数学是什么？
凡的词语恩格斯曾说：“数学是现实世界中的空间形式与数量关系。”这说明数学的研究对象是“形”与“数”。其实，近二三十年来，由于科学技术，特别是信息技术的迅猛发展，产成了“混沌（Chaos）”、“分形几何（Fractal Geometry）”等新的数学分支，而这些内容已经超出一般意义下“形”与“数”的范畴。今天，我不想从数学的研究对象或者从数学的内容来回答“数学是什么”这个问题，而是从外部世界，即从数学与其他学科之间的关系来说明这个问题。
一、数学是一种语言，是一切科学的共同语言
享有“近代自然科学之父”尊称的大物理学家伽利略（Galeleo）说过：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。”由于在量子电动力学方面做出突出贡献于1965年获得了Nobel奖的物理学家费格曼（Richard Fegnman）曾说过：“若是没有数学语言，宇宙似乎是不可描述的。”最著名的例子是有关牛顿（Issac Newton）的。他想用一理论框架来表示在重力作用下物体的运动，这包括Kepler 行星运动法则，这种渴望是他建立了万有引力定律和微积分学，那时科学史上伟大成就之一。另一个例子是有关爱因斯坦（Albert Einstein）的传说。据说Einstein曾花了数年时间试图形成引力实际上只是空间的曲率这种可能性，但他不知道如何从数学上加以表述。一天，他求助于他的密友格洛斯曼（Marcel Grossman）时说：“Gross-man，你必须
帮助我，否则我会发疯的。” Grossman 就将黎曼（Bernhard Riemann）关于弯曲空间的工作（后称为Riemann几何学）告诉他，这才使Eiemann几何在Einstein得以继续广义相对论的研究。其实，Riemann几何在Einstein需要它之前60年已经产生了。
另一个Nobel物理学奖获得者温伯特格（Steven Weinberg）也说过：“这是不可思议的，当一个物理学家得到一个思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了。”一个著名的例子是关于群论的。群论是由法国数学伽利略瓦（Evariste Galois）在19世纪初发明的，目的是要解决高于四次的代数方程能否用代数方法求根的问题。这是一个纯粹的数学问题，当物理学家在20世纪上半叶发现群论时，他们发现这正是索性要的数学语言，利用它可以统一伟大的能量守恒定、动量守恒定律、自旋守恒定律、电荷守恒定律等理论。这些定律是客观世界对称性的反映。
社会的数学化程度正日益提高，数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段。
二、数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙
在17世纪工业革命时代，弗培根（F.Bacon）曾提出“知识就是力量”的响亮口号，同时还说“数学是打开科学大门的钥匙”。
回顾科学的发展历史，凡具有划时代意义的科学理论与实践的成就，无一例外地都借助于数学的力量。
例如: 没有马克斯威尔（Maxwell）方程就不可能有电磁波理论，也就不会有现代的通讯技术；没有Riemann几何，也不可能产生广义相对论；没有纳维-斯托克司（Navier-stokes）方程，就不会有流体力学的理论基础，也不可能产生航空学；有了数理逻辑和量子力学，才会产生现代的电子计算机；没有Newton万有引力定律（含行星运动三大定律），就没有天文学、物理学和其他自然科学；没有微积分学，就谈不上发展力学和现代的科学技术。
物理学家伦琴因发现X射线而成为1901年开始的Nobel物理学奖的第一位获奖者，当有人问他需要什么时，他的回答是：“第一是数学，第二是数学，第三是数学。”对计算机作出了划时代贡献的诺依曼（Von Neumann）认为：“数学处于人类智能的中心领域……数学方法渗透、支配着一切自然科学的理论分支……它已愈来愈成为衡量成就的主要标志。”马克思也说：“一门科学只有当它达到能够成功地运用数学时，才算真正发展了。
金柚之乡
初中语文老师三、数学是一种工具，一种思维的工具
从哲学的观点来看，任何事物都是量和质的统一体，都有自身量的方面的规律，不掌握量的规律，就不可能对各种事物的质获得明确、清晰的认识，而数学正是一门研究量的科学，它不断地在总结和积累量的规律性，因而必然成为人们认识世界的有力工具，下面举例说明。
1. 晶体结构
从20世纪之初，化学家都知道当X射线穿过晶体时，光线碰到晶体中原子而发生散射和衍射。当他们把X射线胶卷置于晶体之后，X射线会使随原子位置而变动的衍射图暗处的胶卷变黑。另化学家的迷惑是他们不能准确地确定晶体中原子的位置。这是由于如同别的电磁波一样，X射线可以看做是波，他们有振幅和相位，而衍射图只能探清X射线的振幅，但不能探测相位。化学家对这个问题已困惑了40年，1950年著名科学家哈特曼（Herbent Haupt-man）对晶体结构之谜产生了兴趣，并且他认为这是一个纯粹数学问题。Hauptman基于电子密度函数是带有很小支集的非负函数的特点，通过测量，确定其傅里叶（fourier）系数的绝对值，然后从强度推断出相位，即用100多年前产生的古典fourier
分析的理论解决了一个难倒了现代化学家的谜，从而在1985年获得了Nobel化学奖。
后来Hauptman回忆这段工作经历时说：“在1950年以前，我的工作被看成是荒谬的，我本人也被当成一个大傻瓜。事实上，在我一生中只上过一门化学课——大学一年级化学。“然而，他用数学解决了化学上的难题。
企业展厅的设计2. 人体器官的三维图像
数十年前，考尔麦克（Allan M.Cormack）工程师试图寻求一个不经手术而能准确地确定一个体内物体的位置和密度的方法。在那时只有X射线可以利用，而它们只给出二维信息。
把这个问题表述为一个数学问题就是：假定在平面上有一个密度不均匀的物体，我们无法看到其内部结构，如果用X射线穿过它，来看一下从另一端出来多少，测出沿一条直线的物体总量。问题是如何从一维信息来重现物体内部的结构。这个问题的解决经历了许多年，可以追溯到数学家拉杜（Radon）的工作，即依赖不同角度照射，就可以决定体内目标的位置和形态，因而导致了CAT扫描，即人体器官三维图像。这一原理已被扩张为核磁共振图像（MRI），其分辨率更高，在这两个技术中，本质上只需大量测量一维的度量，然后利用数学技巧来重构三维图像。Cormack由于这个重大贡献，1979年获得了Nobel医学奖。
3. 数据压缩技术
近二十多年来，由调和分析发展起来的小波分析理论十分热门，Yale大学的研究者发现，可以利用小波压缩和贮存任何种类的图像或声音，并提高效率20倍，这是通讯技术的一个重要突破。
4. 数学社会科学飞速发展
在生命科学、经济学、管理学、心理学、政治科学诸领域也可举出很多例子说明数学的重要作用。例如，数学对经济学最有价值贡献之一是一般均（平）横模型，它试图语言自由市场行为。由于这方面工作使阿洛（Kenneth Arrow）获得了Nobel奖时，他是哈佛（Harvard）大学的教授，而罗索夫斯基（Henry Rosovsky）当时是Harvard的教务处长，Rosovsky把这个消息告诉了数学系中一个著名的教
授——他的同事，这个同事要了一份Arrow的著作，看了后说：“那些数学是很基本的，能够被Harvard的一年级大学生所完成。”显然，这句话有“文人相轻”之嫌。Arrow用什么数学并不重要，重要的是他成功地将数学和经济学结合起来并取得了经济学中一个重大突破。
由于数学家和社会科学家的共同努力，一个新的学科——数学社会科学正在飞速发展与完善，这个学科的主要问题是将社会科学翻译成数学，构造产生了数理经济学、数理语言学、数学心理学、数学政治科学、对策论等。
四、数学是一门艺术，一门创造性艺术
丢卡利翁美国代数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）说：“数学是创造性艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样的思考；数学是创造性艺术，因为数学家这样对待它。”
数学家和文学家、艺术家在思维方法上是共同的，都需要抽象，也都需要想象和幻想。“美”是艺术家所追求的一种境界。其实，“美”也是数学中公认的一种评价标准。当数学家创造了一种简便的方法，做出一种简化的证明，找到一种新的应用时，就会在内心深处获得一种美的享受，数学中的“美”是体现在和谐性、对称性、简洁性上的。
著名数学家庞加莱（H.Poincare）曾说：“科学家研究自然是因为他爱自然，他之所以爱自然，是因为自然是美好的。如果自然不美，就不值得理解，如果自然不值得理解，生活就毫无意义。当然，这里所说的美，不是那种激发感观的美，也不是质地美和表现美……我说的是各部分之间有和谐秩序的深刻美，是人的纯洁心智所能掌握的美。”
何长
教学能陶冶人的美感，增进理性的审美能力。一个人数学造越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际上就是理性的洞察力，也是由美感所驱动的选择力，这种能力有助于使数学成为人们探索宇宙奥秘和揭示规律的重要力量。正如德国数学家皮索特（E.Pisot）和萨玛斯基（M.Zaman-sky）在合著的《普通数学》中所说：“数学是艺术又是科学，它也是一种智力游戏，然而它又是描绘现实世界的一种方式和创造现实世界的一种力量
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