (Alfred North Whitehead) 在得知这⼀悖论后，引了勃朗宁 (Robert Browning) 诗歌《迷途的领袖》(The Lost Leader) 中的⼀句 “愉快⾃信的清晨永不再来” (Never glad confident morning again) 作为 “赠⾔” 寄给了罗素。
罗素悖论使本已接近完成的《数学的原理》的出版推迟了两年左右，但即便如此也未能解决罗素悖论。这⼀点让罗素深感沮丧，在给⼀位朋友的信中称《数学的原理》为 “⼀本愚蠢的书” (a foolish book)，甚⾄表⽰⼀想到为这样⼀本书花费了那么多时间就感到羞愧。不过那时候，真正的 “⼤书” 《数学原理》的撰写早已展开 (1900 年底左右就启动了)，彻底解决罗素悖论的任务被顺理成章地转移到了《数学原理》上。
《数学原理》的作者阵容⽐《数学的原理》扩⼤了⼀倍：在罗素的动员下，怀特海成为了合作者。怀特海对数学基础也有浓厚的兴趣，曾于 1898 年撰写过⼀本标题为《泛代数》(A Treati on Universal Algebra) 的著作，且有续写的想法。罗素⾃⼰的最初打算则是将《数学原理》写成《数学的原理》的第⼆卷。不过，这两位想写 “续集” 的作者 “强强联合” 的结果，是各⾃抛弃了 “前集”，写出了⼀套篇幅和深度都远超 “前集” 的独⽴著作。
怀特海
怀特海
合作之初，罗素和怀特海对⼯作进展有⼀个很乐观的估计，认为⼀年左右即可完成，但罗素悖论的出现将这⼀估计扫进了垃圾箱，《数学原理》的实际耗时约为⼗年，⽐当初的预计⾼了⼀个数量级。⽽⽐耗时增加更受罪的，则是罗素悖论似乎在嘲弄着罗素的直觉和智⼒。在很长⼀段时间⾥，罗素始终觉得罗素悖论是⼀个 “平庸” (trivial) 的问题，却偏偏绕不过，也突破不了。这种不得不把精⼒花在⾃⼰认为不值得的地⽅，且还像掉进了⽆底洞⼀样看不到尽头，⽆疑是很受罪的感觉。
除了遭遇像罗素悖论那样技术性的 “拦路虎” 外，撰写《数学原理》的⼗年间罗素在⽣活上也颇受了⼏桩 “罪”。
第⼀桩跟个⼈兴趣有关，起因于怀特海夫⼈伊夫林·怀特海 (Evelyn Whitehead)，⽽且发⽣得很突然。怀特海夫⼈年轻时经常被类似⼼绞痛的病痛所折磨， 1901 年上半年的某⼀天，罗素亲眼⽬睹了怀特海夫⼈遭受剧烈病痛折磨的情形。那情形对罗素产⽣了极深的影响，他从怀特海夫⼈孤⽴⽆助的痛苦中，深切意识到了每个⼈的灵魂都处在难以忍受的孤独之中。这⼀意识——⽤他⾃⼰的话说——让他感觉到 “脚下的⼤地忽然抽⾛了”，使他在短短五分钟的时间⾥ “变成了⼀个完全不同的⼈”，由撰写《数学原理》所需要的⼀味追求精确和分析 “涣散” 为了对⼈⽣和社会哲学也有了浓厚兴趣 [5]。
第⼆桩跟家庭有关，且同样发⽣得很突然。据罗素⾃⼰回忆， 1902 年春天的⼀个下午，他在⼀条乡间⼩路上骑车，忽然 “顿悟” 到⾃⼰已不爱结婚⼋年的妻⼦了。那是⼀个最符合字⾯意义的 “顿悟”，因为在那之前他甚⾄没有觉察到对妻⼦的爱有任何减弱。连减弱都没有，突然就消失了，天才⼈物的 “顿悟” 出现在不该出现的地⽅时，看来是很有些可怕的。罗素的妻⼦爱丽丝·⽪尔索尔·史密斯 (Alys Pearsall Smith) ⽐罗素⼤ 5 岁，罗素 17 岁时结识了她， 22 岁时将“姐弟恋” 修成正果， “七年之痒” 时因 “顿悟” ⽽陷⼊困境，但在爱丽丝⼀度以⾃杀为威胁的抗争下，拖了约 20 年才最终离婚。
第三桩则跟合作者怀特海有关。据罗素在⾃传中披露 (那时怀特海夫妇皆已去世，从⽽只能算⼀⾯之词了)，外⼈眼⾥冷静明智的怀特海其实常常陷⼊⾮理性的冲动，⽐如⼀⽅⾯对缺钱深怀恐惧，⼀⽅⾯⼜花钱⽆度；有时候连续多⽇不吭⼀声，有时候⼜嘟嘟哝哝对⾃⼰横加贬低，使怀特海夫⼈饱受惊吓，甚⾄担⼼他会崩溃或发疯。为了帮助怀特海⼀家及维持在《数学原理》上的合作，⾃⼰有时也还要借钱度⽇的罗素⼩⼼翼翼地补贴着怀特海的家⽤，且还必须瞒着怀特海，以免伤他⾃尊⼼。
个⼈、家庭、合作者，这⼏乎涵盖罗素整个世界的三⼤因素的共同煎熬，加上论题本⾝的艰巨，以及罗素悖论的 “拦路”，使罗素撰写《数学原理》的过程由艰苦变为痛苦。这种痛苦在 1903 和 1904 年的夏天达到了⾼峰。那段⽇⼦被他称为 “彻底的智⼒僵局” (complete intellectual deadlock)。在那段⽇⼦⾥，他每天早晨拿出⼀张⽩纸，除午饭外，整天就对着⽩纸枯坐，却往往⼀个字也写不出，甚⾄焦虑地担⼼⾃⼰⼀辈⼦都要对着⽩纸⼀事⽆成了。
那些年，罗素常到⽜津附近⼀座跨越铁路的桥上去看⽕车，在情绪悲观时，看着⼀列列⽕车驶过，他有时会⽣出可怕的念头：也许明天⼲脆卧轨了结此⽣。不过这时候，使他悲观厌世的《数学原理》却⼜变成了让他活下去的动⼒，因为每当黎明来临，他⼜会重新燃起希望：活下去， “也许某⼀天能完成《数学原理》”。
1906 年之后，《数学原理》所遇到的技术瓶颈开始被突破，写作得以加速。那时候，怀特海因教书⼯作的羁绊⽆法花⾜够的时间在《数学原理》上，罗素开始以每天 10-12 ⼩时，每年 8 个⽉左右的时间投⼊写作。但烦恼并未就此远离，随着⼿稿数量的增多，他⼜陷⼊了近乎杞⼈忧天的担忧之中，害怕⼿稿会因房⼦失⽕⽽被毁。
整整⼗年，痛苦、焦虑、悲观、担忧终于都被熬过。 1910 年，《数学原理》的初稿完成。在给朋友的信中，罗素很不吉利地把当时的⼼情形容为：⼀个因照顾重病患⽽精疲⼒尽的⼈，看到可恶的病患终于死去时的那种如释重负的感觉。
由于篇幅浩繁，罗素将⼿稿装了两个箱⼦，雇了四轮马车运到剑桥⼤学出版社 (Cambridge University Press)。出版社对出版这部巨著的 “利润” 进⾏了评估，得出⼀个很不⿎舞⼈⼼的结果：负 600 英镑。当然，剑桥⼤学出版社并⾮唯利是图的地⽅，他们愿意为这样的巨著赔上⼀些钱，问题是 600 英镑在当时实在是⼀个不⼩的数⽬，他们只能承担⼀半左右——即约 300 英镑。剩下的 300 英镑怎么办呢？
在罗素与怀特海的申请下，皇家学会慷慨解囊，赞助了 200英镑。但最后的 100 英镑实在是没办法筹措了，只能摊派到罗素和怀特海这两位作者头上，每⼈ 50 英镑 (相当于2006 年的 7,000 多美元)。对于这⼀结果，罗素在⾃传中感慨地写道：我们⽤ 10 年的⼯作每⼈赚了负 50 英镑。
⼤书出版了，⼤钱赔掉了 [6]，但罗素把⼤书的完成⽐喻为重病患的死去并不恰当，书之于作者其实更像孩⼦之于⽗母，书的出版好⽐孩⼦的降⽣，未必是⼀个能让⽗母如释重负的时刻。事实上，罗素因这部⼤书⽽受 “⼤罪” 的历史并未就此终结。
罗素和怀特海的这部⼤书顾名思义，是研究数学基础的。这类研究有⼏个主要流派，⽐如以德国数学家希尔伯特
罗素和怀特海的这部⼤书顾名思义，是研究数学基础的。这类研究有⼏个主要流派，⽐如以德国数学家希尔伯特(David Hilbert) 为代表的形式主义 (Formalism)、以荷兰数学家布劳威尔 (L. E. J. Brouwer) 为代表的直觉主义(Intuitionism)，等等。罗素这部《数学原理》也属于⼀个著名流派，叫做逻辑主义 (Logicism)，主张数学可以约化为逻辑。《数学原理》不是逻辑主义的奠基之作，却是它的⾼峰。在《数学原理》中，数学⼤厦的⼀部分被从逻辑出发直接构筑了出来。罗素和怀特海对此深感⾃豪，在向皇家学会申请赞助的信⾥，特别强调了这部书的精确性(exactness)、推理的缜密性 (particularity of reasoning) 以及内容的完备性 (completeness)。
但是，这⼀切并⾮没有代价，那代价就是推理的极度曲折和冗长。⽐⽅说， “1” 这个⼩学数学第⼀课的内容在《数学原理》中直到第 363 页才被定义； 1+1 这个最简单的⼩学算术题直到第 379 页才有答案。⽐这种曲折和冗长更糟糕的，是《数学原理》虽然是逻辑主义的⾼峰，却在⼀定程度上背离了逻辑主义的初衷，即借助逻辑所具有的⾃明性(lf-evidence) 来构筑数学。在《数学原理》中，罗素和怀特海引进了⼏条不仅不⾃明，甚⾄未必能算逻辑的公理，⽐如⽆穷公理 (axiom of infinity)、选择公理 (axiom of choice)，以及可化归性公理 (axiom of reducibility)。这其中⽆穷公理和选择公理在集合论中也采⽤，倒还罢了，可化归性公理则完全是另类。《数学原理》的这⼀特点——尤其是可化归性公理——遭到了猛烈批评，批评者包括第⼀流的数学家、逻辑学家和哲学家，⼏乎是数学基础研究的⼀个明星阵容。
《数学原理》对 “1” 的定义
⽐如著名德国数学家外尔 (Hermann Weyl) 就质疑道，有任何具备现实头脑的⼈敢说⾃⼰相信这样⼀个不⾃然的体系吗？罗素的学⽣，著名哲学家维特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein) 也毫不客⽓地 “叛变” 了，表⽰数学的真正基础是像“1” 那样来⾃算术实践的东西，⽽不是⽤⼏百页篇幅才能推出 “1” 来的《数学原理》，理由很简单：⼀旦《数学原理》与那些算术实践相⽭盾，我们⽴刻就知道是《数学原理》⽽不是算术实践错了。确实，像 “1” 和 “1+1=2” 那样的 “⼩学数学” 果真需要像可化归性公理那样的公理及⼏百页的逻辑推理为 “基础” 吗？这对逻辑主义堪称是致命问题 [7]。
在这⼀问题前⾸先倒下的当然就是已成众⽮之的的可化归性公理。罗素⾃⼰后来也不得不承认， “没有任何理由相信可化归性公理是逻辑上必要的”， “把这⼀公理引进体系是⼀个缺陷”。但另⼀⽅⾯，罗素也不⽆感慨地意识到，很多困难似乎只有⽤ “并不漂亮的理论” 才能解决，⽽可化归性公理就是这种 “并不漂亮的理论” 的⼀个例⼦，放弃它会使得《数学原理》的很多部分——⽐如有关实数的部分——失去依托。在 1927 年出版的《数学原理》第⼆版的序⾔⾥，罗素表⽰希望由⼀些⾃⼰迄今未能找到的别的公理来顶替可化归性公理。
排版设计图片常⾔道：曲⾼和寡。推理的极度曲折和冗长使《数学原理》的读者群体⼩得可怜，这⼀点让罗素和怀特海深感失望。距离《数学原理》的出版将近半个世纪的 1959 年，罗素在《我的哲学的发展》 (My Philosophical Development) ⼀书中表⽰读过《数学原理》后⾯部分的据他所知只有六⼈。这简直跟传说中的只有少数⼈懂得相对论有⼀拼了——⽽且关于相对论的传说很可能是虚的，读过《数学原理》后半部分的⼈却恐怕真的很少。事实上，罗素在《数学原理》发表多年之后，还不⽌⼀次遇到有⼈试图重复解决早已被《数学原理》解决掉的问题。
写了⼀部⼤书却读者寥寥⽆⼏，这是不幸。⽐这更不幸的，是那寥寥⽆⼏的读者之中，却有⼀⼈捅出了娄⼦。此⼈名叫哥德尔 (Kurt Gödel)， 1931 年，他发表了⼀篇划时代的论⽂，题为 “论《数学原理》及相关体系中的形式上不可判定命题” (On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems) [8]。那篇论⽂给出了著名的哥德尔不完全性定理 (Gödel's incom
pleteness theorem)，它表明像《数学原理》那样的体系假如是⾃洽的，就必然是不完备的——即存在⼀些⽆法证明的真命题。除此之外，那篇论⽂还表明像《数学原理》那样的体系的⾃洽性本⾝也是不能在体系之内被证明的。如果说可化归性公理所⾯临的还只是⾃明不⾃明，漂亮不漂亮的问题，那么哥德尔不完全性定理对《数学原理》的冲击可就有点颠覆性的了。因为在早年，⼏乎所有研究数学基础的⼈都默认数学体系应当是⾃洽和完备的，⽐如我们前⾯提到过的，罗素和怀特海在为出版《数学原理》⽽向皇家学会申请赞助的信⾥，就强调了《数学原理》的完备性 [9]。
罗素曾感慨很多困难似乎只有⽤ “并不漂亮的理论” 才能解决，现在哥德尔告诉他，甚⾄在那 “并不漂亮的理论” ⾥，困难依然存在。这对罗素和他所执着的逻辑主义都是⼀个沉重打击，⽤罗素⾃⼰的话说， “我⼀直希望在数学中找寻的壮丽的确定性失落在了令⼈困惑的迷宫⾥。” 这也许是⽐ 10 年的苦⼲和负 50 英镑的 “赚头” 更让罗素受罪的。
不知是否是受罪所致，罗素在厚厚的⾃传中只有两处提到哥德尔，且不⽆ “差评”。其中⼀处认为哥德尔相信天堂⾥有⼀个永恒的 “否” 字，真正的逻辑学家在死后可以遇到 (罗素⾃⼰似乎提前遇到了)。罗素将之称为哲学上的 “德国偏见”(Germany bias)，并表⽰了失望 [10]。另⼀处则是援引了⾃⼰给⼀位 “⼥粉丝” 的信 [11]。那位 “⼥粉丝” 盛赞了《数学原理》，罗素在信中感谢道： “哥德尔的追随者⼏乎使我相信为《数学原理》所花的 20 ⼈年 (man-years) 已成浪费，那书也最好被忘记，发现您并不这么看是⼀种安慰。”——说是安慰，也不⽆酸楚吧。
但更酸楚的是英国数学家哈代 (Godfrey Harold Hardy) 在名著《⼀个数学家的辩⽩》(A Mathematician's Apology) 中转述的罗素的⼀个噩梦——那是从罗素本⼈那⾥听来的：公元 2100 年，剑桥⼤学图书馆的管理员拿着⼀个桶巡视在书架间，他要把没⽤的书扔进桶⾥处理掉，管理员的脚步在三本⼤书前⾯停了下来，罗素认出了那正是⾃⼰的《数学原
间，他要把没⽤的书扔进桶⾥处理掉，管理员的脚步在三本⼤书前⾯停了下来，罗素认出了那正是⾃⼰的《数学原理》，⽽且是最后幸存的⼀套。管理员把那三本书从书架上抽了出来，翻了翻，似乎被数学符号所困惑，然后他合上了书，思索着是否该扔进桶⾥……
哈代的转述没有结局，也许到这⾥罗素被惊醒了，未能 “看到” 结局。不过我对结局倒是毫不悲观，科学史从来也不是如政治史那样 “成王败寇” 的历史，《数学原理》虽未能实现将数学约化为逻辑的梦想，作为⼀次可敬的尝试⽆疑是该被铭记的。事实上，哪怕像哥德尔不完全性定理那样对《数学原理》造成沉重打击的研究，它以《数学原理》作为表述框架本⾝也是《数学原理》对数学发展的⼀笔该被铭记的贡献。因此，若让我来为罗素的噩梦想象⼀个结局的话，我愿相信公元 2100 年的图书管理员的决定会是明智的，起码会不亚于罗素那位 20 世纪的 “⼥粉丝”——那位 “⼥粉丝”说过： “只要⽂明还存在，并且珍视伟⼤智者的⼯作，它 [《数学原理》] 就不会被遗忘。”
注释这句名⾔的另⼀种译⽂是 “⼤书，⼤恶”，希腊原⽂则为 “µ?γαβιβλ?ον µ?γακακ?ν”。
浮光掠影什么意思罗素在⾃传中将国际哲学⼤会的时间记为了 1900 年 7 ⽉。
这是粗略折合成了中⽂字数，罗素⾃⼰的估计是约 20 万个 “词” (word)。
罗素悖论是关于集合 {x|x?x} 的悖论，由于这个集合是由所有不是⾃⾝元素 (即 x?x) 的集合组成的集合，它本⾝是否是⾃⾝元素就成了悖论。
有⼈——⽐如英国数学史学家格兰坦·吉尼斯 (Ivor Grattan-Guinness) 在《寻找数学的基础： 1870-1940》(The Search for Mathematical Roots, 1870-1940) ⼀书中——猜测罗素可能暗恋怀特海夫⼈。这⼀猜测若属实，则罗素因⽬睹怀特海夫⼈的痛苦⽽ “变成了⼀个完全不同的⼈”，以及后⽂即将提到的他 “顿悟” 到⾃⼰已不爱结婚⼋年的妻⼦之事或许都会更容易理解些——但当然绝⾮必需。芸豆的做法大全
《数学原理》共分三卷，初版时间分别为 1910 年、 1912 年和 1913 年。该书原本还计划包含⼀个有关⼏何的第四卷，由怀特海主笔，但未能完成。据信怀特海曾积累过数量可观的草稿，但在去世之后被依照其遗愿销毁了——同时被销毁的还有《数学原理》写作期间罗素给他的绝⼤多数信件。
值得⼀提的是，这些反对意见罗素和怀特海⾃⼰也多少预见到了 (毕竟，花⼏百页的篇幅才推出 “1” 来的⼈是很难不预见到这些反对意见的)。在《数学原理》第⼀卷的序⾔⾥，他们写道： “在数学上，最⼤程度的⾃明性 (lf-evidence)通常并不在开头，⽽是出现在后⾯某个地⽅；因此抵达那个地⽅之前
的早期推理与其说是因结论可以从前提中推出⽽提供了相信结论的理由，不如说是因正确的结论能从中推出⽽提供了相信前提的理由。” 对于公理的不够显⽽易见，这可以算是⼀种辩⽩，不过终究不是很有⼒，因为⾃明性如果出现在后⾯——⽐如出现 “1” 的地⽅，那么也许确如维特根斯坦所说的，应该那⾥才是数学的真正基础。
哥德尔去世后，他的遗物中有⼀套标有⽇期 1928 年 7 ⽉ 21 ⽇的《数学原理》——那⼀年哥德尔 22 岁。不过有趣的是，哥德尔并不在罗素所说的读过《数学原理》后⾯部分的六⼈之列 (因罗素提到那六⼈三⼈为波兰⼈，三⼈为得克萨斯⼈，⽽哥德尔是奥地利⼈，到美国后也不曾在得克萨斯定居过)，不知是罗素的遗漏、有意忽略、还是确实认为哥德尔没读过《数学原理》的后⾯部分。
罗素和怀特海所强调的完备性从字⾯上讲，是涵盖范围很⼴阔这⼀意义上的完备性，但在涵盖范围之内，则如哥德尔之前⼏乎所有研究数学基础的其他⼈⼀样，默认了不存在⽆法证明的真命题这⼀意义上的完备性。这后⼀种完备性恰恰因为前⼀种完备性，即涵盖范围很⼴阔，⽽被哥德尔不完全性定理所颠覆。
在罗素对哥德尔的这⼀ “差评” 中，著名物理学家爱因斯坦 (Albert Einstein) 和泡利 (Wolfgang Pauli) 也 “躺枪” 了——这两⼈在普林斯顿⾼等研究院 (Institute for Advanced Study) 时常与哥德尔⼀起讨论，罗素也 “列席” 过。罗素的 “差评” 是针对那些讨论的。
比较污的问题
那位 “⼥粉丝” 名叫希尔顿 (Alice Mary Hilton)，是⼀位⼥数学家，著有⼀本名为《逻辑，计算机及⾃动化》(Logic, Computing Machines, and Automation) 的书。
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