周期性阻振质量船体板弯曲振动带隙研究
李应刚1a，b ，周雷1b ，朱凌1b ，张超2，郭开岭1b
玫瑰情
（1.武汉理工大学a.高性能舰船技术教育部重点实验室，b.交通学院，武汉430063；2.湖北工业大学农机工程研究设计院，武汉430068）
摘要：文章采用有限元法结合布洛赫周期性边界条件，计算了周期性阻振质量船体板的能带结构、本征位移场以及频率响应函数，研究了周期性阻振质量船体板的弯曲振动带隙特性，并进行了试验验证。研究结果表明，阻振质量的引入导致周期性阻振质量船体板的能带结构中弯曲振动带隙的产生，引起了弯曲振动波衰减和振动抑制，通过调节阻振质量的几何参数可以实现船体板弯曲振动带隙的人工主动调控，为船舶与海洋工程结构的振动与噪声控制提供了新的思路。
关键词：船体板；周期性阻振质量；弯曲振动；带隙
中图分类号：TB535+.1文献标识码：A doi:10.3969/j.issn.1007-7294.2019.11.011
刘若英经典歌曲Flexural vibration band gap characteristics of ship plates with periodic vibration blocking mass
LI Ying-gang 1a,b ,ZHOU Lei 1b ,ZHU Ling 1b ,ZHANG Chao 2,GUO Kai-ling 1b
(1a.Key Laboratory of High Performance Ship Technology of Ministry of Education,b.School of Transportation,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China;2.Hubei Agricultural Machinery Engineering Rearch and Design Institute,Hubei University of Technology,Wuhan 430068,China)Abstract ：In this paper,the flexural wave propagation and band gaps characteristics of ship plates with peri⁃odic vibration blocking mass were numerically investigated.The dispersion relations,the displacement fields of the eigenmodes and the power transmission spectra were calculated by using the finite element meth⁃od combining with the Bloch theorem.The experimental validations were further conducted to verify the nu⁃merical results.Results showed that,with the introduction of periodic vibration blocking mass,the band structure of the ship plates can yield flexural vibration band gaps,resulting in the flexural wave attenuation and vibration mitigation.The flexural wave band gaps can be significantly modulated by the geometrical pa⁃
rameters such as the height and width of blocking mass.The properties of flexural wave band gaps in the ship plates can potentially be applied in the vibration and sound control of ship and offshore structures.Key words:ship plates;periodic vibration blocking mass;flexible vibration;band gaps 0引言
随着“海洋强国”战略的不断推进，海上交通行业蓬勃发展，船舶与海洋工程结构的振动噪声问题文章
编号：1007-7294（2019）11-1369-07收稿日期：2019-05-12
基金项目：国家自然科学基金项目（11602182）
作者简介：李应刚（1988-），男，副教授，硕士生导师，E-mail ：liyinggang@whut.edu ；
合并单元格快捷键
朱凌（1962-），男，教授，博士生导师。
第23卷第11期船舶力学Vol.23No.112019年11月
Journal of Ship Mechanics Nov.2019
1370船舶力学第23卷第11期
日趋严峻，其减振降噪方法一直是业界关注的重点和难点。
定常结构发生突变（质量、刚度等），会引起结构的阻抗失配，对声波起到很好的反射作用。因此，船体板结构声传递途径上人为敷设阻振质量的振动噪声控制方法吸引了国内外学者的广泛关注。Cremer等人[1]最早提出阻振质量（Blocking mass）的概念，并对其阻波特性进行了分析。石勇等人[2]采用波动理论和试验相结合的方法研究了含方钢的钢板结构中振动波的传播特性，验证了方钢减振
降噪的效果。刘洪林和王德禹[3]通过有限元法/边界元法研究了阻振质量块-板结构振动与辐射噪声特性，探讨了不同矩形截面形状和不同圆环形状参数对振动和声辐射的影响规律。刘见华等人[4]研究了无限板上受点激励时阻振质量对结构声传递的阻抑，采用基于能量观点的隔振度来定义阻振质量的阻抑作用。研究结果表明，板平面弯曲波分别和阻振质量的弯曲波和扭转波达到最佳耦合时，平面弯曲波发生最大透射。江苏科技大学研究团队[5]研究了平板结构受点激励时空心方钢阻振质量对结构中振动波传递的阻抑特性，结果表明空心方钢阻振质量比实心方钢阻振质量结构的阻振效果明显，并大幅度减少了附加质量。钱德进等人[6]利用波动理论的分析、处理方法，分析了多级平行阻振质量阻隔振动波传递的特性。
现有文献虽然对阻振质量的隔振特性开展了大量研究，但是阻振质量的隔振机理仍然阐述不足，难以实现振动波衰减和隔振性能的人工主动调节和优化。本文以等间距多级阻振质量船体板结构为研究对象，根据固体晶格能带理论结合Bloch周期性边界条件，研究其弯曲振动带隙特性，揭示了阻振质量的振动波衰减和隔振机理。
1物理模型与计算方法
1.1带隙物理模型
周期性阻振质量船体板结构是通过含阻振质量单元沿着x方向在船体板等间距周期性排列而成，其结构
示意图如图1所示。定义周期性原胞结构（红色单元）的晶格常数为a，船体板厚度为e，宽度为b，阻振质量的宽度为L，高度为h。船体板和阻振质量都选取为钢材料，材料参数定义为：弹性模量E= 200GPa，密度ρ=7850kg/m3，泊松比υ=0.33。
图1周期性阻振质量船体板结构示意图
企业违反
Fig.1Schematic of ship plates with periodic vibration blocking mass
1.2带隙计算方法
当实际结构只在一个方向上具有周期性时，通常将具有周期的方向取为x方向。可以得到描述在x方向传播的弹性波的波动方程为
第11期李应刚等：周期性阻振质量船体板 (1371)
ρ()r ∂2u x ∂t 2=
∂∂x éëêùûúλ()r ∂u x ∂x +∂∂x éëêùûú2μ()r ∂u x ∂x ρ()r ∂2u y ∂t 2=∂∂x éëêùûúμ()r ∂u y ∂x ρ()r ∂2u z ∂t 2=∂∂x éëêùûúμ()r ∂u z ∂x 式中，λ和μ为材料的Lame 弹性常数。
λ=Eυ()1+υ()1-2υ,μ=E
()
1+υ式中，E 为材料的弹性模量；υ为材料的泊松比。
基于固体晶格能带理论和Bloch 定理，周期性阻振质量船体板结构晶格具有周期性和点群对称
性，其本征场具有Bloch 函数的形式，波动方程的本征函数是按照正格子周期性调幅的平面波：
u x ()r +a =u x ()r e j ()k r a Bloch 理论说明，由于晶格的周期性和点群对称性，通过引入周期边界条件，可以将对于弹性波的
在整个晶格传播行为的研究转换到单个原胞及其不可约布里渊区中进行。对应Bloch 波矢k 在不可约布里渊区中的每一个取值，将Bloch 周期性边界条件代入弹性波波动方程就可以求解出一系列对应的本征频率及本征函数，就可以绘制出声子晶体的能带结构图[7-8]。对于有限周期结构，通常用结构激励端和响应端之间的频响函数来描述其传输特性。如果激励端和响应端都取相同的物理量，频响函数则为一个无量纲的比例系数，
式中，a 1为激励端的物理量，a 22周期性阻振质量船体板弯曲振动带隙
2.1周期性阻振质量船体板带隙特性
为了研究周期性阻振质量船体板的弯曲振动带隙特性和阻振质量的隔振机理，需要计算其能带结构和频响曲线。文中分别建立了船体单板结构和周期性阻振质量船体板结构的原胞有限元模型，选取结构
参数如下：晶格常数a =120mm，船体板的厚度e =2mm，宽度b =200mm，阻振质量的宽度L =30mm，高度h =30mm。船体板结构左右两端施加周期性边界条件，其他均设置为自由边界条件，沿着ΓX 方向波矢进行参数扫描，求解各个波矢下结构的本征模式和本征频率，分别得到船体单板结构和周期性阻振质量船体板结构的能带结构，结果如图2（a ）和2（b ）所示，其中纵坐标为频率，横坐标为沿着不可约布里渊区边界的归一化的波矢。由板中的波动理论可知，有限厚度的板中存在一系列的反对称和对称Lamb 波模式（即板中纵波和弯曲波，分别表示为A 模式和S 模式），以及水平剪切（Shear horizontal，SH ）波模式。从图2（a ）中可以看到，船体单板结构与二维有限厚度板结构能带具有显著差异，存在四条从零频率出发的能带，分别对应于纵波模式（L 模式）、扭转波模式（T 模式）以及弯曲波模式（Bx 模式和By 模式）。它们包括四个基本的模式（即L 0、T 0、Bx 0和By 0模式）及其倍频模式（L n 、T n 、Bx n
和By n 模式，其中n =1，2，⋯）[8]。从图2（b ）中可以发现，周期性阻振质量船体板结构的能带构图中不
仅存在着纵波模式（L 模式）、扭转波模式（T 模式）以及弯曲波模式（Bx 模式和By 模式），同时还出现了大量的平直带。平直带结构是指在绝大部分波矢方向上，不同的波矢对应着相同的特征频率，也就是
(1)
(2)(3)(4)
杨龄说，不同方向、不同大小的弹性波场对应着相同的振动模式。能带结构中存在平直带，表明内部弹性波场存在局域化共振现象。相对于船体板结构而言，周期性阻振质量船体板结构在0~3000Hz 频率范围内产生了明显的弯曲振动带隙（图2（b ）中填充区域）。为了验证周期性阻振质量船体板振动带隙的存在，同时分析其有限结构的减振特性，计算得到了有限周期阻振质量船体板的频率响应曲线，如图2（c ）所示。从图中可以看出，频率响应函数在0~3000Hz 频率范围内存在明显的衰减谷，衰减谷的位置和宽度与能带结构图中的禁带位置和宽度吻合良好，
证明了能带结构计算的可靠性。
（a ）船体单板能带结构图（b ）周期阻振质量船体板能带结构图
（c ）频响曲线
图2船体板结构弯曲振动带隙特性Fig.2Flexural wave band gap characteristics of ship
plates
图3本征位移场
Fig.3The displacement fields of the eigenmodes
2.2周期性阻振质量船体板振动带隙机理
为了更深入直观地说明周期性阻振质量船体板禁带形成机理，文中计算了图2中禁带边界处的本征位移场，如图3所示。图中模态A、B 对应于船体板无阻振质量时的本征位移场，模态C、D、E、F 对应于含阻振质量船体板的本征位移场。由图可知，模态A、B 分别表示各向同性基板中的弯曲波Bx 模
心烦意乱的近义词1372船舶力学第23卷第11期
式和By 模式。随着阻振质量的引入，我们可以发现，模态C、D 的本征位移场主要是各向同性船体板的弯曲波Bx 模式和By 模式与阻振质量的局域共振模态的耦合，正是这种耦合作用导致了周期性阻振质量船体板中低频弯曲振动带隙的出现。阻振质量船体板的局域共振模态可以理解为一个单自由度的弹簧-质量模型，其中阻振质量起到集中质量的作用，而阻振质量与船体板的连接作用为弹簧。模态E 和模态F 的本征位移场分别对应于周期性阻振质量船体板能带结构的平直带，阻振质量几乎保持静止，主要体现为船体基板相对于y 轴的弯曲振动模式（By 模式），而船体板中沿着x 方向的弯曲振动
能够被抑制。因此，周期性阻振质量船体板的禁带主要是由于阻振质量的引入导致带隙频率范围内缺乏沿着x 方向传播的弯曲振动模式（Bx 模式）而产生的。
2.3弯曲振动带隙试验验证
为了验证周期性阻振质量船体板的弯曲振动带隙特性，我们加工制备了样品结构，对其有限周期结构的减振性能进行了实验测试。根据禁带特性的理论分析，设计了沿着x 方向周期排列的4×1有限周期阻振质量船体板结构，如图4（a ）所示，实验测试样品的单元结构尺寸参数和材料参数与理论分
析时所采用的完全相同。
墨学图4测试样件及试验测试方案图
Fig.4The test sample and the experimental measurement tup
实验测试中主要采用了B&K PULSE 测试与分析系统。实验过程中采用柔绳将测试样品自由悬挂，确保悬挂系统的第一阶固有频率远低于测试样品本身的固有频率。在样件的一端安装激振器施加垂直于有机玻璃板面的激励，并在激励点和板面另一端选取一个测试点安装加速度传感器，监测垂直于板面的振动加速度幅值。加速度传感器型号为B&K 4507B，灵敏度为100mV/g。由B&K PULSE 测试系统产生0～3200Hz 带宽的白噪声信号，经过功率放大器驱动激振器产生相应的振动信号。安装在板面两端的加速度传感器获取的振动加速度信号经过B&K PULSE 测试系统分析和处理，最终得到测试样件的频率响应函数。
采用以上实验测试平台，测试得到有限周期阻振质量船体板结构样品的频率响应函数，结果如图5所示。从图中可以看出，周期性阻振质量船体板结构弯曲振动频响特性曲线在0~3000Hz 频率范围内存在明显的衰减区域，实验测试结果的船体板弯曲振动衰减区域频率范围与有限元数值计算结果基本吻合，验证了周期性阻振质量船体板结构弯曲振动带隙特性。在低频范围内，实验测试得到的各共振峰的频率与有限元结果吻合得较好，而在较高频范围的共振峰值频率有所差异，实验测试结果的频响特
性曲线的衰减频率范围更宽，弯曲振动衰减量更大。误差产生的原因主要是由于试验测试样第11期李应刚等：周期性阻振质量船体板 (1373)优美语段50字
