微分方程式 (Differential Equations)
微分方程式
微分方程式: 方程式或等式中含有自變數之未知函數及其導函數或微分者稱之
函數(因變數)y = f (x ); x ：自變數 ⇒ 一般式或通式()0,=y x F
where ()()x f y y x F -=,
函數的微分(differential) dy : 代表函數y 隨著自變數x 之變化―∆x ，而變化之∆y 的
線性主部
dx dx
dy dy =
()()dx x y x dy '=
函數的導函數(derivative)
()()x
x y x x y x y dx dy y x x ∆-∆+=∆∆==
'→∆→∆00lim lim
※ 一個函數的自變量的增量∆x 趨近某一極限時，其因變量的增量∆y 與自變量的增量∆x 之商的極限
※ 函數y 對自變數x 之瞬間變化率(instantaneous rate of change); 函數y 的無窮小的變化量dy (微分) 相對自變數x 的無窮小的變化量dx (微分)
()()x y x x y y -∆+≡∆ ⇒
()()εε+∆'=+=∆x x y x dy y
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dx x =∆
⇒ ()ε+'=∆dx x y y
()()⎩
⎨
⎧P.D.E. Equations, al Differenti Partial O.D.E. Equations, al Differenti Ordinary 偏微分方程式常微分方程式
微分方程式
常微分方程式（ordinary differential equation ，簡稱ODE ）是只含有一個自變數的函數及它們的一個或多個導函數的微分方程式
偏微分方程式指含有兩個或兩個以上自變數的函數及及其偏導數的方程式
定義 一n 階常微分方程式通式如 ()()
0,,,,='''n y y y y x F ()
()0,,,='⇒='y y x F y x f y
where ()()y x f y y y x F ,,,-'='
()()()()()()()0,,,=-+'+''='''⇒
约翰弥尔顿=+'+''x f y x b y x a y y y y x F x f y x b y x a y
()()()()()
一階一次常微分方程式
三階二次常微分方程式二階一次常微分方程式
一階一次常微分方程式0
1413cos 6221525
222
332
假山造型设计2
=-+=++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+'+''=+dy y dx xe e t x dt x d dt x d x y y y y xy dx
dy x
t
()
01
1552
2
=-+⇒
=-+y xe dx dy dy y dx xe x
x 階(order): 微分方程式中出現之最高微分數稱為此微分方程式之階數
次(degree): 微分方程式化成有理整式後，最高階微分相之最高幕次，稱為此微分方程式之次數
線性常微分方程式 (linear ordinary differential equation): 微分方程式中自變數的函數(因變數) 及其導數的幕次均為一次方且無相互乘積項
非線性常微分方程式 (nonlinear ordinary differential equation): 不屬於常線性微分方程式者均屬之
()()()()()
非線性常微分方程式
非線性常微分方程式
線性常微分方程式非線性常微分方程式0
1413cos 6221525
222
332
2
=-+=++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+'+''=+dy y dx xe
e t x dt x d dt x d x y y y y xy dx
dy x t
常微分方程式可表為下列通式者稱為線性常微分方程式
()()()()()()()x R y x a y x a y x a y x a n n n n =+'+++--0111 1. ()n y y y y ,,,'''均為一次方且無乘積項 2. 無y 與其導數的非線性函數存在,()
y e y y ,,sin
3. ()()()()()x R x a x a x a x a n n ,,,,,011 -只為自變數的函數或常數
齊次微分方程式 (homogeneous differential equation): R (x ) = 0 非齊次微分方程式 (inhomogeneous differential equation): R (x ) ≠ 0
()()分方程式
二階一次非線性齊次微式
一次線性齊次微分方程三階0cos 0cos sin 322223
32
=++=+-y dx
dy
dx y d y t dt y d t dt y d t
微分方程式的解
定義 一n 階微分方程式在區間(a , b )的解為在區間(a , b )滿足該微分方程式之一n 次可微分函數
定義 一n 階微分方程式()()
0,,,,,='''n y y y y x F 在某區間I 的解，為定義在區間I 並滿足該()()()()()()
I x x x x x x F n ∈∀=''',0,,,,,φφφφ 之一n 次可微分函數()x φ
證明函數()12-=x x φ為微分方程式22+=y dx
夏威夷果怎么打开dy
x
在區間∞<<∞-x 之解
()()⎩⎨
穿越大峡谷⎧'
→
='→-=y x
x y x x 212φφ 02222=--⇒
+=y dx
dy
x
家电清洗行业y dx
dy
x ()()
华科校长02222212222222=-+-=---=--x x x x x y dx
dy
x
∴
()12-=x x φ為微分方程式22+=y dx
dy
x
在區間∞<<∞-x 之解
證明函數()x x x x y ln 22/12/1-=為微分方程式042=+''y y x 在區間()∞,0之解
()x x x x x x x x x x x x y ln 21ln 21ln 212122/12/12/12/112/12/12/1--------=--=⎪⎭⎫
⎝⎛+-='
()2/32/312/12/321ln 4
1
ln 2121------=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=''x x x x x x x x y
()()()⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
-=''-='-=---2/32/32/12/12/121ln 41ln 21ln 2x x x x y x x
x y x x x x y
ln 22ln ln 221ln 41442/12/12/12/12/12/12/32/322=-+-=-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+''--x x x x x x x
x x x x x x y y x ∴ 函數()x x x x y ln 22/12/1-=為微分方程式042=+''y y x 在區間()∞,0之解
證明函數()x x y ln =為微分方程式022=+dx dy
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dx
y d x 在區間()∞,0之解, 但在區間()∞∞-，則不為其解
()x x y ln =的定義域為()∞,0
0111
111
222222=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⇒
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x x x
x x dx dy dx y d x x dx
y
d x dx dy
∴ 函數()x x y ln =為微分方程式022=+dx dy
dx
y d x 在區間()∞,0之解 ∵
對數函數在區間()0,∞-無定義⇒函數()x x y ln =不為微分方程式
022=+dx dy
dx
y d x 在區間()∞∞-，之解
顯函數解: 一n 階微分方程式其解可表為下列形式者，稱之
