新一维混沌系统及加密特性研究
李娟霞;孙会明;陈薇
【摘 要】提出一种新的产生一维混沌系统的组合结构，以此结构设计两个新一维混沌系统，通过绘制 Lyapunov 指数图和分岔图研究两个新混沌系统性能。研究结果表明，此结构生成的一维混沌系统具有混沌区间大、区间连续、混沌序列分布均匀、系统 Lya-punov 指数高和可控参数多等优点。为了进一步提高混沌序列均匀分布特性，设计一变换过程，变换之后的混沌序列满足均匀分布。最后，为了展示新系统在信息安全方面的应用，设计一简单的图像加解密算法。通过 Matlab 软件进行仿真和性能测试，结果表明变换之后的混沌序列具有更好的加密特性。%This paper propos a new composite structure for generating 1D chaotic system.Two new 1D chaotic systems are designed by using this structure.Through plotting Lyapunov exponent diagram and bifurcation diagram we studied the performance of two new chaotic systems,study results showed that the new 1D chaotic system generated by this structure had the advantages of large and continuous chaotic range,uniform chaotic quence distribution,high system Lyapunov exponent and more controllable parameters,et
勤劳的c.In order to further improve the uniformity of chaotic quence distribution,we designed a transformation process.After the transformation the chaotic quence satisfied the uniform distribution.At last,in order to demonstrate its applications in information curity,we designed a simple image encryption and decryption algorithm.The new systems were simulated and tested their performances on Matlab,results showed that after the transformation the chaotic quence had higher encryption characteristic.
【期刊名称】《计算机应用与软件》
【年(卷),期】2016(033)011
【总页数】6页(P321-325,330)
【关键词】混沌;图像加密;统计分析
【作 者】李娟霞;孙会明;陈薇
【作者单位】缀的多音字河西学院物理与机电工程学院 甘肃 张掖 734000;西安科技大学电气与控制工程学院 陕西 西安 710054;西安科技大学电气与控制工程学院 陕西 西安 710054
【正文语种】中 文
【中图分类】TP309.7
混沌系统对参数和初始值具有很强的敏感性，且具有遍历和不可预测的特点；混沌系统通过控制其参数和初始值就可以很方便地产生不同的伪随机序列。因此，混沌系统在不同领域的应用引起了很多研究者的关注。特别在信息安全方面的应用，混沌系统展示了极其优越的性能[1-23]。例如，由Hua等人提出的2D Sine-Logistic调制混沌图像加密算法[1]，其对图像加密获得了较高的安全性。
现存的混沌系统主要分为两类：一维混沌系统和高维混沌系统。一维混沌系统通常含有一个变量和比较少的参数，例如Logistic、Sine、Tent映射等[2,3]，它们的结构和混沌轨迹相对简单。随着混沌信号估计技术的发展，当很少的信息被获取之后，它们的混沌轨迹就有可能被识别，进而获得系统的初始值和控制参数值，这些缺点限制了它们在安全领域的应用。已有文献研究指出，几种基于一维混沌映射图像加密算法是不安全的[4]。高维混沌系统至少有两个变量，与一维系统比较，高维混沌系统如Lorenz系统、chee-Lee系统具有更复杂的系统结构和更好的混沌行为。这些特点将使得高维混沌系统的轨迹变得很难预测。
威海旅行然而，高维系统的实现变得相对复杂，也使得高维系统的应用受到限制。一维混沌系统普遍存在Lyapunov低的现象，而且一维混沌系统都存在混沌区间小、混沌区间不连续和混沌序列分布不均匀的问题。研究如何通过有效的方法获得混沌区间宽、混沌区间连续、混沌序列分布均匀且具有高Lyapunov指数的一维混沌系统具有很高的研究价值。
设计新混沌系统极其困难，如何通过有效的方法在现有一维混沌基础上获得性能更好的一维混沌系统不失为一捷径。文献[2]提出了一种并联组合方式，通过此方式可以改善混沌系统的混沌序列分布不均匀、混沌区间不连续和混沌区间小的问题，但是生成的新混沌系统的Lyapunov指数并没有提高。文献[5]提出了一种级联结构，通过对子(Sine、Logistic、Tent等)一维系统进行级联则可以提高系统的Lyapunov指数，且混沌区间也有所增加，但是混沌区间不连续问题和混沌序列分布不均匀问题没有得到改善。
本文在一维混沌系统的基础上，提出一新的能产生一维混沌系统的结构。该结构所描述的方式对现有一维混沌系统(Sine、Tent、Logistic等)进行组合可以获得性能更好的一维混沌系统，且其结构简单灵活。文章中以此结构给出了两个新的一维混沌系统，为观察新混沌系统的混沌行为，通过Matlab软件绘制了对应的分岔图和Lyapunov指数图。结果表明，新
的一维混沌系统具有更高的Lyapunov指数，产生的混沌序列分布更加均匀，混沌区间广、混沌区间连续且可控参数多。本文同时对设计的两个新混沌系统之一提出一种序列均匀分布改善方法，对改进后的混沌序列做了均匀分布性能测试。测试结果表明，输出混沌序列通过改善之后满足均匀分布。为了展示新混沌系统和改善之后的混沌序列的加密特性，设计一简单的图像加密算法，仿真结果表明新混沌系统产生的混沌序列具有很高的加密特性。
本文研究主要以一维Logistic、Tent和Sine混沌映射为基础。因为Logistic、Tent和Sine系统的混沌参数u和xn取值区间相同，而其他一些一维混沌系统尽管u和xn取值不相同，但是都可以通过变换使其相同[5]。Logistic、Tent和Sine系统表达式如下：
已有研究表明：Logistic、Tent和Sine混沌区间范围窄、混沌序列分布不均匀，且Logistic和Sine混沌区间不连续[2]。
日文输入法
文献[2]的研究结果表明对一维系统进行适当的组合有助于改善单一一维混沌系统混沌区间不连续的问题；文献[5]的研究结果表明，级联有助于提高混沌系统的Lyapunov指数。新一维系统产生结构如图1所示，它是对一维混沌系统进行非线性组合而获得的；组合表达式如
式(4)所示，组合的条件是混沌参数取值区间相同且值域相同。绘制分岔图和Lyapunov指数图采用文献[3,6,7]中方法。
爱的记忆New system:Xn+1=G(c,(T(a,Xn)+F(b,Xn)mod1))
其中T(a,Xn)、F(b,Xn)和G(c,Xn)都是一维混沌系统(子系统)，a、b和c为系统参数，mod为取模操作，n是迭代次数。
(1) L-LSS(Logistic-Logistic Sine System)
选择T为Logistic映射、F为Sine映射、G为Logistic映射构造新的一维混沌系统如式(5)所示：
记叙文开头结尾摘抄大全Xn+1=u1·{mod(uXn(1-Xn)+(4-u)sin(πXn)/4,1)}·
{1-mod(uXn(1-Xn)+(4-u)sin(πXn)/4,1)}
其中u、u1为控制参数，设u1=4为固定值，u∈[0,4]绘制对应的分岔图和Lyapunov指数如图2所示。
(2) S-LSS(Sine-Logistic Sine Syetem)
幼儿园语言选择T为Logistic映射、F为Sine映射、G为Sine映射构造新的一维混沌系统如式(6)所示,对应的分岔图和Lyapunov指数如图3所示。
Xn+1=u1·sin{((uXn(1-Xn)+(4-u)sin(πXn)/
4)mod1)·π}/4
由图1构造的新一维系统L-LSS和S-LSS分岔图和Lyapunov指数图可以看出，新系统在参数u∈[0,4]区间都是混沌的，不存在周期窗口现象。新L-LSS和S-LSS系统的Lyapunov指数与Logistic映射和LSS[2]映射Lyapunov指数比较，发现新系统具有更高的Lyapunov指数，对初始值与参数的敏感性更高，混沌序列的分布均匀性得到了改善。
因此，采用新系统设计的混沌加密算法理论上具有更高的安全性。同时观察三者的关系发现，L-LSS系统的Lyapunov指数近似等于Logistic映射与LSS映射Lyapunov指数之和，S-LSS系统的Lyapunov指数近似等于Sine映射与LSS映射Lyapunov指数之和，与文献[5]的研究结论一致。具体的Lyapunov指数数值如表1所示。
表1获得的Lyapunov指数为最大Lyapunov指数，且除了混沌系统不同以外，其他计算条件相同。
图1的构造方法可以增加新系统的Lyapunov指数，同时可以使混沌系统混沌区间增加，混沌序列的分布均匀。观察L-LSS系统与S-LSS系统分岔图发现，L-LSS和S-LSS系统产生的混沌序列尽管比单一一维系统的混沌序列分布均匀很多，但是仍然不是均匀分布的。由对应分岔图中0和1附近颜色较深可以看出，0和1附近序列值比较多。如果一个混沌系统产生的混沌序列分布满足均匀分布，则采用此序列进行加密可以获得更高的安全性[8]。
以上提出的组合结构只要是满足上面提到的组合条件,则可以将任何不同一维混沌系统通过以上组合来获取新的性能更好的一维混沌系统。对于不满足组合条件的系统则可以通过变换使其满足条件之后，再进行组合。因此，此结构有很大的灵活性。Tent一维系统直接可以与Sine和Logistic进行组合，具体的表达式此处不再给出。
本文以新系统L-LSS系统为例，L-LSS系统产生的混沌序列对应的直方图如图5(a)所示。直方图分布反映的结果与从分岔图表现的结果相同，0和1附近序列值比较多，直方图表现为0和1附近存在尖峰。以文献[8]的思想为基础，对L-LSS产生的混沌序列作式(7)变换，变换
之后的序列直方图如图4(b)所示。
由直方图可以明显看出，变换之后的混沌序列分布变得非常均匀，具有似噪声的特点。为了更进一步分析其性能，绘制序列的自相关特性图如图5所示。图5同时绘制了Logistic映射和随机函数生成序列的自相关特性图，比较三者发现，T(L-LSS)变换之后的混沌序列分布更加均匀且随机性更好。
