第九章随机过程I：随机微积分
9．1介绍
白日依山尽9．1．1 定义
9．1．2 统计特征
9．1．3 多维情形
9．1．4 过程分类
9．2一些重要的随机过程9．2．1 二项过程
9．2．2 布朗运动和伊藤过程9．2．3 泊松过程姓氏英文
9．3随机伊藤积分9．3．1 动机
9．3．2 直观定义
9．3．3 直接计算9．4伊藤定理9．4．1 直观推导9．4．2 应用举例9．4．3 多维情形
9．5随机微分方程9．5．1随机过程模型9．5．2解的性质和形式9．5．3显性解的例子9．6应用
9．6．1期权定价9．6．2 随机动态规划小结
文献导读
本章的学习目标为：
了解随机过程的定义、描述方法和重要数值特征以及基于分布函数的分类方法
掌握二项过程并熟练运用二项树建模方法
掌握布朗运动和维纳过程的定义和特征并认识到它在连续时间随机分析中的重要作用和核心地位
掌握并熟练运用一般维纳过程、几何布朗运动和伊藤过程来构造金融资产价格运动模型
了解泊松过程的定义和特征，认识它在构造金融市场上突发事件时的作用
明确基于均方收敛的随机伊藤积分的定义以及它与随机微分之间的联系
了解伊藤定理的直观推导过程并熟练应用伊藤定理进行计算
熟练应用随机微分方程模型来构造不同金融资产价格运动模型
了解随机微分方程解的形式，特别要掌握两种重要的显性解情形
掌握期权定价的传统B-S偏微分方程方法
掌握最优个人消费/投资问题的随机动态规划方法
有了前面的准备工作，我们现在就可以着手学习，研究现代金融理论所必须也是最重要的数学工具——随机过程理论了。为什么金融理论研究中一定要使用随机过程理论呢？这是因为在金融现象中一些主要价格指标例如利率、汇率、股票指数、价格等等都表现出一定的随机性(randomness)。股票价格明天会是多少，一直吸引和困惑了最富有头脑的理
论家和实践者，早期金融思考就是试图对这个问题作出令人信服的回答1，越来越多的证据显示：人们倾向认识到，试图超越市场去预测价格走势，总体上是徒劳的，只有通过使用随机过程理论在概率的意义上去描绘，才能给问题的解决提供一个可靠的基础2。这也是我们在整个金融数学的学习过程中遇到的最困难的部分，为了降低教和学的难度，我们把整个随机过程理论分为两个相对独立的部分。
第一部分也就是在这一章中，我们要建立随机微积分的理论框架。首先会通过直观的例证来给出随机过程的定义，简单地对它们进行分类和特征描述；然后介绍一些重要的和在微观金融分析中经常要使用到的随机过程种类，由于要处理随机变量的变化过程，我们必须了解随机微分和它存在的条件，而这势必又要求先建立起随机(伊藤)积分的正确概念，在上述基础上推导出解释随机变量之间变化关系的随机微积分法则——著名的伊藤定理。最后则是随机微分方程模型的构造和求解3。这需要对经典数学分析中的极限、微分和积分概念做推广，这是一套完全不同于经典微积分的法则，在反复的运用和实际的例子中，我们会对它逐渐熟悉起来。
微观金融学中使用上述随机微积分技术来研究诸如衍生金融产品定价、动态消费/投资决策等问题。以随机过程为基础的最优化方法归属于动态随机规划方法之下，以Samuelson、Merton、Black、Scholes等人的研究成果为最杰出的代表。本章中就提供它们的最重要两种应用——为欧式看涨期权定价和求解动态消费/投资问题4。
第二部分则是被称为随机过程一般理论的鞅方法，相对于本章中的内容而言，它更为抽象，并借重测度理论。但它提供对于随机过程更深入本质的理解，而且在实践当中，它还提供更为强大的计算能力，因而它日益成为金融经济学家们主流数学工具。我们将在下一章中“亲密接触”这个理论体系。
金融相关点9-1：有效率的市场？！
微观金融理论中的效率和我们在经济学中接触到的效率一词的含义是有所不同的。
关于美育的作文我们知道，经济学中的效率往往指帕累托(Pareto)效率。在一个经济体系中，如果不能
以牺牲哪怕一个人的利益为代价来换得他人福利状况改善的情形，被称为是具有帕累托
效率5。但是我们说如果市场上资产价格已经充分地反应了所有可获得信息的话，金融市
场就是有效率的(efficient market)。这句话直观上可以这样理解，为所有人知晓的信息
是不会导致股票价格的明显波动的，因为它已经被反应到当前的价格上去了；或者换一
个角度，基于该信息集合(information t)作出的任何投资决策是不会带来任何明显的经
济收益的。如罗尔(Roll S．)所说的，这个定义相当模糊，不具备任何操作性。
罗伯茨(Roberts H．)在1967年第一次根据决策所依据的信息集合对市场效率做了
分类，这里我们沿用法马(Fama E．，1970)首先使用的现在通行的一套术语。首先是弱
形式的市场效率(weak-form market efficiency)，它所基于的信息集合仅仅包括资产价格
或者收益的历史数据。如果它成立的话就意味着那些认为可以根据股票价格的历史信息
预测未来价格走势的技术分析(technical analysis)(有时这种分析家被称为图表派(chartist))失效；接下来是半强形式(mistrong-form)的市场效率，它基于所有可以为投
资者获得的公开(public)信息，比方说公司的财务报表和公司前五位股东的持股份额等等，如果它成立，则所谓的基础分析(basic analysis)失效；最后是强的(strong-form)的
形式，它进一步包括了仅仅为部分投资者所知的内部或者私人(private)信息。如为公司
美女相册
高层掌握的兼并意向和可能会对股票价格产生影响的重大投资决策等等，注意这些信息
有很强的时效性，它们有一个从少数到多数快速传播的过程。这三种形式的效率构造出
整个可获得信息的嵌套结构，很不幸，迄今为止它还不能被经验检验所证实，这是因为
1有兴趣的读者可以参考伯恩斯坦(Bernstein，1990)。
2参考框文金融相关点9-1：有效率的市场。
3学习这里的内容并不需要测度方面太多的准备。
4具体的说是用随机最优控制解法来求解动态消费/投资问题，详见9．6．2节。
5这种形式的效率在微观金融学中也有广泛的应用，这在第一部分的几乎所有章节中都有体现。
市场效率必须和一个市场均衡模型同时被联合检验，研究者无法分辨究竟哪一个因素对结论更有说服力或者反面作用。在经验研究产生任何有决定性的结论之前，市场效率与其说是作为一种理论，还不如说是作为一个信念而存在。不过我们倒是有一些反面例子。
试图超越市场(beat the market )的努力当然可能会在一定情况下获得成功，例如美国证券业“巨星”——伊万．伯斯基(Ivan Boesky )6。他在1986年之前一直在股票市场上赚钱，赢利估计多达上亿美元，成为证券业常胜不败的神话。但是后来的调查显示，他的连续成功是因为他贿赂了一个有许多关于公司兼并方面内部信息的投资银行家——列文(Levine D ．)。每当列文发现有公司寻求合并时，他就提前通知伯斯基。后者则买入被兼并公司股票，并在市场了解这些信息并作出反应后(股价上涨)抛出以谋取暴利。1986年伯斯基被判终身禁止从事证券业、罚款1亿美金和3年监禁。这验证了中国香
港特别行政区著名影星刘德华在一部以赌博为题材的影片中的一句台词“没有一定赢的赌博，除非出老千(作弊)。”
这是一个国外的例子，想必对于熟悉中国股票市场的投资者来说，这没什么好大惊小怪的。我们的A 股股票市场被投资者心领神会地称为(内幕)消息市场、政策市场。中国证券交易管理委员会公开处理过多次非法操纵市场的行为，如原万国债券公司过度投机国债期货，导致整个市场崩溃；也处理过人为信息虚假披露谋取暴利的行为，如琼民源事件。实际上更多的屡见不鲜的“黑幕”交易正在腐蚀刚刚成长起来的中国资本市场，它导致投资者行为变异并最终破坏向实物经济输送金融资源的过程。
9．1 介绍
观察下图所示的道&琼斯(Dow&Jones )工业平均指数从1998年6月到2001年5月的波动情况，它看上去十分象一个醉汉蹒跚的脚步，其情形正如它的发明者——道先生，所准确预言的那样——“它将……波动……”。这样杂乱无章的运动形式，我们称之为随机运动。凭证编号
图9-1 道&琼斯工业平均指数随机波动情况
数据来源：bigcharts ．com
9．1．1定义
假设}{ω=Ω是随机试验的样本空间，T 是一个参数集(往往是时间)，如果对于每一个T t ∈，都有随机变量),(t X ω与之对应，则称依赖于t 的一族随机变量),(t X ω为随机过程，也可以称为随机函数。我们可以把一个随机过程看成两个自变量，即状态和时间的函数。ω的定义域是整个样本空间，t 的定义域是整个时间轴),0[∞或者其中的一个时间段],0[T ，即：
R
→×Ω],0[}{:),(T t X ω直观上理解不妨假定我们每隔一分钟抛一枚硬币，那么}{字、花=Ω就是随机试验的样 6
本例转引自米歇金(F ．Mishkin)《金融市场、机构和货币》(financial markets ， institutions ， and money)，1998。
本空间，记时间为21,t t ……，则随机变量族),(1t X 字、),(2t X 字、……就是一个随机过程。
有时候，我们会把一个随机过程简记为
赏花]
,0[),(T t t X ∈或者
]
,0[)(T t t X ∈这时就可以对它作多种理解：
1)当ω、t 都是变量时，),(••X 是一个时间函数族，表示一个随机过程；
2)当ω给定t 为变量时，),(•ωX 是一个时间的函数，称它为样本路径(sample path )7；
3)当t 固定在某一时刻，),(t X •就是一个普通的随机变量；
4)而ω、t 都固定时，),(t X ω是一个单独的数值。
不要担心我这些来自不同角度的理解如下图9-2所示。
Ω
ω 0 t T
图9-2 对于随机过程的不同理解
需要指出的是：随机过程),(t X ω在某一时刻所呈现的数值可以用二维或者更高维的随机向量来表示，例如描述一个国家的经济环境随着时间变化的情况，就需要用一系列的指标，例如经济增长率、国民收入、通货膨胀率、股票指数、汇率等等。这类随机变量：
n
T t X R →×Ω],0[}{:),(ω的总体被称为多维随机过程或者向量(矢量)随机过程。
假定我们只是在某一些特定的时点上去观察一个随机变量的变化过程，也就是说时间参数是不连续的，比方说你可能只是留意了一下每天下午股市结束时某种股票的收盘价，这就会形成一系列的价格
记录，那么这种的随机过程(价格记录)就被称为离散时间(discrete time )随机过程或者随机序列(stochastic rials )；我们也知道股票的报价通常到分为止，比方说13元6角5分、13元6角4分，这也就是说随机变量(股票价格)的取值(状态)是不连续的，这被称为离散状态随机过程。推广一下，根据时间参数和状态是否连续，我们可以获得最简单的随机过程分类方法：
1)Ω离散、T 离散的随机过程8，这是实际问题中遇到最多的一类随机过程；它会被经常用到来提供一些直观上的理解。
2)Ω连续、T 离散的随机过程；
3)Ω离散、T 连续的随机过程；
7 也可以称之为一次实现(realization)或者轨迹(trajectory)。它实际上是随机过程的一个历史记录，是现代模拟(simulation)技术的基础。
8 这时的时间参数集为......}2,1,0:{==k t T k ，有时就直接简化为......}2,1,0:{==k k T 。
4)Ω连续、T 连续的随机过程，这时各样本均为时间的连续函数9。以它为基础的金融学研究被称为连续时间金融(continuous -time finance )。这是在数学上内容最丰富的一类随机过程，尽管它也许是优雅和富于美感的，它需要更严格的数学推理。
9．1．2统计特征
上一小节中我们提到在随机过程的某个固定时刻上，它退化成一个我们已经非常熟悉的普通随机变量，因而在第8章中学习过的概率统计知识可以用来对随机过程在各个时点上的情况进行初步的描绘。从这个角度看我们可以把随机过程理解为一系列随机变量的总和10。
首先来定义一个随机过程],0[)(T t t X ∈在任意时点上的分布函数：
9．1．1 ]
)([);(x t X P t x ≤=D 函数);(t x D 等于事件])([x t X ≤发生的概率，这个事件是由在这个特定的时刻t ，使得过程之函数值],0[)(T t t X ∈不超过x 的所有ω组成的。称);(t x D 为随机过程],0[)(T t t X ∈的一阶分布
函数，注意这个随机变量的分布函数一般是依赖于时间t 的。把它对x 微分，就得到了相应的一阶密度函数：
9．1．2无论是一阶分布函数还是一阶密度函数都只揭示了整个随机过程在某一固定时间点上极其有限的信息。进一步考虑过程],0[)(T t t X ∈在1t 和2t 两个时刻的取值，我们想知道它们之间的联系，即
联合分布关系是什么，就好象它们是两个不同的随机变量一样。定义它们的联合分布函数为：
9．1．3 ]
)(;)([),;,(22112121x t X x t X P t t x x ≤≤=D 称它为随机过程],0[)(T t t X ∈的二阶分布函数，而相应的密度函数则定义为：
9．1．4同考察随机变量时获得的概念类似，一维概率分布可以视为二维概率分布的边际分布，即：
9．1．5 )
;(),;,(11211t x t t x D D =∞以及
9．1．6 ∫+∞
∞−∞=221111),;,();(dx t t x t x d d check 尽管二维分布包含了比一维分布更多的信息，但是我们仍然还嫌不够，不过以此类推可以建立n 维概率分布和相应的密度函数，分别定义如下：
产品流程9．1．7 ]
)(;...;)(;)([),...,,;,...,,(22112121n n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x ≤≤≤=D
9
对连续性的详细讨论见10.1.2节。10 随机过程基本概念可以参考周荫清。
