浅谈Stirling数极其简单应用
摘要
组合数学中的许多问题是数学中的精华，组合数学的应用也涉及到自然科学的许多领域。本文对Stirling数进行了研究。
本文的工作分为三部分：第一部分，介绍了Stirling数的概念和性质；第二部分列举了关于两类Stirling数之间的几个关系式。重点介绍了两类Stirling阵之间的关系，并分别用Stirling阵和Stirling展开式证明了两类Stirling数的反演和互逆关系;第三部分则简单介绍了两类Stirling数的简单应用。
关键词：Stirling数；基本性质；关系；简单应用
Abstract
The problems in combination of mathematics is the esnce of mathematics.the application of combination of mathematics relates to many fields of natural science.
This paper is divided into three parts: the first part,introduces the concept and the characteristics of Stirling number ; the cond part lists veral relations which is about two Stirling number . It focus on the relations between the two types of Stirling array, using the Stirling matrix and Stirling expansion to proved the inversion and reciprocal relationship of the two kinds of Stirling numbers; the third part introduces the simple application of the two kinds of the Stirling numbers.
Keywords Stirling number; basic characteristics; relations; simple application
引言 (4)
第一章 Stirling数的概念及其性质 (2)
1.1 第一类、第二类Stirling函数的概念 (2)
1.2 两类Stirling函数的性质 (3)
1.3 两类Stirling数的解析表达式 (5)
第二章两类Stirling数之间的关系式 (7)
2.1 两类Stirling数之间的反演关系 (7)
2.2 两类Stirling阵之间的关系 (8)
第三章 Stirling数的推广和简单应用 (11)
3.1 第一类Stirling数简单应用 (11)
3.2 利用第二类Stirling数分配计数 (11)
总结 (13)
参考文献 (14)
冷冻液
谢辞 (15)
引言
组合数学是既古老又年轻的数学分支，她的渊源可以追溯到公元前2200年中国的大禹治水时代，中外历史上许多著名的数学游戏是她古典部分的主要内容。1666年，德国著名数学家莱布尼兹为它起了“组合学”（Combinatorics）这样一个名字，并预言了这一数学分支的诞生。20世纪40年代以来，随着电子计算机的出现，计算机科学、数字通信、规划论和实验设计等方面的需求及大地推动和刺激了组合数学的发展。
按照现代数学的观点，连续数学和离散数学这两大数学门类中，后者的重要性正在逐步上升，将取代前者而成为主流。作为离散数学的核心，组合数学与传统数学的许多学科，如代数学、数论、概率统计等有着相当的联系和交叉，通常认为它是数学的边缘学科，但它侧重研究的是“关系结构”，不同与经典袋鼠所研究的“系统结构”。从而发展的趋势看，系统结构的研究将让位于关系结构的研究。
组合数学所研究的对象是离散构形问题。由于现实生活和科学研究中存在着无穷无尽的离散构形问题，这就决定了组合数学内容丰富，应用广泛，生命力强。组合数学的另一特点是讲究方法，讲究技巧。组合数学的思维和技巧不仅在于数学应用的传统自然领域，而且也应用与社会科学、生物科学、信息论等领域。组合数学和组合思想在许多分支中已经变得越来越重要。
Stirling数由于具有明显的组合背景，因此有着广泛的应用。如组合计数、计算复杂性以及模糊数学等。一直以来是人们感兴趣的研究课题，并有大量的研究成果。Stirling数的概念由J.Stirling于1730年提出的，并于他的著作《Methodous Differentialis》中首次使用。这一名称的正式运用归功于Thiele和Nieln。1958年，Riordan首先应用)
(k
,
眼下有痣S来分别表示第一类Stirling数和第二类
n
,
s和)
竹韵(k
n
Stirling数。1770年，/doc/082936226.html,grenge推导出了第一类Stirling数的递推关系和数论的性质。而/doc/082936226.html,pace和A.Cauchy则在第二类Stirling数的逼近理论上取得了一些成果。1933年Ch.Jordan在他的一篇论文中对Stirling数做了彻底的阐述，并给出了一些Stirling数的重要性质。
我国许多数学家也对这方面做了大量研究。徐利治等一批学者对广义Stirling 数做了深入的研究。近几年，对广义Stirling数进行了更广意义的推广。这些都将有助我们更好的理解大量的组合恒等式。本文的工作重点，主要是是介绍Stirling 数的一些性质及其简单应用。
第一章 Stirling 数的概念及其性质
Stirling 数作为最具代表性的组合数之一，在组合数学中具有重要地位。一般而言，有两类数：第一类Stirling 数与第二类Stirling 数，本章我们将给出Stirling 数的基本概念和性质。
中庸的意思
1.1 第一类、第二类Stirling 函数的概念
定义1.1 令[]k n
k k n n x k n S n x x x x x ),()1()1()2)(1(01∑=+-=+---= ，称),(1k n S 为第一类(无符号)Stirling 数。 而第一类Stirling 数),(1k n S 满足：等于恰可表示成k 个互不相交的轮换乘积的n 元置换的个数。
由),(1k n S 定义易知
1)0,0()1(1=S
1),()2(1=n n S
1)0,()3(1=n S
定义1.2 设k A A A ,,,21 是A 的k 个子集，若它们满足：
(ⅰ));1(k i A i ≤≤?≠
(ⅱ));1(k j i A A j i ≤≠≤?=
(ⅲ).21k i A A A A =
则称{}k A A A ,,,21 是A 的一个k 分划，并计为
.21k i A A A A ?
= 称i A )1(k i ≤≤为A 的k 分划的一块。
定义1.3 一个n 元集合的全部k 分划个数叫作第二类Stirling 数，记作),(2k n S . 分化，它们是个有例如，集合27{1,2,3,4}=A
座右铭大全
{}{}{}4,3,214,3,2,1 ?
=
{}{}
{}{}
{}{}
{}{}
{}{}不是风动不是幡动仁者心动
{}{}3,24,14,23,14,32,13,2,144,2,134,3,12 ======
故分划的两个块。是该与中，分划的在2}3,2{}4,1{}3,2{}4,1{2.7)2,4(2 ==A A S 由),(2k n S 的定义易知：
(1)1)1,(2=n S
(2)1),(2=n n S
(3)0),(2=k n S n k >
),(2k n S 是一个重要的计数函数，对任何正整数n 和k ，),(2k n S 均有意义。 已知从一个n 元集到一个m 元集的映射个数是n m 。再从),(2k n S 的定义可证从一个n 元集到一个k 元集的满射个数是),(!2k n S k (后面第三章将给出具体证明)，故对n m ≤≤1有等式
[]k m
k m k m
k
m k n x k n S k n S k C k n S k m ∑∑∑======020202),(),(!),(! 所以得到[]k n
一缕茶香k n
x k n S x ∑==02),(，该式常常用作第二类Stirling 数的定义。 综上，第二类Stirling 数),(2k n S 的意义如下：
(1)集合的划分：将含有n 个元素的集合恰好分成k 个无序非空子集的所有不同的划分的数目即),(2k n S .这种划分通常称为集合的一个-k 划分.划分中的每个非空子集成为一个块。
(2)分配问题：将n 个元素的集合恰好分成k 个相同的盒子，要求各盒不空，则不同的分配方法总数为),(2k n S .
上面的意义中(1)是组合定义，(2)是代数式定义。两种定义方式是一致的。
1.2 两类Stirling 函数的性质
根据上节给出的关于两类Stirling 数的定义很容易得到
定理1.1]4[ )!1()1,(,2
)1()1,(,1),(111-=-=-=n n S n n n n S n n S ,12)2,(12-=-n n S .2)1,(2
=-n n n S 定理1.2 !.),()2,()1,(111n n n S n S n S =+++家庭教育书籍
证 由于（无符号的）第一类Stirling 数也可以定义为多项式[]k n
k n x k n S n x x x x x ),()1()2)(1(01∑==+---= 的k 次幂的系数；
令1=x ，证得!.),()2,()1,(111n n n S n S n S =+++ 定理1.2]4[
).1,1(),1()1(),(111--+--=k n S k n S n k n S
n k k n S k n kS k n S ≤≤--+-=1),1,1(),1(),(222
例1 求5][x 的展开式。
解 我们观察4][x 的子式x x x x x x x x x 6116)3)(2)(1(][2344-+-=---=，有
6)1,4(,11)2,4(,6)3,4(,1)4,4(1111====S S S S
再利用定理1.1我们得到 .
506114)1,4()2,4(4)2,5(351164)2,4()3,4(4)3,5(24!4)1,5(,102
