第29卷 第12期系统工程与电子技术
Vol.29 No.122007年12月
Systems Engineering and Electronics Dec.2007
文章编号:10012506X (2007)1222060204
收稿日期:2006-11-16日；修回日期:2007-07-30。
基金项目：国家自然科学基金(60773209)；陕西省自然科学基金(2006F18)资助课题
作者简介：王毅(1979-)，男，博士，主要研究方向为智能信息处理与智能决策等研究。E 2mail :wyliner @
基于直觉模糊集的多属性模糊决策方法
王 毅，雷英杰，路艳丽
(空军工程大学导弹学院，陕西三原713800)
摘 要：针对模糊条件下的多属性决策问题，提出了一种新的基于直觉模糊集的多属性模糊决策方法。首
先，给出了直觉模糊集的几何解释，定义了两个直觉模糊集之间的距离，确定了各候选方案指标值在直觉模糊集中的表示形式。其次，针对在信息不完全确定的模糊环境下，建立了基于直觉模糊集的多属性模糊决策模型，给出了适合这种模型的相应定义，提出了理想方案和负理想方案的概念，并结合信息不完全确定性处理来保证方案的唯一性。最后，通过比较各方案的直觉模糊集与理想和负理想方案的距离来确定方案集的排序。通过实例验证了方法的正确性和有效性。
关键词：多属性决策；直觉模糊集；模糊决策；多属性指标中图分类号:TP 182 文献标志码:A
Multiple attribute decision making method bad on intuitionistic f uzzy ts
WAN G Y i ,L EI Y ing 2jie ,L U Yan 2li
(Missile I nst.,A i r Force Engineering Univ.,S any uan 713800,China )
Abstract :For t he multiple attribute decision making in f uzzy conditions ,a new multiple attribute decision making met hod bad on intuitionistic f uzzy t s is propod.First ,geometrical illustration of int uitionistic f uzz 2y t s is prented ,t he distance between two int uitionistic f uzzy t s is defi
ned ,and the form to express t he rat 2ing of alternatives in int uitionistic f uzzy t s is determined.Second ,for t he f uzzy environment in which data can not be completely determined ,a multiple attribute decision making model bad on int uitionistic f uzzy t s is es 2tablished ,t he related definitions t hat fit t he model are given ,t he concept of positive 2ideal and negative 2ideal schemes are put forward ,combining the uncertainty of data as a solution to guaranteeing t he exclusiveness of t he scheme.Finally ,t he ranking order of t he schemes is determined by comparing t he distance between int u 2itionistic f uzzy t s and positive 2ideal and negative 2ideal schemes ,and an example shows t hat t he met hod is valid and correct.
K eyw ords :multiple attribute decision making ;intuitionistic fuzzy ts ;fuzzy decision making ;multi 2criteria
0 引 言
直觉模糊集(intuitionistic f uzzy t s ,IFS )[1-4]是对Zadeh 模糊集的一种扩充和发展,Zadeh 模糊集是直觉模糊
集的特殊情形[2-3]。1993年，作为IFS 的一种特殊表现形式Vague 集被提出[5]，在此基础上,Chen [6]和Hong 等[7]分别基于Vague 集对多准则决策问题进行了研究。然而，文献[8]指出Vague 集就是IFS 。
直觉模糊集的特征是同时考虑隶属度和非隶属度两方面的信息，这使得直觉模糊集在处理不确定性信息时比传统的模糊集有更强的表达能力，更具灵活性，已经在医疗图像处理、模式识别、战场态势与威胁评估等领域取得成功应用[9-11]。理论分析与实践表
明，直觉模糊集理论在语义表述和推理能力等方面都优于Zadeh 模糊集[4,12]。
多属性决策就是在多个候选方案中，如何选择一个最满足一组评价指标的方案问题。Hwang 和Y oon 等[13]对经典的模糊多属性决策方法进行了综述，并利用TOPSIS 方法作为经典的多属性决策方法之一来研究模糊环境下的多属性决策问题。其基本出发点是在n 维空间中，将方案集A 中的各被选方案A i 与正理想解A +和负理想解A -的距离进行比较，选取靠近正理想解而又远离负理想解的方案作为方案集
A 的最佳方案。但由于模糊集理论自身存在一定的限制，使
得在模糊环境下，精确数据不适合用来描述现实环境下多属性决策问题。为了解决模糊集无法表示和处理这类具有模
第12期王毅等：基于直觉模糊集的多属性模糊决策方法
学心理学有出路吗·2061 ·
糊性的不确定信息和数据的问题，文本将基于直觉模糊集理论来研究模糊环境下的多属性决策问题。
1 直觉模糊集的概念及运算
定义1(直觉模糊集[1]) 设X 是一个给定论域，则X 上的一个直觉模糊集A 为
A ={〈x ,μA (x ),γA (x )〉
|x ∈X}其中μA (x )∶X ϖ[0,1]和γA (x )∶X ϖ[0,1]分别代表A 的隶属函数μA (x )和非隶属函数γA (x )，且对于A 上的所有x ∈X ,0≤μA (x )+γA (x )≤
1成立。当X 为连续空间时
A =
∫
X
〈μA
(x ),γA
(x )〉/x ,x ∈X
当X ={x 1,x 2,…,x n }为离散空间时,
A =
∑
n
i =1
〈μA
(x i
),γA
(x i
)〉/x i
,x i ∈X ,i =1,2,…,n
直觉模糊集A 有时可以简记作A =〈x ,μA ,γA 〉或者A =〈μA ,γA 〉/x 。显然，每一个一般模糊子集对应于下列直觉模糊子集
A ={〈x ,μA (x ),1-μA (x )〉
|x ∈X} 对于X 中的每一个直觉模糊子集，称πA (x )=1-μA (x )-γA (x )为A 中x 的直觉指数(intuitionistic index )，它是x 对A 的犹豫程度(hesitancy degree )的一种测度。显然，对于每一个
x ∈X ,0≤πA (x )≤1。对于X 中的每一个一般模糊子集A ,πA (x )=1-μA (x )-[1-μA (x )],Πx ∈X 。
定义2(直觉模糊集基本运算[2-4]) 设A 和B 是给定论域X 上的直觉模糊子集，则有(1)A ∩B ={〈x ,μA (x )∧μB (x ),
γA (x )∨γB (x )〉
|Πx ∈X}(2)A ∪B ={〈x ,μA (x )∨μB (x ),
γA (x )∧γB (x )〉
|Πx ∈X}(3)A -
={〈x ,γA (x ),μA (x )〉
|x ∈X}2 直觉模糊集的几何解释
若一个直觉模糊集X 由(μA ,γA ,πA )表示，则直觉模糊集中的任意一个元素可表示为几何平面上的一点(μA ,γA ,
πA )。
将论域X 上的直觉模糊集A 映射到三角平面A B D 中，如图1所示。
一个直觉模糊集X 被映射到三维空间A B D 内，直觉模糊集X 中每一个元素与三维空间A B D 内的每一个点相对应，由图1可知，在三维空间A B D 中,x 的坐标为(μ,γ,π),x ∈I FS (X )且满足关系μA (x )+γA (x )+πA (x )=1。可以看出，三维空间A B D 中的点x 与直觉模糊集X 中的元素x ′对应。于是，直觉模糊集之间的距离就转化为求解三维空间中两点之间的距离。特别地，当三维空间A B D 正交投影到二维平面A B C 时(Πx ∈A B D ϖx ∈A B C ),
则有
图1 直觉模糊集的几何表示
ABD =A B C (D ’
)，此时直觉模糊集退化为模糊集；当二维空间A B C 投影到μ轴时，则有A B D =A B C (D ’
)CA ，此时直觉模糊集退化为非模糊集，即μ(x )=[0,1]，则π(x )=0。
由此，我们得到直觉模糊集之间距离的如下定义。
定义3 (直觉模糊集的距离) 在非空集合,X =(x 1,
x 2,…,x n ),A ,B ∈I FS (X )，且
A ={〈x ,γA (x ),μA (x )〉|x ∈X}
B ={〈x ,γB (x ),μB (x )〉
|x ∈X}πA (x )=1-μA (x )-γA (x )
πB (x )=1-μB (x )-γB (x )
则直觉模糊集A ,B 之间的距离定义为
d H (A ,B )=
|I FS [μA (x )]-I FS [μB (x )]|/4+(|μA (x )-μB (x )|+γA (x )-γB (x )|)/4
(1)
容易证明，上述直觉模糊集的距离d H (A ,B )具有以下性质:
(a )d H (A ,B )≥0;
(b )d H (A ,B )=d H (B ,A );
(c )d H (A ,A )=0,d H (A ,B )=0当且仅当A =B ;
(d )d H (A ,C )≤d H (A ,B )+d H (B ,C )，其中A ,
B ,
C ∈I FS (X );
(e )设X 是非空集合,A ,B ,C,∈I FS (X ),B 比C 更靠
近A ，当且仅当d H (A ,B )≤d H (A ,C )。
3 基于直觉模糊集的多属性模糊决策模型
3.1 问题描述
在多个候选方案中，如何选择一个同时满足一组属性
方案的问题，是多属性模糊决策问题。
定义4 设A ={A 1,A 2,…,A m }为决策方案集,C ={C 1,C 1,…,C n }为属性集。在信息不完全确定的模糊环境下，决策方案A i 的第j 个指标的评价值可分别用直觉模糊集的u ij 和γij 表示，这样更能准确地描述各方案评价指标所
·2062
·系统工程与电子技术第29卷
包含的模糊信息。并设决策方案A i在属性集C下的特征
指标由以下直觉模糊集表示
A i={(C1,[μi1,γi1]),(C2,[μi2,γi2]),
…(C n,[μin,γin])}
式中,u ij表示决策方案A i满足属性C j的程度,γij表示决策
方案A i不满足属性C j的程度。并设πij=1-u ij-γij。
定义5 如果决策者要在决策方案集A中选择一个方
案同时满足属性C j,C k,…,C p或者满足属性C s，那么，这
个决策者的要求可以由如下的表达式定义
C j and C k and…and C p or C s
一只小鸟阅读答案 基于直觉模糊集的多属性模糊决策问题，就是如何从
用直觉模糊集表示的满足属性指标程度的候选方案中选出
满足决策者要求的最佳方案。
3.2 基于直觉模糊集的多属性模糊决策模型
(1)直觉模糊集距离的定义
直觉模糊集之间的距离主要有海明(Hamming)距离、
欧氏(Euclidean)距离、明可夫斯基(Minkovski)距离、切比
可夫(Chebyishev)距离等[14]。根据直觉模糊集的几何解
释，将上述所定义式(1)扩展得到相应的海明距离来计算两
个直觉模糊集之间的距离。
定义6 假设A与B是两个直觉模糊集,A和B之间
的Hamming距离可定义为
d H(A,B)=1
n
∑n
i=1
D[I FS A(x i),I FS B(x i)]=
1 n ∑n
i=1
[|S(I FS A(x i))-S(I FS B(x i))|/4+
|μA(x i)-μB(x i)|+|γA(x i)-γB(x i)|/4](2)式中
I FS A(x i)=[μA(x i),γA(x i)],
I FS B(x i)=[μB(x i),γB(x i)](x j∈U,1≤i≤m)
(2)方案的确定
定义7 分别把100%满足决策者提出要求的候选方案称为理想方案A+,A+=(δ+1,δ+2,…,δ+n)。把100
%不满足决策者提出要求的候选方案称为负理想方案A-,A-= (δ-1,δ-2,…,δ-n)，其中δ+=(μ+j,γ+j),δ-=(μ-j,γ-j)。
对于直觉模糊理想方案
A+∶δ+j μ+
j=max
μij
γ+
j=min
γij
(3)
对于直觉模糊负理想方案
A-∶δ-j μ-
j=min
μij
γ-
j=max
家乡代言人
γij
(4)
其中i=1,2,…,m,j=1,2,…,n。
由于上述确定直觉模糊理想方案和负理想方案的过程，可以证明δ+j=(μ+j,γ+j),δ-j=(μ-j,γ-j)都是直觉模糊值，其中0≤μ+j+γ+j≤1,0≤μ-j+γ-j≤1。
定义8 若在各候选方案所选取的理想方案或负理想方案中存在多个正理想解δ+或负理想解δ-时，则对理想方案进行不完全确定性处理，即考虑候选方案对满足多属性指标的不确定性，则信息不完全确定方案可定义为
U(A i)=
1
m
∑m
i=1
(1-μA(x i)-γA(x i))(5)式中,0≤U(A)≤1，若U(A)越大，则直觉模糊候选方案A 越不确定。
(3)模型的建立
理想方案A+满足多属性指标C p，满足程度可由直觉模糊表示成[1,0]，即A+={(C p,[1,0])}。负理想方案满足多属性指标C s，则满足程度可由直觉模糊值表示成[0,1]，即A-={(C s,[0,1])}。
严阵以待的意思
候选方案A i与直觉模糊理想方案A+的距离为
D+i(A i,A+)=
1
n
∑
p∈N
{|S[IFS A
i
(C p)]-
S[IFS A(C p)]|/4+|μA(C p)-μA(C p)|+
|γA(C p)-γA(C p)|/4}
于是有
D+i(A i,A+)=
1
2n
∑
晒娃幽默说说p∈N
{1-[μA(C p)-μA(C p)]+
[γA(C p)-γA(C p)]}(6)同理，候选方案A i与负理想方案A-的距离为
D-i(A i,A-)=
1
2n
∑
S∈N
{1-[μA(C S)-
μ
A
(C s)]+[γA(C s)-γA(C s)]}(7)
(4)候选方案的综合评价指数
字母c计算候选方案的排序指标值即综合评价指数
ζ
i=
D+i
D+i+D-i
(8)按照综合评价指数ζi由小到大排列各候选方案的最优次序,ζi 的值越小，其对应的方案越优。
3.3 基于直觉模糊集的多属性模糊决策算法
下面给出算法的具体步骤。
步骤1 将候选方案中的数据通过(2)式进行相应计算，处理成符合直觉模糊集要求的数据，作为输入数据;
步骤2 依据式(3)、(4)分别从各候选方案选出符合要求的理想方案与负理想方案，若存在多个正理想解或负理想解时，则由(5)式对其方案进行信息不完全确定性计算，最终确立唯一的理想方案与负理想方案;
步骤3 分别由式(6)、(7)计算出各个候选方案A i与最终确定的理想方案及负理想方案的距离D+(A i,A+)和D-(A i,A-);
步骤4 将候选方案与确定的理想方案及负理想方案的距离通过式(8)计算出各候选方案的综合评价指标并进行优劣排序,ζi的值最小者，其对应的方案最优。
4 算 例
下面给出一个实例来验证在模糊环境下的直觉模糊集的多属性模糊决策问题。假定有5组候选方案{A1,A2,A3,A4, A5}和5个属性指标{C1,C2,C3,C4,C5}，决策者根据自己的知识、经验和统计数据等确定各候选方案对多属性指标的满足程度用直觉模糊集表示如下，如表1所示。
第12期王毅等：基于直觉模糊集的多属性模糊决策方法·2063
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表1 各候选方案多属性指标决策表
C1C2C3C4C5
A1(0.6,0.1)(0.3,0.1)(0.1,0.4)(0.7,0.1)(0.5,0.2)
A2(0.3,0.2)(0.4,0.3)(0.3,0.4)(0.6,0.2)(0.8,0.1)
A3(0.6,0.3)(0.7,0.2)(0.4,0.4)(0.4,0.1)(0.7,0.2)
A4(0.2,0.5)(0.5,0.2)(0.5,0.3)(0.5,0.3)(0.9,0)
A5(0.3,0.4)(0.2,0.2)(0.2,0.4)(0.3,0.5)(0.4,0.5)通过对表1的分析，可以看出对满足属性C1的正理想解的方案有A1和A3，同样对于满足属性C3的负理想解的方案有A1、A2、A3、A5。此外还有满足属性C4的负理想解的方案A1、A3，这里不再详述，处理方法同C3。此时，利用式(5)对其满足多属性指标的各个方案进行信息不完全确定性计算，则满足属性C1的正理想解方案A1和A3的信息不完全确定指
标为U(A1)=0.3,U(A3)=0.1，满足属性C3的负理想解方案A1、A2、A3、A5的信息不完全确定指标为U(A1)=0.5,U(A2)=0.3,U(A3)=0.2,U(A5)=0.4。U(A)的指标值越大，则表示方案越不确定，从而得到唯一满足属性C1的正理想解的方案A3和唯一满足属性C3的负理想解的方案A3。最终构建了唯一的直觉模糊理想方案A+与负理想方案A-，如表2所示。
表2 直觉模糊理想方案与负理想方案
C1C2C3C4C5
A+(0.6,0.3)(0.7,0.3)(0.5,0.3)(0.7,0.1)(0.9,0)
A-(0.2,0.5)(0.4,0.3)(0.4,0.4)(0.3,0.5)(0.4,0.5)
通过模型(6)、(7)计算各候选方案与直觉模糊理想方案和负理想方案的距离D+(A1,A+)和D-(A i,A-)，并将其代入式(8)计算各候选方案的综合评价指数，如表3所示。
表3 各候选方案的距离及其综合评价指数节约粮食征文
D+i D-iζi
A10.610.320.656
A20.620.480.564
A30.580.290.667
A40.610.380.616
A50.80.510.610
通过表3各候选方案与理想方案与负理想方案的距离及其各候选方案的综合评价指数，方案的优劣次序依次为A2:A5:A4:A1:A3，则候选方案A2为最佳方案。
5 结束语
本文的主要贡献是针对在模糊环境下的多属性决策问题，提出一种基于直觉模糊集的多属性决策方法。首先，依据直觉模糊集理论，给出了直觉模糊集的几何解释，定义了两个直觉模糊集之间的距离，确定了各候选方案指标值在直觉模糊集中的表示形式。其次，针对在信息不完全确定的模糊环境下，建立了基于直觉模糊集的多属性模糊决策模型，给出了适合这种模型的相应定义，提出了理想方案和负理想方案的概念，并结合信息不完全确定性处理来保证方案的唯一性。再次，通过比较各方案的直觉模糊集与理想方案和负理想方案的距离来确定方案集的排序。最后，给出了该方法的数学描述、数据组织、结果评价及算法实现步骤。通过实例研究，验证了本文方法的正确性和有效性。该方
法的最大优点是可以提高决策方案的可信度，确保所选方案的唯一性，提高推理结果综合值的精度。因而具有良好的应用前景，为决策系统提供了一个更加有用的工具。
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