2019年3月Journal on Communications March 2019 第40卷第3期通信学报V ol.40No.3
布尔混沌系统的物理随机性分析
龚利爽1,2，侯二林1,2，刘海芳1,2，李凯凯1,2，王云才1,2
（1. 太原理工大学物理与光电工程学院，山西太原 030024；
2. 新型传感器与智能控制教育部和山西省重点实验室，山西太原 030024）
摘 要：为了分析布尔混沌系统的物理随机性，构建了基于自治布尔网络的电路混沌模型，建立了包含相位噪声特性的数学方程，研究了相位噪声对布尔混沌熵增长时间（记忆时间）的影响。研究结果表明，在相位噪声的影响下，布尔混沌输出将在有限的记忆时间（数十纳秒）后达到无法预测，且相位噪声越强，布尔混沌平均记忆时间越短。这证明了相位噪声是布尔混沌物理随机性的来源，且布尔混沌可以作为性能良好的真随机数物理熵源。
关键词：自治布尔网络；布尔混沌；相位噪声；物理随机性
中图分类号：TN91
文献标识码：A
doi: 10.11959/j.issn.1000−436x.2019048
Physical random analysis of Boolean chaos
GONG Lishuang1,2, HOU Erlin1,2, LIU Haifang1,2, LI Kaikai1,2, WANG Yuncai1,2
1. College of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China
2. Key Laboratory of Advanced Transducers and Intelligent Control System, Ministry of Education, Taiyuan 030024, China
Abstract: To analyze the physical randomness of Boolean chaos, the model for chaotic circuit system bad on autono-mous Boolean network was established. In addition, the equations of the Boolean network with pha noi were deduced.
By considering the pha noi, the time for the growth of entropy for an enmble of trajectories, called the memory time, was analyzed. It was demonstrated that Boolean chaos would be unpredictable after tens of nanoconds, and less average memory time was required as the pha noi strength incread. It is shown that Boolean chaos has physical randomness becau of pha noi and it also lays the theoretical foundation for the entropy source of true random num-be
r generator bad on chaotic Boolean network.
Key words: autonomous Boolean network, Boolean chaos, pha noi, physical random
1引言
真随机数是确保信息加密安全的关键[1]。传统的真随机数发生器（TRNG, the random number generator）主要利用热噪声、量子噪声、振荡器抖动、电子器件的亚稳态等不可预测的物理随机过程（物理熵源）来产生真随机数[1-6]。但是，受限于物理熵源带宽，上述真随机数发生器的速率普遍为数十兆比特每秒，难以适用于高速信息的加密需求。在安全通信领域，香农（Shannon）提出的“一次一密”被证明是一种绝对安全的保密通信机制，而该机制实现的前提之一是需要有大量实时产生的加密密钥（真随机数），且这些密钥加密不能重复使用，因此，高速真随机数发生器的研究成为解决安全通信问题的关键技术之一[4, 7]。
近年来，随着宽带混沌技术的出现，基于电路混沌的随机数发生器逐渐成为研究热点[8]。2006年，Pareschi等[9]利用马尔可夫混沌映射作为物理熵源，
收稿日期：2018−05−25；修回日期：2018−08−01
通信作者：王云才，wangyc@tyut.edu
吃啥对肝好基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.61731014）
Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China (No.61731014）
第3期 龚利爽等：布尔混沌系统的物理随机性分析 ·191·
实现了40 Mbit/s 的随机数发生器；2010年，该课题组进一步修正混沌映射，实现了100 Mbit/s 的混沌随机数发生器[10]；2013年，Rosin 等[11]利用布尔混沌作为物理熵源，完成了12.8 Gbit/s 的随机数发生器的研制；2015年，Park 等[12]研制了基于布尔混沌的随机数发生器芯片，速率可达300 Mbit/s 。混沌随机数发生器的迅速发展使其有望解决“一次一密”高速保密通信中海量真随机数的实时产生难题。
然而，目前的混沌高速随机数发生器的研究仍面临一个“原则性”问题，即确定性的非线性系统中能否真正产生不可预测的“真随机数”，对此多数研究文献缺乏相关理论分析与证明[13]。为了更好地将电路混沌随机数发生器应用于保密通信中，本文以布尔混沌系统为例，仿真研究了该系统产生的混沌序列在有相位噪声和无相位噪声条件下随机特性（不可预测性）的变化，研究了不同强度相位噪声对布尔混沌熵增长时间（记忆时间）的影响。研究发现，在相位噪声强度下，布尔混沌序列由可预测逐步转变为不可预测，且相位噪声越强，布尔混沌平均记忆时间越短，在相位噪声强度达到时延的1%~5%时，布尔混沌输出将在有限的记忆时间（数十纳秒）后变得无法预测，该研究结果为基于布尔混沌物理熵源的真随机数发生器提供了理论依据，对其他混沌真随机数发生器研究也提供了有益的借鉴。
2 布尔混沌模型
图1是研究所用的三节点自治布尔网络结构，
图中“ ”代表XNOR 逻辑门，“○”代表XOR 逻辑门。该网络共包含3个节点，分别是一个执行异或非（XNOR ）运算的节点和2个执行异或（XOR ）运算的节点。每个节点分别和相邻的2个节点连接，构成一个双向反馈的环形自治布尔网络。τij （i =1, 2, 3, j =1, 2, 3）是节点j 到节点i 的传输时延，通过控制自治布尔网络相邻节点的传输时延，可以使网络输出混沌信号。XOR 逻辑门和XNOR 逻辑门的输入输出真值如表1所示。
电路中的逻辑器件响应并非无限快，无法响应变化速度无限快的信号，即低通滤波效应，考虑低通滤波效应的自治布尔网络方程如式(1)所示。
LP 11212313LP 22121323LP 33131232()()()()1()()()()()()()()
x
t x t X t X t x t x t X t X t x
t x t X t X t τττττττττ=−+−⊕−⊕⎧⎪
=−+−⊕−⎨⎪=−+−⊕−⎩ (1)
图1 三节点自治布尔网络结构
表1 XOR 和XNOR 逻辑门的输入输出值
输入 XOR 输出 XNOR 输出
00 0 1 01 1 0 10 1 0
11 0 1
其中，⊕是XOR 运算符，x i ∈A =[0,1], i =1, 2, 3。每个布尔变量的值都依赖于运行时刻t 、传输时延及相邻布尔节点上一时刻的逻辑值，其中
th
th 1()()0()i i i x t x X t x t x >⎧=⎨
⎩
，，≤ (2) 其中，“1”和“0”分别表示布尔网络的高电平和低电平，x th 为布尔网络输出为“0”或“1”的阈值，本文取阈值x th =0.5。
当传输时延τij ≠τji 时，自治布尔网络XNOR 节点可以输出复杂信号。图2(a)和图2(b)是自治布尔网络输
出信号的时序波形和频谱图，图2(c)是根据Ghil 、Bockman 和Zhang 等[14-16]提出的计算分段线性微分方程的动力系统的方法得出的网络输出时序的Lyapunov 指数。图2结果表明，当传输时延τij ≠τji 时，自治布尔网络可以输出带宽达362 MHz 的复杂信号，网络输出时序的最大Lyapunov 指数为0.41 ns −1，代表此布尔网络动力系统是混沌系统。
除低通滤波效应外，自治布尔网络电路系统中还存在幅值噪声和相位噪声[17-18]，这2种噪声会对传输时延和网络输出的幅值产生影响。考虑到自治布尔网络的幅值限制机理，本文仅分析相位噪声对布尔混沌的影响，建立相位噪声的自治布尔网络模型，如式(3)所示。
LP 112121231313LP 22121213
2323LP 331313123232()()[()][()]1()()[()][()]()()[()][()]
R R R R R R x t x t X t X t x
t x t X t X t x t x t X t X t τττττττττττττττ=−+−+⊕⎧⎪
−+⊕⎪⎪=−+−+⊕⎪⎨
−+⎪⎪=−+−+⊕⎪−+⎪⎩ (3)
·192·通信学报第40卷
其中，τRij为相位噪声引起的时延抖动。实际电路中热噪声引起的时延抖动服从高斯分布[17]。
劳动定员
图2 自治布尔网络的输出特性
3相位噪声对布尔混沌系统随机性影响
3.1相位噪声对混沌动态的影响
基于上述布尔混沌模型，分析了无相位噪声和有相位噪声这2种情况下布尔混沌系统的输出特性。图3为理想的布尔混沌系统（即系统中没有噪声）XNOR节点的输出结果；图4为在t=0时刻
图3 理想布尔混沌系统XNOR节点的输出结果
图4 引入相位噪声后布尔混沌系统XNOR节点的输出结果
第3期龚利爽等：布尔混沌系统的物理随机性分析·193·
引入相位噪声后，布尔混沌系统XNOR节点的输出结果，其中相位抖动为时延的0.2%。由图3可知，无噪声时布尔混沌系统在重启2次的情况下输出的时序相同，这意味着在理想情况下，布尔混沌输出是可以预测的。图4显示，布尔混沌系统在最初一段时间内，重启2次情况下输出时序基本相同；但由于相位噪声的影响，一段时间后，2条布尔混沌输出时序轨迹开始分离。在图4中，2条轨迹开始分离的时间是35~40 ns。
进一步分析相同相位噪声强度的混沌自治布尔网络输出的变化，相位噪声强度相同是指相位抖动的标
准差相同。图5是布尔混沌电路系统在初始值为0、相位噪声强度相同时系统运行1 000次，系统在0 ns、10 ns、25 ns和95 ns时输出幅值的概率密度直方图。由图5(a)可知，在t=0时刻（刚加入相位噪声时），布尔混沌运行1 000次的输出电压幅值都相同，此时输出某一电压幅值的概率为1，意味着此时布尔混沌的输出是可以预测的。随着相位噪声在布尔网络中作用时间的增加，布尔混沌系统的输出开始出现不确定值，且随着时间的增加，不确定性逐渐增大，如图5(b)~图5(d)所示。
3.2 相位噪声对混沌输出不可预测性的影响
Shannon熵是对序列随机性的一种有效统计度量，它从概率角度评价输出比特独立性和不确定性[19]。
通过计算不同相位噪声强度下布尔混沌输出布尔
值在t时刻的Shannon熵，本文分析了相位噪声对
布尔混沌输出不可预测性的影响。
Shannon熵公式如式(4)所示。
1
()()lb()
k k
k
H t P t P t
=
=−∑ (4)
其中，P k(t)是自治布尔网络添加不同相位噪声序
列时，自治布尔网络混沌电路系统在t时刻输出0
或者1的概率。由式(4)可得，当P k(t)=0.5时，所
对应t时刻的自治布尔网络输出布尔序列的熵最
大（即熵等于1）。这意味着，此时布尔网络的输
出不可预测。
图6为相同噪声布尔混沌系统多次运行后每
一时刻的熵值随时间的变化曲线。这里，图6(a)
和图6(b)系统初值分别为0和0.15，并各运行1 000次。蔬菜手擀面
由图6可知，加入相位噪声后，布尔混沌的熵值
从0增长为1，表明相位噪声使布尔混沌输出由
可预测逐渐转变为不可预测。定义熵值从0增长
为1的时间为混沌记忆时间。对比图6(a)和图6(b)
可知，布尔混沌记忆时间与自治布尔网络初始值
有关。
图5 有相位噪声时混沌布尔网络XNOR节点不同时刻的输出概率直方图
·194·通信学报第40卷
图6 添加相位噪声后混沌布尔网络熵值随时间的变化
进一步分析相同噪声强度、不同网络初值的布尔混沌熵随时间变化的平均值。图7是5种相位噪声强度的布尔混沌熵值随时间变化的平均结果。图7中，5种相位噪声强度分别为时延的0.1%、0.2%、0.3%、0.4%和0.5%，每种相位噪声强度的布尔混沌初值随机变化1 000次。由图7可知，相同相位噪声强度的布尔混沌熵值随时间的平均变化基本为一条平滑的曲线；不同相位噪声强度的布尔混沌熵值到达1.0的时间不同。图8是相位噪声强度分别为0.1%、0.2%、0.3%、0.4%和0.5%时对应的布尔混沌平均记忆时间结果，它表明相位噪声越强，布尔混沌记忆时间越短，布尔混沌能更快地达到不可预测。
4结束语
本文通过研究相位噪声对布尔混沌输出的不可预测性影响分析了布尔混沌系统的物理随机性，具体研究了相同噪声布尔混沌系统多次运行后每一时刻的熵值随时间的变化。研究结果表明，电路中存在的固有相位噪声使布尔混沌输出变得不可
图7 不同相位噪声强度下布尔混沌熵值随时间的变化
图8 布尔混沌平均记忆时间和相位噪声强度的关系
预测。然后分析了布尔混沌记忆时间和相位噪声强度的关系。由结果可知，相位噪声强度为时延的0.1%~0.5%时，布尔混沌输出将在有限的记忆时间后（数十纳秒）达到不可预测。相位噪声越强，布
尔混沌输出的平均记忆时间越短。本文的研究结果表明相位噪声是混沌布尔网络的物理随机性的原因。该研究结果为基于布尔混沌物理熵源的真随机数发生器提供了理论依据，对其他混沌真随机数发生器研究也提供了有益的借鉴。
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第3期
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ps旋转画布光棍快乐龚利爽（1991− ），女，河南漯河人，太原理工大学博士生，主要研究方向为混沌理论与混沌密码。
侯二林（1992− ），男，河南漯河人，太原理工大学硕士生，主要研究方向为物理随机数发生器技术。
刘海芳（1989− ），女，山西晋中人，太原理工大学博士生，主要研究方向为混沌理论与混沌密码。
李凯凯（1994− ），男，山西晋城人，太原理工大学硕士生，主要研究方向为物理随机数发生器技术。
王云才（1965− ），男，山西运城人，博士，太原理工大学教授、博士生导师，主要研究方向为混沌信号的产生与应用。
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