Micr ocomputer Applica tions V ol.27,No.6,2011
技术交流微型电脑应用2011年第27卷第6期
5文章编号：1007-757X(2011)06-0058-04离散II-型模糊集的不确定性度量
杜国宁，陆洲
摘要：随着II-型模糊集理论的不断发展和应用领域的扩大，需要探讨II-型模糊集不确定性的性质与度量方法，在研究II-型模糊集不确定性特征及模糊熵的基础上，通过扩展模糊熵的定义，给出了离散II-型模糊集熵的定义，证明其满足模糊熵的4条公理性条件，该定义将对II-型模糊集在不确定环境中的应用提供新的思路和方法。
关键词：II-型模糊集，区间值II-型模糊集，模糊熵，不确定性度量
中图分类号：TP18文献标志码：A
0引言
L.A.Zadeh 在1965年首次提出模糊集合（亦称，经典模糊集或者I-型模糊集）理论[1]，并且在对更加复杂的语
言及认知等不确定性问题进行研究的基础上提出了语言
变量和II-型模糊集的概念。1975年L.A.Zadeh 又将I-型
模糊集扩展到II-型模糊集（甚至N-型模糊集），为我们研
究更复杂的高阶及复合不确定性问题奠定了理论基础[2]。
随后，在II-型模糊集的研究和实践中，J.Mendel 等着重
研究了具有实用性的区间值II-型模糊集[3]，并发展了基于
双鱼女和处女男不确定性规则的模糊逻辑系统（其中包含的不确定性用II-
型模糊集表示），对基于II-型模糊集的模糊逻辑系统解模
糊化环节中各种降阶算法进行了优化和改进，以期将模糊
古埃及的文字
逻辑系统应用于实时计算的环境中。但目前对于II-型模糊
集不确定性度量问题还没有明确的定义和方法。
自1968年L.A.Zadeh [4]提出概率条件下经典模糊性度
量的设想以来，人们开始对模糊性度量进行不断的探讨，
Deluca 和Termini 于1972年提出了非概率条件的模糊熵
定义，并且给出了模糊熵应该满足的四条公理化条件[5]。
随后，Bhandari and Pal [6]、J.L.Fan and Y.L.Ma [7]等给出了
高阶模糊熵的定义。本文是在研究了现有经典模糊集熵的
基础上，结合II-型模糊集的特征，给出了离散II-型模糊
集熵的定义，为II-型模糊集的不确定性度量提供了新的思
路和方法。1II-型模糊集定义及特征
我们首先给出I-型模糊集（经典模糊集）、II-型模糊
集和区间值II-型模糊集的概念和定义[8,9]。
定义1设X 是论域，x X ∈，称映射:[0,1]A X →，()[0,1]A x x ∈(1)
确定了一个X 上的I-模糊集A 。映射
A 称为A 的隶属函数，()A x 称为x 对A 的隶属程度。定义2设A 是论域X 上的II-型模糊集，()[0,1]A x 是A 的二阶隶属度函数，且()()/x x A u J x f u u ∈=∫，x X ∈，[0,1]x J ，则A 可以表示为{(,()|}A A x x x X =∈(2)或者表示为[()/]/x x x X u J A f u u x ∈∈=∫∫[0,1]x J (3)其中，()x f u 是II-型模糊集A 中x 的二阶隶属度，x J 是II-型模糊集A 中x 的一阶隶属度。定义3设A 是论域X 上的区间值II-型模糊集，()[0,1]A x 是A 的二阶隶属度函数，且
()1/x A u J x u ∈=∫，x X ∈，[0,1]x J ，则A 可以表示为{(,
()|}A A x x x X =∈(4)
或者表示为——————————————
作者简介：杜国宁(1977－)，男，博士，上海统计局计量中心，从事满意决策度，模糊数据挖掘等研究，上海200003
陆洲(1967－)，男，硕士，上海统计局计量中心，上海200003
8
Microcomputer Applications V ol.27,No.6,2011技术交流微型电脑应用2011年第27卷第6期
5[1/]/x
x X u J A u x ∈∈=∫∫[0,1]x J (5)
其中x J 是区间值II-型模糊集A 中x 的一阶隶属度。
由定义2及定义3可知，在II-型模糊集A 中，当对
于任意x X ∈的一阶隶属度[0,1]x u J ∈的隶属度
()1x f u =时，则得到区间值II-型模糊集A ，即区间值II-
型模糊集A 是II-型模糊集A 的特例。如图1所示。由定
义1与定义3可知，区间值II-型模糊集A 可以看作是I-
型模糊集的集合，即对于II-型模糊集A ，论域X 上任何
一点x X ∈，每次当我们选择[0,1]x J 中的某个值作为
它的一阶隶属度时，我们得到一个I-型模糊集。所以对于
离散II-型模糊集，可以认为它包含有限个I-型模糊集，而
对于连续的II-型模糊集，可以理解为由无限个I-型模糊集
组成。对于II-型模糊集的隶属度不再是单一值，而是一个
模糊集（如图1(a)）。图1(a)中隶属度颜色的深浅代表二阶
隶属度的大小，颜色越深表示二阶隶属度越大。由于区间
II-型模糊集的二阶隶属度为0或者1，所以用黑色的色带
表示，如图1(b)
所示：
图1模糊集隶属度函数当定义2及定义3中的∫替换成∑时，我们分别可以得到相应的离散II-型模糊集和离散区间值II-型模糊集定义，在实际应用中往往将连续II-型模糊集离散化进行计算，所以本文着重解决离散II-型模糊集不确定性度量问题。2离散II-型模糊集不确定性度量对于模糊不确定性，通常认为包括两种不确定性，即Vagueness 不确定性和Ambiguity 不确定性。Vagueness 不确定性是指由于集合边界无法准确定义引起的模糊性；Ambiguity 不确定性是指由于存在多选一情况而无法确定选择哪一个而引起的模糊性。对此，我们引用文献[6],[10]的成果分别对这两种模糊不确定性定义如下：定义4对于离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的任一模糊集{()/,1,2,}A i i A x x i n ==，模糊集A 的Vagueness 熵表为11()[()ln(())(1())ln(1())]ln 2n v A i A i A i A i i E A x x x x n ==+∑(6)其中，0ln(0)0=，ln(0)=∞。定义5对于离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的任一模糊集{()/,1,2,}A i i A x x i n ==，模糊集A 的Ambiguity 熵表为**11()[()()]ln()n a A i A i i E A x x i +==∑(7)其中，*{()|1,2,}A i x i n =是{()|1,2,}A i x i n =中元素按照降序排列的结果集合，即**1()()A i A i x x +≥，且*1()0A n x +=。由定义2、3知，II-型模糊集具有二阶不确定性，II-型模糊集可以看作是I-型模糊集的集合，综合考虑定义4、5表示的不确定性，对于离散II-型模糊集的模糊熵定义如下：定义6对于离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的任一II-型模糊集A ，
9
Micr ocomputer Applica tions V ol.27,No.6,2011技术交流微型电脑应用2011年第27卷第6期
611
[(())/()],,i i n m
x j i j i i j x i j A f u x u x x X u J ===∈∈∑∑(8)其模糊熵()E A 定义为
11
*
*11
11(){[()ln(())(1())ln(1())]2ln 21[(())(())]ln ()}
2ln()i i n m
j i j i j i j i
i i m
x j i x j i j E A u x u x u x u x n m f u x f u x j m ==+==++
∑∑∑(9)
其中，0ln(0)0=，ln(0)=∞，
理由英语*
{(())|1,2,}i x j i f u x j m =是{(())|1,2,}i x j i f u x j m =按
降序排列的集合，**
1(())(())i i x j i x j i f u x f u x +≥，
*
1(())0i x m i f u x +=。
3离散II-型模糊集熵的性质
定义6表示的离散II-型模糊集熵的性质与经典模糊古诗观沧海
集熵的性质相类似，同样满足模糊熵的四条公理化条件，
分别证明如下：
(1)若A 为确切集，则()0E A =；
证明：当A 为离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的确
切集时，即A 满足,{0,1}i j x X u ∈∈，
(())1,()01i x j i j i f u x u x or ==，所以
1
[1/{0,1}]n
i A ==∑，由定义6可知()0E A =成立。
(2)若A 为最模糊集，则()E A 为最大；
证明：当A 为离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的最
模糊集时，即A 满足,()0.5i j i x X u x ∈=，
(())1i x j i f u x =，11
圆葱怎么做好吃[1/0.5]n m
i j A ===∑∑，则由定义6可
知()1E A =为最大值。在实际应用中，由于()j i u x 不
恒等于0.5，所以此时对于所有i x X ∈，当()0.5j i u x →时，()1E A →。(3)若A ′为A 的峰化形式，则()()E A E A ′≥；首先A 的峰化形式A ′定义为定义7对于离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的II-型模糊集A ，其峰化形式A ′表示为11[(())/()],,i i n m x j i j i i j x i j A f u x u x x X u J ==′′′′=∈∈∑∑(10)其中，当(())1i x j i f u x =时，(())1i x j i f u x ′′=，且()()j i j i u x u x ′≤若()0.5j i u x ≤，()()j i j i u x u x ′≥若()0.5j i u x ≥；当(())1i x j i f u x ≠时，(())(())i i x j i x j i f u x f u x ′′≤。证明：设A 为离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的II-型模糊集，A ′为其峰化形式。首先证明A 为离散区间值II-型模糊集时情况，即对于i x X ∈时，存在(())1i x j i f u x =，则11111(){[()l n(())(1())l n(1())]}2ln22n m j i j i j i j i i i E A u x u x u x u x n m ===++∑∑，又因为11[()ln(())(1())ln(1())]2ln2m j i j i j i j i i u x u x u x u x m =+∑是关于()0.5j i u x =对称的凸函数，所以根据定义7，易知()()E A E A ′≥。现在证明一般离散II-型模糊集的情况，对于一般离散II-型模糊集可以理解为包含(())1i x j i f u x =和(())1i x j i f u x ≠两种情况，前者已经证明，这里只需考虑(())1i x j i f u x ≠时情况，即假设11[()ln(())(1())ln(1())]2ln 2m j i j i j i j i i u x u x u x u x m =+∑不变，由于1'''1111[(())(())]ln()[(())]ln(
)
i i i m m x j i x j i x j i j j j f u x f u x j f u x j +==+=∑∑，
当(())(())i i x j i x j i f u x f u x ′′≤时，可以得到
Microcomputer Applications V ol.27,No.6,2011技术交流微型电脑应用2011年第27卷第6期6()()E A E A ′≥。综合考虑两种情况，可以证明对于一般
离散II-型模糊集()()E A E A ′≥成立。
(4)()()E A E A =，其中A 是A 的补集；
证明：设A 为离散论域{|1,2,}i X x i n ==上的II-型
模糊集，其补集为11
{(())/[1()]},,i i
n m
x j i j i i j x i j A f u x u x x X u J ===∈∈∑∑，则根据定义6，显然有()()E A E A =成立。
4仿真实例
由于在人类语言和认知中存在大量的模糊概念，我们
以漂亮女孩为例来说明本文提出的离散II-型模糊集熵的理发店活动
性质。设论域12345{,,,,}X x x x x x =，其中i x 代表某个
女孩，定义在该论域上的II-型模糊集“漂亮女孩”表示为
A ，对于任意女孩i x 其漂亮程度描述用语言值表示为低、别董大意思
不低、中等、高，非常高，即A =中等/1x +不低/2x ＋低
/3x ＋很高/4x ＋高/5x 。对于模糊语言值分别表示如下：
低＝1/00.9/0.10.7/0.20.4/0.3+++，不低＝
0.1/0.10.3/0.20.6/0.31/(0.40.51)++++++，
寒假里的新鲜事作文中等＝0.3/0.3+0.7/0.4+1/0.5+0.7/0.6+0.3/0.7，高＝
0.4/0.70.7/0.80.9/0.91/1+++，非常高＝
0.16/0.70.49/0.80.81/0.91/1+++。
根据定义7，A 的峰化形式可以表示为
A ′=(1/0+0.8/0.1+0.6/0.2+0.3/0.3)/1x +
(0/0.1+0.2/0.2+0.5/0.3+1/(0.3+0.4+0.6+0.7+0.8+0.9+1))/2
x +(02/0.3+0.6/0.4+/1/0.5+0.6/0.6+0.2/0.7)/3x +(0.3/0.7+0.6/0.
8+0.8/0.9+1/1)/4x +(0.06/0.7+0.39/0.8+0.71/0.9+1/1)/5x 。则
()0.6734E A =，()0.6209E A ′=，()()E A E A ′≥。
5结论II-型模糊集是I-型模糊集理论的扩展，它为表示和处理复杂系统中的不确定性问题提出了一种新的思路。对于II-型模糊集不确定性性质及度量的探讨才尚处于起始阶段，本文正是在对I-型模糊集熵及II-型模糊集特征研究的基础上，扩展了经典模糊熵的定义，提出了离散II-型模糊集熵的概念，对II-型模糊集所包含的Vagueness 模糊性及Ambiguity 模糊性进行了很好的量化，并证明了该II-型模糊集熵满足模糊熵的四个公理化条件。参考文献[1]Zadeh.L.A.Fuzzy ts[J].Information and Control,1965,8:338-353.[2]Zadeh.L.A.The concept of a linguistic variable and its application to appro
ximate reasoning-I[J].Information and Control,1975,8:199-249.[3]Qilian liang,Jerry M.Mendel,Interval type-2fuzzy logic system:theory and design[J],IEEE transaction on fuzzy t,2000,8(5):535-560.[4]Zadeh L A.Probability measures of fuzzy events[J].Journal of mathematical Analys and Applications 1968,23:421-427.[5]Deluca A.and Termini S.A definition of nonprobabilis-tic entropy in the tting of fuzzy ts[J],Infor.Contr.1972,20:201-312.[6]Dinabandhu Bhandari and Nikhil R.Pal.Some new information measures for fuzzy ts[J],Information sciences.1993,67(3):209-228.[7]Jiu-Lun Fan and Yuan-Liang ma.Some new fuzzy en-troy formulas[J].Fuzzy ts and systems.2002,128:277-284.[8]谢季坚，刘承平.模糊数学方法及其应用[M].武昌：华中科技大学出版社,2003.[9]Jerry M.Mendel,Uncertain rule-bad fuzzy logic systems:introduction and new directions[M].U.S.:Prentice Hall PTR,2001.[10]Higashi M.and Klir.G .J.Measures of uncertainty and information bad on possible distributions[J].Internal.J.Gen.Systems.1983,9:43-58.(收稿日期：2011.03.15)
1
